T-simetría

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Simetría reversal del tiempo en la física

T-simetría o simetría de inversión del tiempo es la simetría teórica de las leyes físicas bajo la transformación de la inversión del tiempo,

T:tmapsto -t.

Dado que la segunda ley de la termodinámica establece que la entropía aumenta a medida que el tiempo fluye hacia el futuro, en general, el universo macroscópico no muestra simetría bajo la inversión del tiempo. En otras palabras, se dice que el tiempo no es simétrico o asimétrico, excepto en estados de equilibrio especiales en los que la segunda ley de la termodinámica predice que se mantendrá la simetría temporal. Sin embargo, se predice que las mediciones no invasivas cuánticas violan la simetría del tiempo incluso en equilibrio, al contrario de sus contrapartes clásicas, aunque esto aún no se ha confirmado experimentalmente.

Las asimetrías de tiempo generalmente son causadas por una de tres categorías:

intrínseco a la ley física dinámica (por ejemplo, por la fuerza débil)
debido a las condiciones iniciales del universo (por ejemplo, para la segunda ley de la termodinámica)
debido a las mediciones (por ejemplo, para las mediciones no invasivas)

Fenómenos macroscópicos

La segunda ley de la termodinámica

Un juguete llamado teeter-totter ilustra, en la sección transversal, los dos aspectos de la invariancia reversal del tiempo. Cuando se pone en movimiento sobre un pedestal (de lado a lado, como en la imagen), la figura oscila durante mucho tiempo. El juguete está diseñado para minimizar la fricción e ilustrar la reversibilidad de las leyes de movimiento de Newton. Sin embargo, el estado mecánicamente estable del juguete es cuando la figura baja del pedestal en una de arbitrariedad muchas posiciones. Esta es una ilustración de la ley de aumento de la entropía a través de la identificación de Boltzmann del logaritmo del número de estados con la entropía.

La experiencia diaria muestra que la simetría T no es válida para el comportamiento de los materiales a granel. De estas leyes macroscópicas, la más notable es la segunda ley de la termodinámica. Muchos otros fenómenos, como el movimiento relativo de los cuerpos con fricción, o el movimiento viscoso de los fluidos, se reducen a esto, porque el mecanismo subyacente es la disipación de energía utilizable (por ejemplo, energía cinética) en calor.

Muchos físicos han considerado la cuestión de si esta disipación asimétrica en el tiempo es realmente inevitable, a menudo en el contexto del demonio de Maxwell. El nombre proviene de un experimento mental descrito por James Clerk Maxwell en el que un demonio microscópico guarda una puerta entre dos mitades de una habitación. Solo permite que las moléculas lentas entren en una mitad, solo las rápidas en la otra. Al hacer que un lado de la habitación esté más frío que antes y el otro más caliente, parece reducir la entropía de la habitación e invertir la flecha del tiempo. Se han hecho muchos análisis al respecto; todos muestran que cuando la entropía de la habitación y el demonio se toman juntas, esta entropía total aumenta. Los análisis modernos de este problema han tenido en cuenta la relación entre entropía e información de Claude E. Shannon. Muchos resultados interesantes en la computación moderna están estrechamente relacionados con este problema: la computación reversible, la computación cuántica y los límites físicos de la computación son ejemplos. Estas preguntas aparentemente metafísicas se están convirtiendo hoy, de esta manera, lentamente en hipótesis de las ciencias físicas.

El consenso actual depende de la identificación de Boltzmann-Shannon del logaritmo del volumen del espacio de fase con el negativo de la información de Shannon y, por lo tanto, de la entropía. En esta noción, un estado inicial fijo de un sistema macroscópico corresponde a una entropía relativamente baja porque las coordenadas de las moléculas del cuerpo están restringidas. A medida que el sistema evoluciona en presencia de disipación, las coordenadas moleculares pueden moverse en volúmenes más grandes de espacio de fase, volviéndose más inciertos y, por lo tanto, aumentando la entropía.

