Tasa de Nyquist

Fig 1: Ejemplo típico de frecuencia y tasa de Nyquist. Rara vez son iguales, porque eso requeriría over-sampling por un factor de 2 (es decir, 4 veces el ancho de banda).

En el procesamiento de señales, la tasa de Nyquist, llamada así por Harry Nyquist, es un valor (en unidades de muestras por segundo o hertz, Hz) igual al doble de la frecuencia más alta (ancho de banda) de un determinado función o señal. Cuando la función se digitaliza a una frecuencia de muestreo más alta (ver § Frecuencia crítica), se dice que la secuencia de tiempo discreto resultante está libre de la distorsión conocida como aliasing. Por el contrario, para una frecuencia de muestreo dada, la frecuencia de Nyquist correspondiente en Hz es la mitad de la frecuencia de muestreo. Tenga en cuenta que la tasa de Nyquist es una propiedad de una señal de tiempo continuo, mientras que la frecuencia de Nyquist es una propiedad de un sistema de tiempo discreto.

El término tasa de Nyquist también se usa en un contexto diferente con unidades de símbolos por segundo, que es en realidad el campo en el que trabajaba Harry Nyquist. En ese contexto, es un límite superior para la tasa de símbolos a través de un canal de banda base de ancho de banda limitado, como una línea telegráfica o un canal de banda de paso, como una banda de radiofrecuencia limitada o un canal múltiplex por división de frecuencia.

Relativo al muestreo

Fig 2: Fourier transform of a bandlimited function (amplitude vs frequency)

Cuando una función continua, ${displaystyle x(t),}$ se muestra a un ritmo constante, ${displaystyle f_{s}$ muestras/segundo, siempre hay un número ilimitado de otras funciones continuas que se ajustan al mismo conjunto de muestras. Pero sólo uno de ellos está limitado a ${fnMicroc} {1}{2}f_{s}}$ ciclos/segundo (hertz), lo que significa que su transformación Fourier, ${displaystyle X(f),}$ es ${displaystyle 0}$ para todos ${fnMicrosoft } {1}{2}f_{s}$Los algoritmos matemáticos que normalmente se utilizan para recrear una función continua de las muestras crean arbitrariamente buenas aproximaciones a esta función teórica, pero infinitamente larga. De ahí que si la función original, ${displaystyle x(t),}$ está limitado a ${fnMicroc} {1}{2}f_{s}$ que se llama Criterio de Nyquist, entonces es la única función que los algoritmos de interpolación son aproximados. En términos del propio ancho de banda de una función ${displaystyle (B),}$ como se describe aquí, el Criterio de Nyquist a menudo se declara ${displaystyle f_{s} {2B.}$Y ${displaystyle 2B}$ se llama Tasa de Nyquist para funciones con ancho de banda ${displaystyle B.}$ Cuando el criterio de Nyquist no se cumple ${displaystyle (}$di: ${displaystyle B confiar{tfrac {2} {}f_{s}}}$ una condición llamada alias ocurre, lo que resulta en algunas diferencias inevitables entre ${displaystyle x(t)}$ y una función reconstruida que tiene menos ancho de banda. En la mayoría de los casos, las diferencias se consideran distorsiones.

Fig 3: Los 2 gráficos principales representan Fourier transforma de 2 funciones diferentes que producen los mismos resultados cuando se muestra a un ritmo determinado. La función de banda base se muestra más rápido que su tasa de Nyquist, y la función de bandpass está submuestrada, convirtiéndola efectivamente en banda base. Los gráficos inferiores indican cómo se crean resultados espectrales idénticos por los alias del proceso de muestreo.

Alias intencional

La Figura 3 muestra un tipo de función llamada banda base o paso bajo, porque su rango de frecuencia positiva de energía significativa es [0, B). Cuando en cambio, el rango de frecuencia es (A, A+B), para algunos A > B, se llama paso de banda, y un deseo común (por varias razones) es convertirlo a banda base. Una forma de hacerlo es mezclar frecuencias (heterodino) la función de paso de banda hasta el rango de frecuencia (0, B). Una de las posibles razones es reducir la tasa de Nyquist para un almacenamiento más eficiente. Y resulta que se puede lograr directamente el mismo resultado muestreando la función de paso de banda a una frecuencia de muestreo inferior a la de Nyquist, que es el submúltiplo entero más pequeño de la frecuencia A que cumple con banda base Criterio de Nyquist: f_s > 2B. Para una discusión más general, consulte Muestreo de paso de banda.

Relativa a la señalización

Mucho antes de que Harry Nyquist tuviera su nombre asociado con el muestreo, el término tasa de Nyquist se usaba de manera diferente, con un significado más cercano a lo que Nyquist realmente estudió. Citando el libro Teoría de la modulación de Harold S. Black de 1953, en la sección Intervalo de Nyquist del capítulo inicial Antecedentes históricos:

"Si el rango de frecuencia esencial se limita a B ciclos por segundo, 2B fue dado por Nyquist como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedad, asumiendo que la interferencia máxima es menos de la mitad de un paso cuántico. Esta tasa se conoce generalmente como señalización a la tasa de Nyquist y 1/(2)B) ha sido llamado a Intervalo de Nyquist." (bold añadido para énfasis; italias del original)

Según el OED, la declaración de Black con respecto a 2B puede ser el origen del término tasa de Nyquist.

El famoso artículo de Nyquist de 1928 fue un estudio sobre cuántos pulsos (elementos de código) se podían transmitir por segundo y recuperar a través de un canal de ancho de banda limitado. Transmitir señales a la velocidad de Nyquist significaba pasar tantos pulsos de código a través de un canal telegráfico como permitiera su ancho de banda. Shannon utilizó el enfoque de Nyquist cuando demostró el teorema del muestreo en 1948, pero Nyquist no trabajó en el muestreo per se.

El último capítulo de Black sobre "El principio de muestreo" le da a Nyquist parte del crédito por algunas matemáticas relevantes:

"Nyquist (1928) señaló que, si la función se limita sustancialmente al intervalo de tiempo T, 2BT valores son suficientes para especificar la función, basando sus conclusiones en una serie Fourier representación de la función a lo largo del intervalo de tiempo T."