Técnica de evaluación integral
En matemáticas, la sustitución trigonométrica es la sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica para evaluar integrales. Además, se pueden utilizar las identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales. Al igual que otros métodos de integración por sustitución, al evaluar una integral definida, puede resultar más sencillo deducir completamente la primitiva antes de aplicar los límites de integración.
Caso I: Integrandos que contienen a2 − x2 Vamos x=apecado Silencio Silencio ,{displaystyle x=asin theta} 1− − pecado2 Silencio Silencio =#2 Silencio Silencio .{displaystyle 1-sin ^{2}theta =cos ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso I Construcción geométrica para Caso I Ejemplo 1 En la integral
∫ ∫ dxa2− − x2,{displaystyle int {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}
podemos utilizar
x=apecado Silencio Silencio ,dx=a# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsin xa.{displaystyle x=asin thetaquad dx=acos theta ,dthetaquad theta = 'arcsin {frac - Sí.
Entonces,
∫ ∫ dxa2− − x2=∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2− − a2pecado2 Silencio Silencio =∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2()1− − pecado2 Silencio Silencio )=∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2#2 Silencio Silencio =∫ ∫ dSilencio Silencio =Silencio Silencio +C=arcsin xa+C.{displaystyle {begin{aligned}in {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}} {===} {fnMientras] +C[6pt] {x}}+C.end{aligned}}
El paso anterior requiere que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0} 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"># Silencio Silencio ■0.{displaystyle cos theta - No. a{displaystyle a} a2,{displaystyle a^{2},} <math alttext="{displaystyle -pi /2<theta − − π π /2.Silencio Silencio .π π /2{displaystyle -pi /2 =theta } <img alt="{displaystyle -pi /2<theta
Para una integral definida, hay que averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplo, como x{displaystyle x} 0{displaystyle 0} a/2,{displaystyle a/2,} pecado Silencio Silencio {displaystyle sin theta } 0{displaystyle 0} 1/2,{displaystyle 1/2,} Silencio Silencio {displaystyle theta } 0{displaystyle 0} π π /6.{displaystyle pi /6.}
∫ ∫ 0a/2dxa2− − x2=∫ ∫ 0π π /6dSilencio Silencio =π π 6.{displaystyle int ¿Qué? {a^{2}-x^{2}}=int ¿Qué? } {6}}
Se necesita algún cuidado al escoger los límites. Porque la integración anterior requiere que <math alttext="{displaystyle -pi /2<theta − − π π /2.Silencio Silencio .π π /2{displaystyle -pi /2 =theta } <img alt="{displaystyle -pi /2<theta Silencio Silencio {displaystyle theta } 0{displaystyle 0} π π /6.{displaystyle pi /6.} Silencio Silencio {displaystyle theta } π π {displaystyle pi} 5π π /6,{displaystyle 5pi /6,}
Como alternativa, evalúe completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da
∫ ∫ 0a/2dxa2− − x2=arcsin ()xa)Silencio0a/2=arcsin ()12)− − arcsin ()0)=π π 6{displaystyle int ¿Por qué? {fnMicroc {1}right)-arcsin(0)={frac {pic {pic}right)={fnMic {pic {pic} } {6}}
Ejemplo 2 La integral
∫ ∫ a2− − x2dx,{displaystyle int {sqrt {a^{2}-x^{2}},dx,}
se puede evaluar dejando x=apecado Silencio Silencio ,dx=a# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsin xa,{textstyle x=asin theta,dx=acos theta,dtheta,theta =arcsin {fracsin {x}{a}},} 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif} − − π π 2≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ π π 2{textstyle -{frac {pi ## {2}leq theta leq {frac {pi } {2}} # Silencio Silencio ≥ ≥ 0{displaystyle cos theta geq 0} #2 Silencio Silencio =# Silencio Silencio .{fnMicrosoft Sans Serif} }=cos theta.}
Entonces,
∫ ∫ a2− − x2dx=∫ ∫ a2− − a2pecado2 Silencio Silencio ()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()1− − pecado2 Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()#2 Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ ()a# Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =a2∫ ∫ #2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()1+# 2Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =a22()Silencio Silencio +12pecado 2Silencio Silencio )+C=a22()Silencio Silencio +pecado Silencio Silencio # Silencio Silencio )+C=a22()arcsin xa+xa1− − x2a2)+C=a22arcsin xa+x2a2− − x2+C.{2} {fnMicrosoft Sans Serif} {x}{a}+{frac} {x}{}{sqrt {1-{frac} {x^{2}}}}derecha)+C[6pt] {x}{a}+{frac} {x}{2}{sqrt - ¿Qué?
Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación Silencio Silencio =arcsin xa,{textstyle theta = 'arcsin {frac {x}{a}},} − − π π 2≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ π π 2.{textstyle -{frac {pi ## {2}leq theta leq {frac {pi } {2}}.
Por ejemplo, la integral definida
∫ ∫ − − 114− − x2dx,{displaystyle int _{-1}{1}{sqrt {4-x^{2},dx,}
puede ser evaluado por sustitución x=2pecado Silencio Silencio ,dx=2# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,{displaystyle x=2sin theta,dx=2cos theta ,dtheta} Silencio Silencio =arcsin x2.{textstyle theta = 'arcsin {frac {x}{2}}
Porque... arcsin ()1/2)=π π /6{displaystyle arcsin(1/{2})=pi /6} arcsin ()− − 1/2)=− − π π /6,{displaystyle arcsin(-1/2)=-pi /6,}
∫ ∫ − − 114− − x2dx=∫ ∫ − − π π /6π π /64− − 4pecado2 Silencio Silencio ()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /64()1− − pecado2 Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /64()#2 Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /6()2# Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =4∫ ∫ − − π π /6π π /6#2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =4∫ ∫ − − π π /6π π /6()1+# 2Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =2[Silencio Silencio +12pecado 2Silencio Silencio ]− − π π /6π π /6=[2Silencio Silencio +pecado 2Silencio Silencio ]Silencio− − π π /6π π /6=()π π 3+pecado π π 3)− − ()− − π π 3+pecado ()− − π π 3))=2π π 3+3.{displaystyle {begin{aligned}in ¿Qué? {2fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? }{3}+sin left(-{frac {pi {2fnK}right)={frac {2pi) {}}+{sqrt {3}end{aligned}}
Por otro lado, la aplicación directa de los términos límite a la fórmula obtenida previamente para la antiderivada produce
∫ ∫ − − 114− − x2dx=[222arcsin x2+x222− − x2]− − 11=()2arcsin 12+124− − 1)− − ()2arcsin ()− − 12)+− − 124− − 1)=()2⋅ ⋅ π π 6+32)− − ()2⋅ ⋅ ()− − π π 6)− − 32)=2π π 3+3{displaystyle {begin{aligned}in ¿Qué? {4-x^{2}},dx limit=left[{frac {2^{2}{2}}arcsin {fracsin} {x}{2}+{frac} {x}{2}} {2}-x^{2}}derecha]_{1}[6pt] {fnMicroc {1}}{2}{2}{2}{4-1}right)-left(2arcsin left(-{frac {1}{2}right)+{fracsinleft(2left) {-1}{2}{sqrt {4-1}right)[6pt] # {6}}+{fracsqrt {3}{2}right)-left(2cdot left(-{frac {pi}{6}right)-{frac {sqrt {3}{2}right)[6pt] } {3}+{sqrt {3}end{aligned}}
Caso II: Integrandos que contienen a2 + x2 Vamos x=a# Silencio Silencio ,{displaystyle x=atan theta} 1+#2 Silencio Silencio =sec2 Silencio Silencio .{displaystyle 1+tan ^{2}theta =sec ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso II Construcción geométrica para el caso II Ejemplo 1 En la integral
∫ ∫ dxa2+x2{displaystyle int {frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}
podemos escribir
x=a# Silencio Silencio ,dx=asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arctan xa,{displaystyle x=atan thetaquad dx=asec ^{2}theta ,dthetaquad theta = 'arctan {frac {x}{a}},}
para que la integral se convierta