Gran Explosión

Una solución a la irreversibilidad es decir que el aumento constante de entropía que observamos sucede solo debido al estado inicial de nuestro universo. Otros estados posibles del universo (por ejemplo, un universo en equilibrio de muerte por calor) en realidad no darían como resultado un aumento de la entropía. Desde este punto de vista, la aparente T-asimetría de nuestro universo es un problema en cosmología: ¿por qué el universo comenzó con una entropía baja? Este punto de vista, respaldado por la observación cosmológica (como la isotropía del fondo cósmico de microondas) conecta este problema con la cuestión de las condiciones iniciales del universo.

Agujeros negros

Las leyes de la gravedad parecen ser invariantes en la inversión del tiempo en la mecánica clásica; sin embargo, las soluciones específicas no necesitan serlo.

Un objeto puede cruzar el horizonte de sucesos de un agujero negro desde el exterior y luego caer rápidamente a la región central donde nuestra comprensión de la física se desmorona. Dado que dentro de un agujero negro el cono de luz delantero se dirige hacia el centro y el cono de luz trasero se dirige hacia el exterior, ni siquiera es posible definir la inversión del tiempo de la manera habitual. La única forma en que algo puede escapar de un agujero negro es como radiación de Hawking.

La inversión temporal de un agujero negro sería un objeto hipotético conocido como agujero blanco. Desde el exterior parecen similares. Mientras que un agujero negro tiene un comienzo y es ineludible, un agujero blanco tiene un final y no se puede entrar. Los conos de luz delanteros de un agujero blanco se dirigen hacia afuera; y sus conos de luz hacia atrás se dirigen hacia el centro.

El horizonte de sucesos de un agujero negro se puede considerar como una superficie que se mueve hacia afuera a la velocidad local de la luz y está justo en el límite entre escapar y retroceder. El horizonte de eventos de un agujero blanco es una superficie que se mueve hacia adentro a la velocidad local de la luz y está justo en el borde entre ser barrida hacia afuera y alcanzar el centro. Son dos tipos diferentes de horizontes: el horizonte de un agujero blanco es como el horizonte de un agujero negro al revés.

La visión moderna de la irreversibilidad de los agujeros negros consiste en relacionarla con la segunda ley de la termodinámica, ya que los agujeros negros se consideran objetos termodinámicos. Por ejemplo, de acuerdo con la conjetura de la dualidad calibre-gravedad, todos los procesos microscópicos en un agujero negro son reversibles, y solo el comportamiento colectivo es irreversible, como en cualquier otro sistema térmico macroscópico.

Consecuencias cinéticas: equilibrio detallado y relaciones recíprocas de Onsager

En cinética física y química, la simetría T de las ecuaciones microscópicas mecánicas implica dos leyes importantes: el principio del equilibrio detallado y las relaciones recíprocas de Onsager. La simetría T de la descripción microscópica junto con sus consecuencias cinéticas se denominan reversibilidad microscópica.

Efecto de la inversión del tiempo en algunas variables de la física clásica

Parejo

Las variables clásicas que no cambian con la inversión del tiempo incluyen:

{vec {x}}

, posición de una partícula en tres espacios

{vec {a}}

, aceleración de la partícula

{vec {F}}

, fuerza en la partícula

E

, energía de la partícula

V

, potencial eléctrico (voltaje)

{vec {E}}

, campo eléctrico

{displaystyle {vec {D}}}

, desplazamiento eléctrico

rho

, densidad de carga eléctrica

{displaystyle {vec {P}}}

, polarización eléctrica

Densidad energética del campo electromagnético

T_{{ij}}

, Tensor de estrés Maxwell

Todas las masas, cargos, constantes de acoplamiento y otras constantes físicas, excepto las asociadas con la fuerza débil.

Impar

Las variables clásicas que la inversión del tiempo niega incluyen:

t

, el momento en que ocurre un evento

{vec {v}}

, velocidad de una partícula

{vec {p}}

, impulso lineal de una partícula

{displaystyle {vec {l}}}

, impulso angular de una partícula (tanto orbital como espinal)

{vec {A}}

, potencial vectorial electromagnético

{vec {B}}

, campo magnético

{displaystyle {vec {H}}}

, campo auxiliar magnético

{vec {j}}

, densidad de corriente eléctrica

{displaystyle {vec {M}}}

, magnetización

vec S

, vector de Poynting

{mathcal {P}}

, poder (valor de trabajo hecho).

