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Vector differential operator

Del operador,
representado por
el símbolo nabla

Del, o nabla, es un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial) como un operador diferencial vectorial, generalmente representado por el símbolo nabla ∇ . Cuando se aplica a una función definida en un dominio unidimensional, denota la derivada estándar de la función tal como se define en el cálculo. Cuando se aplica a un campo (una función definida en un dominio multidimensional), puede denotar cualquiera de los tres operadores dependiendo de la forma en que se aplique: el gradiente o (localmente) la pendiente más pronunciada de un campo escalar (oa veces de un campo vectorial, como en las ecuaciones de Navier-Stokes); la divergencia de un campo vectorial; o el curl (rotación) de un campo vectorial.

Estrictamente hablando, del no es un operador específico, sino una notación matemática conveniente para esos tres operadores que hace que muchas ecuaciones sean más fáciles de escribir y recordar. El símbolo del (o nabla) se puede interpretar como un vector de operadores derivados parciales; y sus tres posibles significados (gradiente, divergencia y rotacional) pueden verse formalmente como el producto con un escalar, un producto escalar y un producto vectorial, respectivamente, del "operador del" con el campo Estos productos formales no necesariamente conmutan con otros operadores o productos. Estos tres usos, que se detallan a continuación, se resumen en:

Gradiente: ${displaystyle operatorname {grad} f=nabla f}$
Divergencia: ${displaystyle operatorname {div} {vec {v}}=nabla cdot {vec {v}}}$
Curl: ${displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=nabla times {vec {v}}}$

Definición

En el sistema de coordenadas cartesianas $mathbb {R} ^{n}$ con coordenadas $(x_{1},dotsx_{n})$ y base estándar ${{vec e}_{1},dots{vec e}_{n}}$ , del se define en términos de operadores derivados parciales como

{displaystyle nabla =sum _{i=1}^{n}{vec {e}}_{i}{partial over partial x_{i}}=left({partial over partial x_{1}},ldots{partial over partial x_{n}}right)}

Donde la expresión entre paréntesis es un vector de filas. En el sistema tridimensional de coordenadas cartesianas $mathbb {R} ^{3}$ con coordenadas $(x,y,z)$ y base estándar o vectores de ejes ${{vec e}_{x},{vec e}_{y},{vec e}_{z}}$ , del está escrito como

{displaystyle nabla ={vec {e}}_{x}{partial over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial over partial y}+{vec {e}}_{z}{partial over partial z}=left({partial over partial x},{partial over partial y},{partial over partial z}right)}

Ejemplo:

{displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}

{displaystyle nabla f={vec {e}}_{x}{partial f over partial x}+{vec {e}}_{y}{partial f over partial y}+{vec {e}}_{z}{partial f over partial z}=left(1,1,1right)}

Del también se puede expresar en otros sistemas de coordenadas, véase, por ejemplo, del en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Usos de notación

Del se usa como forma abreviada para simplificar muchas expresiones matemáticas largas. Se usa más comúnmente para simplificar expresiones de gradiente, divergencia, rotacional, derivada direccional y laplaciana.

Gradiente

El derivado vectorial de un campo de escalar $f$ se llama el gradiente, y puede ser representado como:

operatorname {grad}f={partial f over partial x}{vec e}_{x}+{partial f over partial y}{vec e}_{y}+{partial f over partial z}{vec e}_{z}=nabla f

Siempre apunta en la dirección del mayor aumento de $f$ , y tiene una magnitud igual a la tasa máxima de aumento en el punto - como un derivado estándar. En particular, si una colina se define como una función de altura sobre un plano $h(x,y)$ , el gradiente en un lugar dado será un vector en el plano xy (visualizable como una flecha en un mapa) señalando a lo largo de la dirección más empinada. La magnitud del gradiente es el valor de esta pendiente más empinada.