∫ ∫ dxa2+x2=∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2+a2#2 Silencio Silencio =∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2()1+#2 Silencio Silencio )=∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2sec2 Silencio Silencio =∫ ∫ dSilencio Silencio a=Silencio Silencio a+C=1aarctan xa+C,{displaystyle {begin{aligned}int {frac {dx}{2}+x^{2}}} {=int} {frac {asec ^{2}theta ,dtheta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}rctan} {fnMicroc {x}}+C,end{aligned}}
proporcionadas aل ل 0.{displaystyle aneq 0}
Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación Silencio Silencio =arctan xa,{displaystyle theta =arctan {frac {x}{a}},} <math alttext="{displaystyle -{frac {pi }{2}}<theta − − π π 2.Silencio Silencio .π π 2.{displaystyle - ¿Qué? ♪♪♪♪♪Theta♪♪♪♪frac {pi } {2}}. <img alt="{displaystyle -{frac {pi }{2}}<theta
Por ejemplo, la integral definida
∫ ∫ 014dx1+x2{displaystyle int ¿Por qué?
puede ser evaluado por sustitución x=# Silencio Silencio ,dx=sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,{displaystyle x=tan theta,dx=sec ^{2}theta ,dtheta} Silencio Silencio =arctan x.{displaystyle theta =arctan x.}
Desde arctan 0=0{displaystyle arctan 0=0} arctan 1=π π /4,{displaystyle arctan 1=pi /4,}
∫ ∫ 014dx1+x2=4∫ ∫ 01dx1+x2=4∫ ∫ 0π π /4sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio 1+#2 Silencio Silencio =4∫ ∫ 0π π /4sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio sec2 Silencio Silencio =4∫ ∫ 0π π /4dSilencio Silencio =()4Silencio Silencio )Silencio0π π /4=4()π π 4− − 0)=π π .{displaystyle {begin{aligned}in {fnMicroc {4,dx}{1+x^{2}} {=4int {0} {0} {0} {0} {fn0} {fn0}}[6pt] âTMa {f} {f} {fn0} {fc}gn0}Thetatheta } {0} {0} {0}f} {f}fn0} {fn0}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnMinfnMinMinf}fnfnfnf}fnfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi ♫ {sec ^{2}theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Silencio. /4}=4left({frac {pi {4}-0right)=pi.end{aligned}}
Mientras tanto, la aplicación directa de los términos límite a la fórmula para la antiderivada produce
∫ ∫ 014dx1+x2=4∫ ∫ 01dx1+x2=4[11arctan x1]01=4()arctan x)Silencio01=4()arctan 1− − arctan 0)=4()π π 4− − 0)=π π ,{displaystyle {begin{aligned}in {0}{1}{4} {4,dx}{1+x^{2}, Puls=4int {fnK}\fnK}\\fnK}\\\fnK}\\fn}\\fnK} {1}{1}arctan {x}{1}right]_{1}\\\\\\\\cn4(arctan x){Bigg #### ############################################################################################################################################################################################################################################################ {4}-0right)=piend{aligned}
Ejemplo 2 La integral
∫ ∫ a2+x2dx{displaystyle int {sqrt {a^{2}+x^{2}},{dx}
se puede evaluar dejando x=a# Silencio Silencio ,dx=asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arctan xa,{displaystyle x=atan theta,dx=asec ^{2}theta ,dtheta,theta =arctan {frac {x}{a}},}
Donde 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif}=a,} <math alttext="{displaystyle -{frac {pi }{2}}<theta − − π π 2.Silencio Silencio .π π 2{displaystyle - ¿Qué? ♪♪♪♪♪Theta♪♪♪♪frac {pi } {2}} <img alt="{displaystyle -{frac {pi }{2}}<theta 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">sec Silencio Silencio ■0{displaystyle sec theta } sec2 Silencio Silencio =sec Silencio Silencio .{displaystyle {sqrt {ssec }theta {fnMicrosoft Sans Serif}=sec theta.}