Ejemplo: campo magnético y relaciones recíprocas de Onsager

Consideremos el ejemplo de un sistema de partículas cargadas sujetas a un campo magnético externo constante: en este caso la operación de reversión de tiempo canónico que revierte las velocidades y el tiempo $t$ y mantiene las coordenadas intactas no es más una simetría para el sistema. En este sentido, parece que sólo podían mantener relaciones recíprocas entre Onsager y Ciasimir; estas igualdades se relacionan con dos sistemas diferentes, uno sujeto a ${vec {B}}$ y otro a ${displaystyle -{vec {B}}}$ , y por lo tanto su utilidad es limitada. Sin embargo, se demostró que es posible encontrar otras operaciones de inversión temporal que preserven la dinámica y así las relaciones recíprocas Onsager; en conclusión, no se puede afirmar que la presencia de un campo magnético siempre rompe la simetría T.

Fenómenos microscópicos: invariancia de inversión del tiempo

La mayoría de los sistemas son asimétricos bajo inversión de tiempo, pero puede haber fenómenos con simetría. En mecánica clásica, una velocidad v se invierte bajo la operación de T, pero una aceleración no. Por lo tanto, se modelan fenómenos disipativos a través de términos impares en v. Sin embargo, los experimentos delicados en los que se eliminan las fuentes conocidas de disipación revelan que las leyes de la mecánica son invariantes en el tiempo. La disipación en sí se origina en la segunda ley de la termodinámica.

El movimiento de un cuerpo cargado en un campo magnético, B implica la velocidad a través del término de fuerza de Lorentz v×B, y podría parecen al principio asimétricos bajo T. Una mirada más cercana nos asegura que B también cambia de signo bajo la inversión del tiempo. Esto sucede porque un campo magnético es producido por una corriente eléctrica, J, que invierte el signo debajo de T. Por lo tanto, el movimiento de las partículas cargadas clásicas en los campos electromagnéticos también es invariante en el tiempo. (A pesar de esto, sigue siendo útil considerar la no invariancia de la inversión del tiempo en un sentido local cuando el campo externo se mantiene fijo, como cuando se analiza el efecto magneto-óptico. Esto permite analizar las condiciones bajo las cuales pueden ocurrir los fenómenos ópticos que rompen localmente la inversión del tiempo, como los aisladores de Faraday y el dicroísmo direccional).

En física, se separan las leyes del movimiento, llamadas cinemáticas, de las leyes de la fuerza, llamadas dinámicas. Siguiendo la cinemática clásica de las leyes del movimiento de Newton, la cinemática de la mecánica cuántica está construida de tal manera que no presupone nada sobre la simetría de inversión de tiempo de la dinámica. En otras palabras, si la dinámica es invariante, entonces la cinemática permitirá que permanezca invariante; si la dinámica no lo es, la cinemática también lo mostrará. La estructura de las leyes cuánticas del movimiento es más rica y las examinamos a continuación.

Reversión del tiempo en la mecánica cuántica

Las representaciones bidimensionales de la paridad son dadas por un par de estados cuánticos que van entre sí bajo la paridad. Sin embargo, esta representación siempre puede reducirse a combinaciones lineales de estados, cada uno de los cuales es incluso o raro bajo paridad. Uno dice que todas las representaciones irreducibles de la paridad son una dimensión. Teorema de Kramer afirma que la inversión temporal no necesita tener esta propiedad porque está representada por un operador antiunitario.

Esta sección contiene una discusión de las tres propiedades más importantes de la inversión del tiempo en la mecánica cuántica; principalmente,

que debe ser representado como un operador anti-unitario,
que protege a los estados cuánticos no degenerados de tener un momento de dipolo eléctrico,
que tiene representaciones bidimensionales con la propiedad T² = 1 - (para fermions).

La extrañeza de este resultado es clara si se compara con la paridad. Si la paridad transforma un par de estados cuánticos entre sí, entonces la suma y la diferencia de estos dos estados básicos son estados de buena paridad. La inversión del tiempo no se comporta así. Parece violar el teorema de que todos los grupos abelianos deben estar representados por representaciones unidimensionales irreducibles. La razón por la que hace esto es que está representado por un operador antiunitario. Así abre el camino a los espinores en la mecánica cuántica.

