Tangloides

Tangloids es un juego matemático para dos jugadores creado por Piet Hein para modelar el cálculo de espinores.

Tangloids apparatus

Una descripción del juego apareció en el libro "Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American" de Martin Gardner de 1996 en una sección sobre las matemáticas de trenza.

Dos bloques planos de madera, cada uno perforado con tres pequeños agujeros, se unen con tres cuerdas paralelas. Cada jugador tiene uno de los bloques de madera. El primer jugador sostiene un bloque de madera inmóvil, mientras que el otro jugador gira el otro bloque de madera dos vueltas completas. El plano de rotación es perpendicular a las cuerdas cuando no están enredadas. Las cuerdas ahora se superponen entre sí. Luego, el primer jugador trata de desenredar las cuerdas sin girar ninguna pieza de madera. Solo se permiten traslaciones (mover las piezas sin rotarlas). Posteriormente, los jugadores invierten los roles; el que pueda desenredar las cuerdas más rápido es el ganador. Pruébelo con una sola revolución. Por supuesto, las cuerdas se superponen de nuevo, pero no se pueden desenredar sin girar uno de los dos bloques de madera.

El truco de la copa balinesa, que aparece en la danza de las velas balinesas, es una ilustración diferente de la misma idea matemática. El mecanismo antitorsión es un dispositivo destinado a evitar tales enredos de orientación. Se puede encontrar una interpretación matemática de estas ideas en el artículo sobre cuaterniones y rotación espacial.

Articulación matemática

Este juego sirve para aclarar la noción de que las rotaciones en el espacio tienen propiedades que no pueden explicarse intuitivamente considerando solo la rotación de un solo objeto rígido en el espacio. La rotación de vectores no abarca todas las propiedades del modelo abstracto de rotaciones dado por el grupo de rotación. La propiedad que se ilustra en este juego se denomina formalmente en matemáticas como "doble recubrimiento de SO(3) por SU(2)". Este concepto abstracto se puede esbozar a grandes rasgos como sigue.

Las rotaciones en tres dimensiones se pueden expresar como matrices de 3x3, un bloque de números, uno para x, y, z. Si uno considera rotaciones arbitrariamente pequeñas, se llega a la conclusión de que las rotaciones forman un espacio, en el sentido de que si cada rotación se considera como un punto, entonces siempre hay otros puntos cercanos, otras rotaciones cercanas que difieren solo en una pequeña cantidad. En barrios pequeños, esta colección de puntos cercanos se asemeja al espacio euclidiano. De hecho, se parece al espacio euclidiano tridimensional, ya que hay tres posibles direcciones diferentes para las rotaciones infinitesimales: x, y y z. Esto describe adecuadamente la estructura del grupo de rotación en barrios pequeños. Sin embargo, para secuencias de grandes rotaciones, este modelo falla; por ejemplo, no es lo mismo girar a la derecha y luego tumbarse que tumbarse primero y luego girar a la derecha. Aunque el grupo de rotación tiene la estructura del espacio 3D a pequeña escala, esa no es su estructura a gran escala. Los sistemas que se comportan como el espacio euclidiano a pequeña escala, pero que posiblemente tengan una estructura global más complicada, se denominan variedades. Los ejemplos famosos de variedades incluyen las esferas: globalmente, son redondas, pero localmente, se sienten y se ven planas, ergo 'Tierra plana'.

El examen cuidadoso del grupo de rotación revela que tiene la estructura de una esfera de 3 S3{displaystyle S^{3} con puntos opuestos identificados. Eso significa que para cada rotación, hay en realidad dos puntos opuestos diferentes, distintos, polares en la 3-sfera que describen esa rotación. Esto es lo que ilustran los tangloides. La ilustración es muy inteligente. Imagínese realizar la rotación de 360 grados en un grado a la vez, como un conjunto de pequeños pasos. Estos pasos le llevan en un camino, en un viaje en este conjunto abstracto, este espacio abstracto de rotaciones. Al finalizar este viaje de 360 grados, uno no ha llegado a casa, sino más bien al punto opuesto polar. Y uno está atrapado allí -- uno no puede realmente volver a donde uno comenzó hasta que uno hace otro, un segundo viaje de 360 grados.

La estructura de este espacio abstracto, de una esfera 3 con opuestos polares identificados, es bastante rara. Técnicamente, es un espacio proyectivo. Uno puede intentar imaginarse tomando un globo, dejando salir todo el aire, y luego colar juntos puntos polares opuestos. Si se intenta en la vida real, pronto se descubre que no se puede hacer globalmente. Localmente, para cualquier pequeño parche, uno puede lograr los pasos de voltereta y cola; uno simplemente no puede hacer esto globalmente. (Ten en cuenta que el globo es S2{displaystyle S^{2}, el 2-sphere; no es el 3-sphere de rotaciones.) Para simplificar aún más, se puede comenzar con S1{displaystyle S^{1}, el círculo, e intentar unir los opuestos polares; uno todavía consigue un desastre fallido. Lo mejor que se puede hacer es dibujar líneas rectas a través del origen, y luego declarar, por fiat, que los opuestos polares son el mismo punto. Esta es la construcción básica de cualquier espacio proyectivo.

La llamada "cubrimiento doble" se refiere a la idea de que este conjunto de pegamentos de opuestos polares se puede deshacer. Esto se puede explicar relativamente simplemente, aunque sí requiere la introducción de alguna notación matemática. El primer paso es desenfocar "Lie algebra". Este es un espacio vectorial dotado con la propiedad que dos vectores pueden ser multiplicados. Esto surge porque una pequeña rotación sobre el x-eje seguido de una pequeña rotación sobre el Sí.- el eje no es el mismo que invertir el orden de estos dos; son diferentes, y la diferencia es una pequeña rotación en el z-Eje. Formally, esta inequivalencia puede ser escrita como xSí.− − Sí.x=z{displaystyle xy-yx=z}, teniendo en cuenta que x, Sí. y z no son números sino rotaciones infinitesimal. No se comunican.