Entonces,
∫ ∫ a2+x2dx=∫ ∫ a2+a2#2 Silencio Silencio ()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()1+#2 Silencio Silencio )()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2sec2 Silencio Silencio ()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ ()asec Silencio Silencio )()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =a2∫ ∫ sec3 Silencio Silencio dSilencio Silencio .{fnMicrosoft Sans Serif}
∫ ∫ a2+x2dx=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio +In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)+C=a22()1+x2a2⋅ ⋅ xa+In Silencio1+x2a2+xaSilencio)+C=12()xa2+x2+a2In Silenciox+a2+x2aSilencio)+C.{displaystyle {begin{aligned}nt {sqrt {a^{2}+x^{2}},dx limit={frac {a^{2} {2}} {sec theta tan theta +ln Silenciosec theta +tan theta ¿Por qué? {x}} {cdot} {fnMicroc {x} {fn}fn}fn} left perpetua{sqrt {1+{frac {fnK}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {x}{a}} 'justo en la vidaright)+C[6pt] {a^{2}+x^{2}}+a^{2}ln} {fnMicroc {x+{sqrt {a^{2}+x^{2}}{a}}}right WordPressright)+C.end{aligned}}}
Caso III: Integrandos que contienen x2 − a2 Vamos x=asec Silencio Silencio ,{displaystyle x=asectheta} sec2 Silencio Silencio − − 1=#2 Silencio Silencio .{displaystyle sec ^{2}theta -1=tan ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso III Construcción geométrica para el caso III Integrales como
∫ ∫ dxx2− − a2{displaystyle int {frac {dx}{2}-a}}}
también se puede evaluar mediante fracciones parciales en lugar de sustituciones trigonométricas. Sin embargo, la integral
∫ ∫ x2− − a2dx{displaystyle int {sqrt {x^{2}-a^{2}},dx}
no puedo. En este caso, una sustitución apropiada es:
x=asec Silencio Silencio ,dx=asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsec xa,{displaystyle x=asec theta,dx=asec theta tan theta,dtheta,theta =operatorname {arcsec} {fnMicroc {x}{a}},}
Donde 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif}=a,} <math alttext="{displaystyle 0leq theta 0≤ ≤ Silencio Silencio .π π 2{displaystyle 0leq theta ♪♪frac {pi } {2}} <img alt="{displaystyle 0leq theta 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0,{displaystyle x confianza0,} # Silencio Silencio ≥ ≥ 0{displaystyle tan theta geq 0} #2 Silencio Silencio =# Silencio Silencio .{displaystyle {sqrt {tan }=tan theta.}
Entonces,
∫ ∫ x2− − a2dx=∫ ∫ a2sec2 Silencio Silencio − − a2⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()sec2 Silencio Silencio − − 1)⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2#2 Silencio Silencio ⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2sec Silencio Silencio #2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()sec Silencio Silencio )()sec2 Silencio Silencio − − 1)dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()sec3 Silencio Silencio − − sec Silencio Silencio )dSilencio Silencio .{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft}cH}fnMicros =ccH}cH0}fnun}Thetat} {fnMicrosoft Sans Serif}
Uno puede evaluar la parte integral de la función secant multiplicando el numerador y el denominador por ()sec Silencio Silencio +# Silencio Silencio ){displaystyle (sec theta +tan theta)}