Por otro lado, la noción de inversión del tiempo de la mecánica cuántica resulta ser una herramienta útil para el desarrollo de configuraciones de simulación y computación cuántica motivadas físicamente, proporcionando, al mismo tiempo, herramientas relativamente simples para evaluar su complejidad. Por ejemplo, la inversión del tiempo de la mecánica cuántica se utilizó para desarrollar nuevos esquemas de muestreo de bosones y demostrar la dualidad entre dos operaciones ópticas fundamentales, el divisor de haz y las transformaciones de compresión.

Notación formal

En las presentaciones matemáticas formales de la simetría T, se deben distinguir cuidadosamente tres tipos diferentes de notación para T: la T que es una involución, que captura la inversión real de la coordenada de tiempo, la T que es una matriz ordinaria de dimensión finita, que actúa sobre espinores y vectores, y la T que es un operador en un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Para un campo real (no complejo) clásico (sin cuantificar) $phi$ , la involución reversal del tiempo puede simplemente ser escrito como

{displaystyle {mathsf {T}}phi (t,{vec {x}})=phi ^{prime }(-t,{vec {x}})=sphi (t,{vec {x}})}

como reversión de tiempo deja el valor del escalar en un punto fijo de tiempo espacio sin cambios, hasta un signo general ${displaystyle s=pm 1}$ . Una forma ligeramente más formal de escribir esto es

{displaystyle {mathsf {T}}:phi (t,{vec {x}})mapsto phi ^{prime }(-t,{vec {x}})=sphi (t,{vec {x}})}

que tiene la ventaja de subrayar que ${mathsf {T}}$ es un mapa, y por lo tanto la notación "mapsto" ${displaystyle mapsto ~,}$ mientras que ${displaystyle phi ^{prime }(-t,{vec {x}})=sphi (t,{vec {x}})}$ es una declaración fáctica que relaciona los campos antiguos y nuevos con uno-otro.

A diferencia de campos de escalar, espinas y campos vectoriales $psi$ podría tener un comportamiento no-trivial bajo la inversión del tiempo. En este caso, hay que escribir

{displaystyle {mathsf {T}}:psi (t,{vec {x}})mapsto psi ^{prime }(-t,{vec {x}})=Tpsi (t,{vec {x}})}

Donde $T$ es sólo una matriz ordinaria. Para los campos complejos, se puede requerir una conjugación compleja, para la cual se puede realizar el mapeo ${displaystyle K:(x+iy)mapsto (x-iy)}$ se puede pensar como una matriz 2x2. Para una espina dorsal Dirac, $T$ no se puede escribir como una matriz 4x4, porque, de hecho, se requiere una conjugación compleja; sin embargo, se puede escribir como una matriz 8x8, actuando en los 8 componentes reales de una espina dorsal Dirac.

En el entorno general, no hay ab initio valor que se debe dar $T$ ; su forma real depende de la ecuación o ecuaciones específicas que se están examinando. En general, uno simplemente declara que las ecuaciones deben ser invariantes reversales de tiempo, y luego resuelve el valor explícito de $T$ que logra este objetivo. En algunos casos, se pueden hacer argumentos genéricos. Así, por ejemplo, para las espinas en el espacio Euclideano tridimensional, o espacio Minkowski cuaddimensional, se puede dar una transformación explícita. Se administra convencionalmente como

{displaystyle T=e^{ipi J_{y}}K}

Donde ${displaystyle J_{y}}$ es el y-componente del operador de impulso angular y $K$ es conjugación compleja, como antes. Esta forma sigue cada vez que la espina dorsal se puede describir con una ecuación diferencial lineal que es de primera orden en el derivado del tiempo, que es generalmente el caso para que algo sea validamente llamado "una espina dorsal".