Uno puede entonces preguntarse, "¿qué más se comporta así?" Bueno, obviamente las matrices de rotación 3D lo hacen; después de todo, el punto es que describen rotaciones en el espacio 3D de manera correcta y matemáticamente perfecta. Da la casualidad, sin embargo, que también hay matrices de 2x2, 4x4, 5x5,... que también tienen esta propiedad. Uno puede preguntar razonablemente "OK, entonces, ¿cuál es la forma de sus múltiples?". Para el caso 2x2, el álgebra de Lie se llama su(2) y la variedad se llama SU(2), y curiosamente, la variedad de SU(2) es la 3-esfera (pero sin la identificación proyectiva de los polos opuestos).

Esto le permite jugar un poco de truco. Toma un vector v→ → =()v1,v2,v3){displaystyle {vec {}=(v_{1},v_{2},v_{3}}} en espacio 3D ordinario (nuestro espacio físico) y aplicar una matriz de rotación R{displaystyle R. a ella. Uno obtiene un vector rotativo Rv→ → {displaystyle R{vec {v}}. Este es el resultado de aplicar una rotación ordinaria, "sentido común" a v→ → {displaystyle {vec}}. Pero uno también tiene las matrices Pauli σ σ 1,σ σ 2,σ σ 3{displaystyle sigma _{1},sigma _{2},sigma ¿Qué?; estos son 2x2 matrices complejas que tienen la propiedad de álgebra Lie que σ σ 1σ σ 2− − σ σ 2σ σ 1=σ σ 3{displaystyle sigma _{1}sigma _{2}-sigma ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? y así este modelo xSí.− − Sí.x=z{displaystyle xy-yx=z} comportamiento de rotaciones infinitesimal. Considere entonces el producto σ σ → → ⋅ ⋅ v→ → =v1σ σ 1+v2σ σ 2+v3σ σ 3{displaystyle {vec {sigma }cdot {vec {}=v_{1}sigma - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?. El "cubrimiento doble" es la propiedad que no existe uno, pero dos matrices 2x2 S{displaystyle S. tales que

S− − 1()σ σ → → ⋅ ⋅ v→ → )S=Rv→ → {displaystyle S^{-1}({vec {sigma }cdot {vec {vec {})S=R{vec {v}}}

Aquí, S− − 1{displaystyle S^{-1} denota el inverso de S{displaystyle S.; es decir, S− − 1S=SS− − 1=1.{displaystyle S^{-1}S=SS^{-1}=1. La matriz S{displaystyle S. es un elemento de SU(2), y así por cada matriz R{displaystyle R. en SO(3), hay dos correspondientes S{displaystyle S.: ambos +S{displaystyle +S} y − − S{displaystyle - Sí. hará el truco. Estos dos son los polares-oppositas, y la proyección se reduce a la observación trivial de que ()− − 1)× × ()− − 1)=+1.{displaystyle (-1)times (-1)=+1.} El juego tangeloide está destinado a ilustrar que una rotación de 360 grados toma uno en un camino desde +S{displaystyle +S} a − − S{displaystyle - Sí.. Esto es bastante preciso: se puede considerar una secuencia de pequeñas rotaciones R{displaystyle R. y el movimiento correspondiente S{displaystyle S.; el resultado cambia de signo. En términos de ángulos de rotación Silencio Silencio ,{displaystyle theta} el R{displaystyle R. matriz tendrá un #⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle cos theta } en él, pero la coincidencia S{displaystyle S. tendrá un #⁡ ⁡ Silencio Silencio /2{displaystyle cos theta /2} dentro. Más aclaración requiere realmente escribir estas fórmulas.

El boceto puede completarse con algunas observaciones generales. Primero, Los álgebras de Lie son genéricos, y para cada uno, hay uno o más grupos de Lie correspondientes. En física, las rotaciones 3D de objetos 3D normales son claramente descritas por el grupo de rotación, que es un grupo Lie de 3x3 matrices R{displaystyle R.. Sin embargo, las espinas, las partículas spin-1/2, giran según las matrices S{displaystyle S. in SU(2). Las matrices 4x4 describen la rotación de partículas spin-3/2, y las matrices 5x5 describen las rotaciones de partículas spin-2, y así sucesivamente. La representación de grupos Lie y álgebras Lie se describen por la teoría de la representación. La representación spin-1/2 pertenece a la representación fundamental, y la columna-1 es la representación conjunta. La noción de doble cobertura utilizada aquí es un fenómeno genérico, descrito cubriendo mapas. Los mapas de cobertura son a su vez un caso especial de paquetes de fibra. La clasificación de los mapas de cobertura se realiza a través de la teoría de la homotopy; en este caso, la expresión formal de la doble cubierta es decir que el grupo fundamental es π π 1()SO()3))=Z2{displaystyle pi _{1}(SO(3)=mathbb {Z} _{2} donde el grupo de cobertura Z2={}+1,− − 1}{displaystyle mathbb {Z} ¿Por qué? es sólo la codificación de las dos rotaciones equivalentes +S{displaystyle +S} y − − S{displaystyle - Sí. arriba. En este sentido, el grupo de rotación proporciona la puerta, la clave para el reino de vastas extensiones de matemáticas superiores.