∫ ∫ x2− − a2dx=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio +In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)− − a2In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio+C=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio − − In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)+C=a22()xa⋅ ⋅ x2a2− − 1− − In Silencioxa+x2a2− − 1Silencio)+C=12()xx2− − a2− − a2In Silenciox+x2− − a2aSilencio)+C.{displaystyle {begin{aligned}int {sqrt {x^{2}-a^{2}}},dx limit={frac {a^{2} {2}} {sec theta tan theta +ln Нодsec theta +tan theta ←)-a^{2}ln Нsec theta +tan theta {2}{2} {2} {sec theta tan theta -ln +tan theta ¿Por qué? {x^{2}{a^{2}}}}-ln} left sometida{frac {fnK}}+ {fnMicroc} {x^{2}{a^{2}}}}}}}derechoderecho)+C[6pt] {x^{2}-a^{2}}-a^{2}ln left sometida{frac {x+{sqrt {x^{2}-a^{2}}} {a}}derechoderecho)+C.end{aligned}}}}
Cuando <math alttext="{displaystyle {frac {pi }{2}}π π 2.Silencio Silencio ≤ ≤ π π ,{displaystyle {frac {pi}{2} {theta leqpi} <img alt="{displaystyle {frac {pi }{2}}<math alttext="{displaystyle xx.0{displaystyle x realizadas0} <img alt="x# Silencio Silencio ≤ ≤ 0,{displaystyle tan theta leq 0,} #2 Silencio Silencio =− − # Silencio Silencio {displaystyle {sqrt {tan }theta }=- 'tan theta }
Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas La sustitución se puede utilizar para eliminar funciones trigonométricas.
Por ejemplo,
∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 1± ± 1− − u2f()u,± ± 1− − u2)duu=pecado ()x)∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 1∓ ∓ 1− − u2f()± ± 1− − u2,u)duu=# ()x)∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 21+u2f()2u1+u2,1− − u21+u2)duu=# ()x2)################################################################################################################################################################################################################################################################ {2u}{1+u^{2}}} {frac {1-u^{2}{1+u^{2}}}derecha),du trocito hu=tan left({tfrac {x}{2}}derecha)[6pt]end{aligned}}}}}
La última sustitución se conoce como sustitución de Weierstrass, que utiliza fórmulas de medio ángulo tangente.
Por ejemplo,
∫ ∫ 4# x()1+# x)3dx=∫ ∫ 21+u24()1− − u21+u2)()1+1− − u21+u2)3du=∫ ∫ ()1− − u2)()1+u2)du=∫ ∫ ()1− − u4)du=u− − u55+C=# x2− − 15#5 x2+C.{displaystyle {begin{aligned}int {frac {4cos x}{(1+cos x)}}},dx limit=int {frac} {2}{1+u^{2}}{frac {4left({frac {1-u^{2}{1+u^{2}}}right)}{left(1+{frac}{2}}}}}}{derecho)}{left(1+{frac}{0}{2}}}}}}}}}}}}}}{dere}}{dere)}}{left}{left(1+{left(1+{left {left(1+{}{i}{i}{e}{e}{i}{i}{q}{i}{i}{i}{}{}{}{}{}}{i}{i}}}}{}}}}}}}}{i}}}{i}}{i}}{i}}}}}}}}}}}}}{ {1-u^{2}{1+u^{2}}right)},du=int (1-u^{2})(1+u^{2}),du\=int (1-u^{4}),du=u {fn} {fn} {fn} {fn}fnh}- {fn} {fn}}tan } {fn}{5} {fn} {fn}fn}fn}fn} {fn0}f}fn0}fn}fn}fn} {fn}fn}fn}fn}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}f}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn} {x}{2}+C.end{aligned}}
Sustitución hiperbólica Las sustituciones de funciones hiperbólicas también se pueden utilizar para simplificar integrales.