La notación formal ahora deja claro cómo extender la inversión temporal a un campo de tensor arbitrario ${displaystyle psi _{abccdots }}$ En este caso,

{displaystyle {mathsf {T}}:psi _{abccdots }(t,{vec {x}})mapsto psi _{abccdots }^{prime }(-t,{vec {x}})={T_{a}}^{d},{T_{b}}^{e},{T_{c}}^{f}cdots psi _{defcdots }(t,{vec {x}})}

Los índices de tensor covariantes se transformarán como ${displaystyle {T_{a}}^{b}={(T^{-1})_{b}}^{a}}$ y así sucesivamente. Para los campos cuánticos, también hay un tercio T, escrito como ${displaystyle {mathcal {T}},}$ que es en realidad un operador dimensional infinito actuando en un espacio Hilbert. Actúa sobre campos cuantificados $Psi$ como

{displaystyle {mathsf {T}}:Psi (t,{vec {x}})mapsto Psi ^{prime }(-t,{vec {x}})={mathcal {T}}Psi (t,{vec {x}}){mathcal {T}}^{-1}}

Esto se puede considerar como un caso especial de un tensor con un covariante, y un índice contravariante, y por lo tanto dos ${mathcal {T}}$ Es necesario.

Los tres símbolos captan la idea de la reversión del tiempo; difieren con respecto al espacio específico que se está realizando: funciones, vectores/pintores, o operadores de dimensiones infinitas. El resto de este artículo no es prudente distinguir estos tres; el T que aparece abajo está destinado a ser ${mathsf {T}}$ o $T$ o ${displaystyle {mathcal {T}},}$ dependiendo del contexto, izquierda para que el lector infiera.

Representación antiunitaria de la inversión del tiempo

Eugene Wigner demostró que una operación de simetría S de un hamiltoniano se representa, en mecánica cuántica, ya sea por un operador unitario, S = U, o uno antiunitario, S = UK donde U es unitario, y K denota conjugación compleja. Estas son las únicas operaciones que actúan sobre el espacio de Hilbert para preservar la longitud de la proyección de cualquier vector de estado sobre otro vector de estado.

Considere el operador de paridad. Actuando sobre la posición, invierte las direcciones del espacio, de modo que PxP⁻¹ = −x. De manera similar, invierte la dirección del momentum, de modo que PpP⁻¹ = −p, donde x y p son los operadores de posición y momento. Esto conserva el conmutador canónico [x, p] = iħ, donde ħ es la constante de Planck reducida, solo si se elige que P sea unitario, PiP⁻¹ = i.

Por otro lado, el operador de reversión de tiempo T, no le hace nada al operador x, TxT⁻¹ = x, pero invierte la dirección de p, de modo que TpT⁻¹ = −p. El conmutador canónico es invariable solo si T se elige como antiunitario, es decir, TiT⁻¹ = −i.

Otro argumento tiene que ver con la energía, el componente temporal de los cuatro impulsos. Si la inversión del tiempo se implementara como un operador unitario, invertiría el signo de la energía del mismo modo que la inversión del espacio invierte el signo del impulso. Esto no es posible porque, a diferencia del impulso, la energía siempre es positiva. Dado que la energía en la mecánica cuántica se define como el factor de fase exp(–iEt) que se obtiene cuando se avanza en el tiempo, la manera de invertir el tiempo conservando el signo de la energía es también invertir el sentido de "i", por lo que el sentido de las fases se invierte.

Del mismo modo, cualquier operación que invierta el sentido de fase, que cambie el signo de i, convertirá las energías positivas en energías negativas a menos que también cambie la dirección del tiempo. Así toda simetría antiunitaria en una teoría con energía positiva debe invertir la dirección del tiempo. Todo operador antiunitario se puede escribir como el producto del operador de inversión de tiempo y un operador unitario que no invierte el tiempo.

Para una partícula con espín J, se puede usar la representación

T=e^{-ipi J_{y}/hbar }K,

donde J_y es el componente y del giro, y el uso de TJT⁻¹ = −J se ha realizado.