En particular, esta notación es poderosa porque la regla del producto de gradiente se parece mucho al caso de la derivada 1d:

nabla(f g) = f nabla g + g nabla f

Sin embargo, las reglas para los productos escalares no resultan ser simples, como se ilustra en:

nabla (vec u cdot vec v) = (vec u cdot nabla) vec v + (vec v cdot nabla) vec u + vec u times (nabla times vec v) + vec v times (nabla times vec u)

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ es un campo de escalar que puede ser representado como:

operatorname {div}{vec v}={partial v_{x} over partial x}+{partial v_{y} over partial y}+{partial v_{z} over partial z}=nabla cdot {vec v}

La divergencia es aproximadamente una medida del aumento de un campo vectorial en la dirección en la que apunta; pero más exactamente, es una medida de la tendencia de ese campo a converger o divergir de un punto.

La potencia de la notación del se muestra mediante la siguiente regla del producto:

{displaystyle nabla cdot (f{vec {v}})=(nabla f)cdot {vec {v}}+f(nabla cdot {vec {v}})}

La fórmula del producto vectorial es un poco menos intuitiva, porque este producto no es conmutativo:

{displaystyle nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})=(nabla times {vec {u}})cdot {vec {v}}-{vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})}

Rizado

El borde de un campo vectorial ${vec v}(x,y,z)=v_{x}{vec e}_{x}+v_{y}{vec e}_{y}+v_{z}{vec e}_{z}$ es una función vectorial que se puede representar como:

{displaystyle operatorname {curl} {vec {v}}=left({partial v_{z} over partial y}-{partial v_{y} over partial z}right){vec {e}}_{x}+left({partial v_{x} over partial z}-{partial v_{z} over partial x}right){vec {e}}_{y}+left({partial v_{y} over partial x}-{partial v_{x} over partial y}right){vec {e}}_{z}=nabla times {vec {v}}}

El rizo en un punto es proporcional al par en el eje al que estaría sujeto un pequeño molinete si estuviera centrado en ese punto.

La operación de producto vectorial se puede visualizar como un pseudodeterminante:

nabla times {vec v}=left|{begin{matrix}{vec e}_{x}&{vec e}_{y}&{vec e}_{z}\[2pt]{{frac {partial }{partial x}}}&{{frac {partial }{partial y}}}&{{frac {partial }{partial z}}}\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}end{matrix}}right|

De nuevo, la potencia de la notación se muestra mediante la regla del producto:

nabla times (f{vec v})=(nabla f)times {vec v}+f(nabla times {vec v})

La regla del producto vectorial no resulta sencilla:

nabla times (vec u times vec v) = vec u , (nabla cdot vec v) - vec v , (nabla cdot vec u) + (vec v cdot nabla) , vec u - (vec u cdot nabla) , vec v

Derivada direccional

(feminine)

El derivado direccional de un campo de escalar $f(x,y,z)$ en la dirección ${vec a}(x,y,z)=a_{x}{vec e}_{x}+a_{y}{vec e}_{y}+a_{z}{vec e}_{z}$ se define como:

{displaystyle {vec {a}}cdot operatorname {grad} f=a_{x}{partial f over partial x}+a_{y}{partial f over partial y}+a_{z}{partial f over partial z}={vec {a}}cdot (nabla f)}

Esto da la tasa de cambio de un campo $f$ en la dirección de ${vec {a}}$ , escalada por la magnitud de ${vec {a}}$ . En la notación del operador, el elemento entre paréntesis puede considerarse una unidad única coherente; la dinámica del fluido utiliza ampliamente esta convención, calificándola el derivado convectivo: el derivado "movido" del fluido.

Note que $({vec a}cdot nabla)$ es un operador que lleva el cuero cabelludo a un escalar. Puede ampliarse para operar en un vector, operando por separado en cada uno de sus componentes.

Laplaciano

El operador de Laplace es un operador escalar que se puede aplicar a campos vectoriales o escalares; para sistemas de coordenadas cartesianas se define como:

Delta = {partial^2 over partial x^2} + {partial^2 over partial y^2} + {partial^2 over partial z^2} = nabla cdot nabla = nabla^2

y la definición para sistemas de coordenadas más generales se da en el vector Laplaciano.

El laplaciano es omnipresente en la física matemática moderna y aparece, por ejemplo, en la ecuación de Laplace, la ecuación de Poisson, la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger.

Matriz hessiana

Mientras tanto $nabla ^{2}$ generalmente representa el laplaciano, a veces $nabla ^{2}$ representa también la matriz hesiana. El primero se refiere al producto interno de $nabla$ , mientras que este último se refiere al producto dyadic $nabla$ :

{displaystyle nabla ^{2}=nabla cdot nabla ^{T}}

Así que si $nabla ^{2}$ se refiere a una matriz laplaciana o hesiana depende del contexto.

