Tablero Galton

Caja de Galton

El tablero de Galton, también conocido como caja de Galton o quincunx o máquina de frijoles, es un dispositivo inventado por Sir Francis Galton para demostrar el teorema del límite central, en particular que con un tamaño de muestra suficiente, la distribución binomial se aproxima a una distribución normal. Entre sus aplicaciones, permitió comprender la regresión a la media o "reversión a la mediocridad".

Descripción

El tablero Galton consta de un tablero vertical con filas de clavijas intercaladas. Las cuentas se dejan caer desde la parte superior y, cuando el dispositivo está nivelado, rebotan hacia la izquierda o hacia la derecha cuando golpean las clavijas. Finalmente, se recogen en contenedores en la parte inferior, donde la altura de las columnas de cuentas acumuladas en los contenedores se aproxima a una curva de campana. La superposición del triángulo de Pascal en los pines muestra la cantidad de caminos diferentes que se pueden tomar para llegar a cada contenedor.

Los modelos de trabajo a gran escala de este dispositivo creado por Charles y Ray Eames se pueden ver en las exhibiciones Mathematica: A World of Numbers... and Beyond que se exhiben permanentemente en el Museo de Ciencias de Boston., el New York Hall of Science, o el Museo Henry Ford. La máquina del Museo Ford se exhibió en el IBM Pavilion durante la Feria Mundial de Nueva York de 1964-65, y luego apareció en el Pacific Science Center en Seattle. Otra versión a gran escala se muestra en el vestíbulo de Index Fund Advisors en Irvine, California.

Se pueden construir tableros para otras distribuciones cambiando la forma de los pines o orientándolos hacia una dirección, e incluso son posibles tableros bimodales. Un tablero para la distribución logarítmica normal (común en muchos procesos naturales, particularmente los biológicos), que usa triángulos isósceles de diferentes anchos para 'multiplicar' Jacobus Kapteyn construyó la distancia que recorre la cuenta en lugar de los pasos de tamaño fijo que "sumarían" mientras estudiaba y popularizaba las estadísticas del logaritmo normal para ayudar a visualizarlo y demostrar su plausibilidad. A partir de 1963, se conservó en la Universidad de Groningen. También hay una máquina logarítmica normal mejorada que utiliza triángulos sesgados cuyos lados derechos son más largos y, por lo tanto, evitan desplazar la mediana de las cuentas hacia la izquierda.

Distribución de las cuentas

Si una cuenta rebota a la derecha k tiempos en su camino hacia abajo (y a la izquierda en las pegs restantes) termina en kcontando desde la izquierda. Denotando el número de filas de pelucas en un tablero de Galton por n, el número de caminos al kt bin en la parte inferior es dado por el coeficiente binomial ()nk){displaystyle {nchoose k}. Tenga en cuenta que el bin más izquierdo es el 0-bin, junto a él está el 1-bin, etc. y el más peludo a la derecha es el n-bin - haciendo así el número total de contenedores iguales a n+1 (cada fila no necesita tener más pelucas que el número que identifica la fila misma, por ejemplo, la primera fila tiene 1 peluca, la segunda 2 pelgs, hasta el n- la fila que tiene n pelucas que corresponden a n+1 bins). Si la probabilidad de rebotar derecho en un peg es p (que equivale a 0,5 en una máquina de nivel imparcial) la probabilidad de que la bola termine en la kt bin igual ()nk)pk()1− − p)n− − k{displaystyle {n choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}. Esta es la función de masa de probabilidad de una distribución binomial. El número de filas corresponde al tamaño de una distribución binomial en número de ensayos, mientras que la probabilidad p de cada pin es el binomial p.

De acuerdo con el teorema del límite central (más específicamente, el teorema de De Moivre-Laplace), la distribución binomial se aproxima a la distribución normal siempre que el número de filas y el número de bolas sean grandes. Variar las filas dará como resultado diferentes desviaciones estándar o anchos de la curva en forma de campana o la distribución normal en los contenedores.

Otra interpretación más precisa desde el punto de vista físico es la entropía: dado que la energía que transporta cada perla que cae es finita, incluso que en cualquier punta sus colisiones son caóticas porque la derivada es indefinida (no hay manera para averiguar previamente de qué lado va a caer), la media y la varianza de cada frijol están restringidas a ser finitas (nunca saltarán fuera de la caja), por lo que surge la forma gaussiana porque es la distribución de probabilidad de máxima entropía para un proceso continuo con media y varianza definidas. Por lo tanto, el aumento de la distribución normal podría interpretarse como que toda la información posible transportada por cada frijol relacionada con el camino que ha recorrido ya se ha perdido por completo debido a sus colisiones cuesta abajo.

Ejemplos

• 

  Galton Board (7.5 in by 4.5 in)

• 

  Antes y después de la vuelta

• 

  Una réplica de trabajo de la máquina (siguiendo un diseño ligeramente modificado)

• 

  El quincunx, dibujado por Sir Francis Galton

Historia

Sir Francis Galton quedó fascinado con el orden de la curva de campana que surge del aparente caos de cuentas que rebotan en las clavijas del tablero de Galton. Describió con elocuencia esta relación en su libro Herencia natural (1889):

Orden en Apparent Caos: Conozco apenas cualquier cosa tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de Frecuencia del Error. The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. reina con serenidad y en completo auto-eficacia en medio de la confusión más salvaje. Cuanto más grande es la multitud, y cuanto mayor es la anarquía aparente, más perfecta es su camino. Es la ley suprema de Unreason. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos se toman a mano y se marshalan en el orden de su magnitud, una forma insospechada y más bella de regularidad demuestra haber sido latente todo el tiempo.

Juegos

Se han desarrollado varios juegos utilizando la idea de que los bolos cambien la ruta de las pelotas u otros objetos:

• Bagatelle
• Pachinko
• Payazzo
• Peggle
• Pinball
• Plinko
• La pared