Momentos dipolares eléctricos

Esto tiene una consecuencia interesante en el momento dipolar eléctrico (EDM) de cualquier partícula. El EDM se define a través del cambio en la energía de un estado cuando se pone en un campo eléctrico externo: Δe = d·E + E·δ·E, donde d se denomina EDM y δ, momento dipolar inducido. Una propiedad importante de un EDM es que el cambio de energía debido a él cambia de signo bajo una transformación de paridad. Sin embargo, dado que d es un vector, su valor esperado en un estado |ψ⟩ debe ser proporcional a ⟨ψ| J |ψ⟩, ese es el giro esperado. Por lo tanto, bajo inversión de tiempo, un estado invariante debe tener EDM desapareciendo. En otras palabras, un EDM que no desaparece señala la ruptura de simetría tanto P como T.

Algunas moléculas, como el agua, deben tener EDM independientemente de si T es una simetría. Esto es correcto; si un sistema cuántico tiene estados básicos degenerados que se transforman entre sí bajo paridad, entonces no es necesario romper la inversión de tiempo para dar EDM.

Los límites observados experimentalmente en el momento dipolar eléctrico del nucleón establecen actualmente límites estrictos sobre la violación de la simetría de inversión del tiempo en las interacciones fuertes y su teoría moderna: la cromodinámica cuántica. Luego, usando la invariancia CPT de una teoría cuántica de campo relativista, esto pone límites fuertes a la violación fuerte de CP.

Los límites experimentales del momento dipolar eléctrico del electrón también imponen límites a las teorías de la física de partículas y sus parámetros.

Kramers' teorema

Para T, que es un generador de simetría anti-unitaria Z₂

T² = UKUK = UU^* = U ()U^T)⁻¹ = Ё,

donde Φ es una matriz diagonal de fases. Como resultado, U = ΦU^T y U^T = UΦ, mostrando que

U CCPR U Ё.

Esto significa que las entradas en Φ son ±1, por lo que uno puede tener T² = ±1 . Esto es específico de la antiunitaridad de T. Para un operador unitario, como la paridad, se permite cualquier fase.

A continuación, tome una invariante hamiltoniana bajo T. Sean |a⟩ y T|a⟩ dos estados cuánticos de la misma energía. Ahora, si T² = −1, entonces uno encuentra que los estados son ortogonales: un resultado llamado Kramers' teorema. Esto implica que si T² = −1, entonces hay una doble degeneración en el estado. Este resultado en la mecánica cuántica no relativista presagia el teorema de la estadística de espín de la teoría cuántica de campos.

Estados cuánticos que dan representaciones unitarias de la inversión del tiempo, es decir, tienen T² = 1, se caracterizan por un número cuántico multiplicativo, a veces denominado paridad T.

Inversión temporal de las leyes dinámicas conocidas

La física de partículas codificó las leyes básicas de la dinámica en el modelo estándar. Esto se formula como una teoría cuántica de campos que tiene simetría CPT, es decir, las leyes son invariantes bajo la operación simultánea de inversión de tiempo, paridad y conjugación de carga. Sin embargo, se considera que la inversión del tiempo en sí misma no es una simetría (esto generalmente se denomina violación de CP). Hay dos posibles orígenes de esta asimetría, uno a través de la mezcla de diferentes sabores de quarks en sus decaimientos débiles, el segundo a través de una violación directa de CP en interacciones fuertes. El primero se ve en los experimentos, el segundo está fuertemente limitado por la no observación del EDM de un neutrón.

La violación de la inversión del tiempo no está relacionada con la segunda ley de la termodinámica, porque debido a la conservación de la simetría CPT, el efecto de la inversión del tiempo es renombrar partículas como antipartículas y viceversa. Por lo tanto, se cree que la segunda ley de la termodinámica se origina en las condiciones iniciales del universo.

Inversión temporal de mediciones no invasivas

Las mediciones fuertes (tanto clásicas como cuánticas) son ciertamente perturbadoras y causan asimetría debido a la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, las mediciones no invasivas no deben perturbar la evolución, por lo que se espera que sean simétricas en el tiempo. Sorprendentemente, solo es cierto en la física clásica, pero no en la física cuántica, incluso en un estado de equilibrio termodinámicamente invariable. Este tipo de asimetría es independiente de la simetría CPT pero aún no ha sido confirmada experimentalmente debido a las condiciones extremas de la propuesta de verificación.

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