In the integral ∫ ∫ dxa2+x2,{displaystyle int {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}},} x=apecado u,{displaystyle x=asinh {u} dx=acosh udu.{displaystyle dx=acosh u,du.}
Entonces, usando las identidades cosh2 ()x)− − pecado2 ()x)=1{displaystyle cosh ^{2}(x)-sinh ^{2}(x)=1} pecado− − 1 x=In ()x+x2+1),{displaystyle sinh ^{-1}{x}=ln(x+{sqrt {x^{2}+1}}}}}
∫ ∫ dxa2+x2=∫ ∫ acosh udua2+a2pecado2 u,=∫ ∫ acosh udua1+pecado2 u=∫ ∫ acosh uacosh udu=u+C=pecado− − 1 xa+C=In ()x2a2+1+xa)+C=In ()x2+a2+xa)+C{displaystyle {begin{aligned}in {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}}}, Pulido=int {frac {acosh u,du}{sqrt {a^{2}+a}peh ^{2}u}}\[6pt] Consiguiente=nse {af} {f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\\f}\f}f}f}f}\\\\\fnh00\fnh00}\\\\fnh00\fnh00}\\fnh00fnh00}fnh00}\fnh00}\fnh00}\\fn {1+fnh ^{2}}}},[6pt] sentimiento=int {frac {acosh {u}{acosh u}},du[6pt] limit=u+C[6pt] {x}{a}}+C[6pt] {x^{2}}{a^{2}}}}+1}+{frac {x}{a}right)+C[6pt] {fnMicrosoft Sans Serif}
Más resultados...
![{displaystyle {begin{aligned}int {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}-a^{2}sin ^{2}theta }}}\[6pt]&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}(1-sin ^{2}theta)}}}\[6pt]&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}cos ^{2}theta }}}\[6pt]&=int dtheta \[6pt]&=theta +C\[6pt]&=arcsin {frac {x}{a}}+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f45f461035d567bc90912abb383b4f184bc87)
![{displaystyle {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}-x^{2}}},dx&=int {sqrt {a^{2}-a^{2}sin ^{2}theta }},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(1-sin ^{2}theta)}},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(cos ^{2}theta)}},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int (acos theta)(acos theta),dtheta \[6pt]&=a^{2}int cos ^{2}theta ,dtheta \[6pt]&=a^{2}int left({frac {1+cos 2theta }{2}}right),dtheta \[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left(theta +{frac {1}{2}}sin 2theta right)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}(theta +sin theta cos theta)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left(arcsin {frac {x}{a}}+{frac {x}{a}}{sqrt {1-{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}right)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}arcsin {frac {x}{a}}+{frac {x}{2}}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc8b7727d973d3575d22f781010591f86e20436)
![{displaystyle {begin{aligned}int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}}},dx&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4-4sin ^{2}theta }},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4(1-sin ^{2}theta)}},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4(cos ^{2}theta)}},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}(2cos theta)(2cos theta),dtheta \[6pt]&=4int _{-pi /6}^{pi /6}cos ^{2}theta ,dtheta \[6pt]&=4int _{-pi /6}^{pi /6}left({frac {1+cos 2theta }{2}}right),dtheta \[6pt]&=2left[theta +{frac {1}{2}}sin 2theta right]_{-pi /6}^{pi /6}=[2theta +sin 2theta ]{Biggl |}_{-pi /6}^{pi /6}\[6pt]&=left({frac {pi }{3}}+sin {frac {pi }{3}}right)-left(-{frac {pi }{3}}+sin left(-{frac {pi }{3}}right)right)={frac {2pi }{3}}+{sqrt {3}}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00648715967922d2740a30e742875ae05a2a32ba)
![{displaystyle {begin{aligned}int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}}},dx&=left[{frac {2^{2}}{2}}arcsin {frac {x}{2}}+{frac {x}{2}}{sqrt {2^{2}-x^{2}}}right]_{-1}^{1}\[6pt]&=left(2arcsin {frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {4-1}}right)-left(2arcsin left(-{frac {1}{2}}right)+{frac {-1}{2}}{sqrt {4-1}}right)\[6pt]&=left(2cdot {frac {pi }{6}}+{frac {sqrt {3}}{2}}right)-left(2cdot left(-{frac {pi }{6}}right)-{frac {sqrt {3}}{2}}right)\[6pt]&={frac {2pi }{3}}+{sqrt {3}}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331bd80b5e0c5a19ece342b80e800bd3d1bc2093)
![{displaystyle {begin{aligned}int {frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}+a^{2}tan ^{2}theta }}\[6pt]&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}(1+tan ^{2}theta)}}\[6pt]&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}sec ^{2}theta }}\[6pt]&=int {frac {dtheta }{a}}\[6pt]&={frac {theta }{a}}+C\[6pt]&={frac {1}{a}}arctan {frac {x}{a}}+C,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c65e486a1f8cafb8397f72820972c35efacd858)