Derivada del tensor

(feminine)

Del también se puede aplicar a un campo vectorial con el resultado de ser un tensor. El derivado tensor de un campo vectorial ${vec {v}}$ (en tres dimensiones) es un tensor de segundo rango 9-term – es decir, una matriz 3×3 – pero se puede denotar simplemente como $nabla otimes vec{v}$ , donde $otimes$ representa el producto dyadic. Esta cantidad equivale a la transposición de la matriz jacobiana del campo vectorial con respecto al espacio. La divergencia del campo vectorial se puede expresar como el trazo de esta matriz.

Para un pequeño desplazamiento $delta vec{r}$ , el cambio en el campo vectorial se da por:

{displaystyle delta {vec {v}}=(nabla otimes {vec {v}})^{T}cdot delta {vec {r}}}

Reglas de productos

Para cálculo vectorial:

{displaystyle {begin{aligned}nabla (fg)&=fnabla g+gnabla f\nabla ({vec {u}}cdot {vec {v}})&={vec {u}}times (nabla times {vec {v}})+{vec {v}}times (nabla times {vec {u}})+({vec {u}}cdot nabla){vec {v}}+({vec {v}}cdot nabla){vec {u}}\nabla cdot (f{vec {v}})&=f(nabla cdot {vec {v}})+{vec {v}}cdot (nabla f)\nabla cdot ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {v}}cdot (nabla times {vec {u}})-{vec {u}}cdot (nabla times {vec {v}})\nabla times (f{vec {v}})&=(nabla f)times {vec {v}}+f(nabla times {vec {v}})\nabla times ({vec {u}}times {vec {v}})&={vec {u}},(nabla cdot {vec {v}})-{vec {v}},(nabla cdot {vec {u}})+({vec {v}}cdot nabla),{vec {u}}-({vec {u}}cdot nabla),{vec {v}}end{aligned}}}

Para cálculo de matriz (para el cual ${displaystyle {vec {u}}cdot {vec {v}}}$ puede ser escrito ${displaystyle {vec {u}}^{text{T}}{vec {v}}}$ ):

{displaystyle {begin{aligned}left(mathbf {A} nabla right)^{text{T}}{vec {u}}&=nabla ^{text{T}}left(mathbf {A} ^{text{T}}{vec {u}}right)-left(nabla ^{text{T}}mathbf {A} ^{text{T}}right){vec {u}}end{aligned}}}

Otra relación de interés (véase por ejemplo. Ecuaciones de Euler) es el siguiente, donde ${displaystyle {vec {u}}otimes {vec {v}}}$ es el tensor del producto exterior:

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot ({vec {u}}otimes {vec {v}})=(nabla cdot {vec {u}}){vec {v}}+({vec {u}}cdot nabla){vec {v}}end{aligned}}}

Segundas derivadas

(feminine)

Gráfico DCG: Un gráfico simple que representa todas las reglas relativas a los segundos derivados. D, C, G, L y CC destacan por divergencia, rizo, gradiente, laplaciano y rizo de rizo, respectivamente. Las flechas indican la existencia de segundos derivados. El círculo azul en el medio representa el rizo del rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (degradados) significan que DD y GG no existen.

Cuando del opera en un escalar o un vector, se devuelve un escalar o un vector. Debido a la diversidad de productos vectoriales (escalar, punto, cruz), una aplicación de del ya da lugar a tres derivados principales: el gradiente (producto escalar), la divergencia (producto punto) y rotacional (producto cruz). La aplicación de estos tres tipos de derivadas nuevamente entre sí da cinco posibles segundas derivadas, para un campo escalar f o un campo vectorial v; el uso del Laplaciano escalar y el Laplaciano vectorial da dos más:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {div} (operatorname {grad} f)&=nabla cdot (nabla f)\operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)\Delta f&=nabla ^{2}f\operatorname {div} (operatorname {grad} f)&=Delta f\operatorname {grad} (operatorname {div} {vec {v}})&=nabla (nabla cdot {vec {v}})\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})\operatorname {curl} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla times (nabla times {vec {v}})\Delta {vec {v}}&=nabla ^{2}{vec {v}}end{aligned}}}