![{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{1}{frac {4,dx}{1+x^{2}}}&=4int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x^{2}}}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}{frac {sec ^{2}theta ,dtheta }{1+tan ^{2}theta }}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}{frac {sec ^{2}theta ,dtheta }{sec ^{2}theta }}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}dtheta \[6pt]&=(4theta){Bigg |}_{0}^{pi /4}=4left({frac {pi }{4}}-0right)=pi.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fdc8a13ac2312f87a1c7b36cef5ca23eb89075)
![{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{1}{frac {4,dx}{1+x^{2}}},&=4int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x^{2}}}\&=4left[{frac {1}{1}}arctan {frac {x}{1}}right]_{0}^{1}\&=4(arctan x){Bigg |}_{0}^{1}\&=4(arctan 1-arctan 0)\&=4left({frac {pi }{4}}-0right)=piend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081634b15dacaea99b95c6098ca725130867b575)
![{displaystyle {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}+x^{2}}},dx&=int {sqrt {a^{2}+a^{2}tan ^{2}theta }},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(1+tan ^{2}theta)}},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}sec ^{2}theta }},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int (asec theta)(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=a^{2}int sec ^{3}theta ,dtheta.\[6pt]end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108a5f1becea83b5cb41021d81544ff3e1bab889)
![{displaystyle {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}+x^{2}}},dx&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta +ln |sec theta +tan theta |)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left({sqrt {1+{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}cdot {frac {x}{a}}+ln left|{sqrt {1+{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{frac {x}{a}}right|right)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}left(x{sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}ln left|{frac {x+{sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}right|right)+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b28bc818f9ffcffedfb2e767d2d578c4a3e038)
![{displaystyle {begin{aligned}int {sqrt {x^{2}-a^{2}}},dx&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta +ln |sec theta +tan theta |)-a^{2}ln |sec theta +tan theta |+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta -ln |sec theta +tan theta |)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left({frac {x}{a}}cdot {sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-ln left|{frac {x}{a}}+{sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}right|right)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}left(x{sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}ln left|{frac {x+{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}right|right)+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d551bea9f1a33df981d45ab8cf11a1443d6da85)
![{displaystyle {begin{aligned}int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {1}{pm {sqrt {1-u^{2}}}}}fleft(u,pm {sqrt {1-u^{2}}}right),du&&u=sin(x)\[6pt]int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {1}{mp {sqrt {1-u^{2}}}}}fleft(pm {sqrt {1-u^{2}}},uright),du&&u=cos(x)\[6pt]int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {2}{1+u^{2}}}fleft({frac {2u}{1+u^{2}}},{frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}right),du&&u=tan left({tfrac {x}{2}}right)\[6pt]end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9a11e89e8ccd82a402c1c24e5c755bdd6400a0)
![{displaystyle {begin{aligned}int {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}}},&=int {frac {acosh u,du}{sqrt {a^{2}+a^{2}sinh ^{2}u}}}\[6pt]&=int {frac {acosh {u},du}{a{sqrt {1+sinh ^{2}{u}}}}},\[6pt]&=int {frac {acosh {u}}{acosh u}},du\[6pt]&=u+C\[6pt]&=sinh ^{-1}{frac {x}{a}}+C\[6pt]&=ln left({sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{frac {x}{a}}right)+C\[6pt]&=ln left({frac {{sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}right)+Cend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dfc6ede19e302c07cf5a7e8d82c4d682f8984e)