Estos son de interés principalmente porque no siempre son únicos o independientes entre sí. Mientras las funciones sean bien interpretadas ( ${displaystyle C^{infty }}$ en la mayoría de los casos), dos de ellos son siempre cero:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {curl} (operatorname {grad} f)&=nabla times (nabla f)=0\operatorname {div} (operatorname {curl} {vec {v}})&=nabla cdot (nabla times {vec {v}})=0end{aligned}}}

Dos de ellos son siempre iguales:

{displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} f)=nabla cdot (nabla f)=nabla ^{2}f=Delta f}

Las 3 derivadas vectoriales restantes están relacionadas por la ecuación:

{displaystyle nabla times left(nabla times {vec {v}}right)=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla ^{2}{vec {v}}}

Y uno de ellos puede incluso expresarse con el producto tensorial, si las funciones se comportan bien:

{displaystyle nabla (nabla cdot {vec {v}})=nabla cdot ({vec {v}}otimes nabla)}

Precauciones

La mayoría de las propiedades de los vectores anteriores (excepto aquellas que se basan explícitamente en las propiedades diferenciales del'por ejemplo, la regla del producto) se basan únicamente en la reorganización del símbolo y necesariamente deben cumplirse si el símbolo del se reemplaza por cualquier otro vector. Esto es parte del valor que se gana al representar notacionalmente este operador como un vector.

Aunque a menudo se puede reemplazar del con un vector y obtener una identidad vectorial, haciendo esas identidades mnemotécnicas, lo contrario no es necesariamente confiable, porque del no conmuta en general.

Un contraejemplo que demuestra la divergencia ( ${displaystyle nabla cdot {vec {v}}}$ ) y el operador de advección ( ${displaystyle {vec {v}}cdot nabla }$ ) no son conmutativos:

{displaystyle {begin{aligned}({vec {u}}cdot {vec {v}})f&equiv ({vec {v}}cdot {vec {u}})f\(nabla cdot {vec {v}})f&=left({frac {partial v_{x}}{partial x}}+{frac {partial v_{y}}{partial y}}+{frac {partial v_{z}}{partial z}}right)f={frac {partial v_{x}}{partial x}}f+{frac {partial v_{y}}{partial y}}f+{frac {partial v_{z}}{partial z}}f\({vec {v}}cdot nabla)f&=left(v_{x}{frac {partial }{partial x}}+v_{y}{frac {partial }{partial y}}+v_{z}{frac {partial }{partial z}}right)f=v_{x}{frac {partial f}{partial x}}+v_{y}{frac {partial f}{partial y}}+v_{z}{frac {partial f}{partial z}}\Rightarrow (nabla cdot {vec {v}})f&neq ({vec {v}}cdot nabla)f\end{aligned}}}

Un contraejemplo que se basa en las propiedades diferenciales del's:

{displaystyle {begin{aligned}(nabla x)times (nabla y)&=left({vec {e}}_{x}{frac {partial x}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial x}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial x}{partial z}}right)times left({vec {e}}_{x}{frac {partial y}{partial x}}+{vec {e}}_{y}{frac {partial y}{partial y}}+{vec {e}}_{z}{frac {partial y}{partial z}}right)\&=({vec {e}}_{x}cdot 1+{vec {e}}_{y}cdot 0+{vec {e}}_{z}cdot 0)times ({vec {e}}_{x}cdot 0+{vec {e}}_{y}cdot 1+{vec {e}}_{z}cdot 0)\&={vec {e}}_{x}times {vec {e}}_{y}\&={vec {e}}_{z}\({vec {u}}x)times ({vec {u}}y)&=xy({vec {u}}times {vec {u}})\&=xy{vec {0}}\&={vec {0}}end{aligned}}}

El centro de estas distinciones es el hecho de que del no es simplemente un vector; es un operador vectorial. Mientras que un vector es un objeto con magnitud y dirección, del no tiene ni magnitud ni dirección hasta que opera en una función.

Por esa razón, las identidades que involucran del deben derivarse con cuidado, utilizando tanto identidades vectoriales como identidades de diferenciación como la regla del producto.

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