Superposición cuántica

Superposición cuántica es un principio fundamental de la mecánica cuántica. Establece que, al igual que las ondas en la física clásica, se pueden sumar ('superponer') dos (o más) estados cuánticos cualesquiera y el resultado será otro estado cuántico válido; ya la inversa, que cada estado cuántico puede representarse como una suma de dos o más estados distintos. Matemáticamente, se refiere a una propiedad de las soluciones de la ecuación de Schrödinger; dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, cualquier combinación lineal de soluciones también será una solución (s) .

Un ejemplo de una manifestación físicamente observable de la naturaleza ondulatoria de los sistemas cuánticos son los picos de interferencia de un haz de electrones en un experimento de doble rendija. El patrón es muy similar al obtenido por difracción de ondas clásicas.

Otro ejemplo es un estado qubit lógico cuántico, como se utiliza en el procesamiento de la información cuántica, que es una superposición cuántica de los "estados de la base" Silencio0.. {displaystyle Silencioso y Silencio1.. {displaystyle ← }. Aquí. Silencio0.. {displaystyle Silencioso es la notación Dirac para el estado cuántico que siempre dará el resultado 0 cuando se convierte a la lógica clásica por una medición. Igualmente Silencio1.. {displaystyle ← } es el estado que siempre se convertirá a 1. Contrariamente a un bit clásico que sólo puede estar en el estado correspondiente a 0 o el estado correspondiente a 1, un qubit puede estar en una superposición de ambos estados. Esto significa que las probabilidades de medir 0 o 1 para un cuarto no son en general ni 0,0 ni 1.0, y las mediciones múltiples hechas en cuartos en estados idénticos no siempre darán el mismo resultado.

Concepto

El principio de superposición cuántica establece que si un sistema físico puede estar en una de muchas configuraciones (arreglos de partículas o campos), entonces el estado más general es una combinación de todas estas posibilidades, donde se especifica la cantidad en cada configuración. por un número complejo.

Por ejemplo, si hay dos configuraciones etiquetadas con 0 y 1, el estado más general sería

c0▪ ▪ 0.. +c1▪ ▪ 1.. {displaystyle {0} {mid}0rangle - ¿Qué?

donde los coeficientes son números complejos que describen cuánto entra en cada configuración.

El principio fue descrito por Paul Dirac de la siguiente manera:

El principio general de la superposición de la mecánica cuántica se aplica a los estados [que son teóricamente posibles sin interferencia o contradicción mutua]... de cualquier sistema dinámico. Se requiere que asuman que entre estos estados existen relaciones peculiares como que cuando el sistema está definitivamente en un estado podemos considerar que es parte en cada uno de dos o más estados. El estado original debe ser considerado como el resultado de una especie de superposición de los dos o más nuevos estados, de una manera que no puede concebirse en ideas clásicas. Cualquier estado puede ser considerado como el resultado de una superposición de dos o más estados, y de hecho en un número infinito de maneras. Por el contrario, cualquier dos o más estados pueden ser superpuestos para dar un nuevo estado...

La naturaleza no clásica del proceso de superposición es sacada claramente si consideramos la superposición de dos estados, A y B, tal que existe una observación que, cuando se hace en el sistema en estado A, es seguro conducir a un resultado particular, a y cuando se hace en el sistema en estado B es seguro conducir a algún resultado diferente, b di. ¿Cuál será el resultado de la observación cuando se haga en el sistema en el estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será a veces a y a veces b, según una ley de probabilidad dependiendo de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será diferente de ambos a y b [i.e., either a o b]. El carácter intermedio del estado formado por la superposición se expresa así a través de la probabilidad de un resultado particular para una observación siendo intermedia entre las probabilidades correspondientes para los estados originales, no a través del resultado mismo siendo intermedio entre los resultados correspondientes para los estados originales.

Anton Zeilinger, refiriéndose al ejemplo prototípico del experimento de la doble rendija, ha desarrollado sobre la creación y destrucción de la superposición cuántica:

"La superposición de las amplitudes sólo es válida si no hay manera de saber, incluso en principio, qué camino tomó la partícula. Es importante darse cuenta de que esto no implica que un observador realmente tome nota de lo que sucede. Es suficiente para destruir el patrón de interferencia, si la información de ruta es accesible en principio desde el experimento o incluso si está dispersa en el medio ambiente y más allá de cualquier posibilidad técnica para ser recuperada, pero en principio todavía "fuera". La falta de esa información es el criterio esencial para que aparezca la interferencia cuántica.

Teoría

Ejemplos

Para una ecuación que describe un fenómeno físico, el principio de superposición establece que una combinación de soluciones a una ecuación lineal también es una solución de la misma. Cuando esto es cierto, se dice que la ecuación obedece al principio de superposición. Por lo tanto, si los vectores de estado f₁, f ₂ y f₃ resuelven cada uno la ecuación lineal en ψ, luego ψ = c₁ f₁ + c₂ f₂ + c₃ f ₃ también sería una solución, en la que cada c es un coeficiente. La ecuación de Schrödinger es lineal, por lo que la mecánica cuántica la sigue.

Por ejemplo, considere un electrón con dos configuraciones posibles: arriba y abajo. Esto describe el sistema físico de un qubit.

c1▪ ▪ ↑ ↑ .. +c2▪ ▪ ↓ ↓ .. {displaystyle C_{1}{mid ♪♪ }rangle +c_{2}{mid ♪♪ }rangle }

es el estado más general. Pero estos coeficientes dictan probabilidades para que el sistema esté en cualquiera de las dos configuraciones. La probabilidad de una configuración específica viene dada por el cuadrado del valor absoluto del coeficiente. Las probabilidades deben sumar 1, ya que el electrón debe estar en uno de esos dos estados.

parriba=▪ ▪ c1▪ ▪ 2{displaystyle ¿Qué? - Sí.

pabajo=▪ ▪ c2▪ ▪ 2{displaystyle p_{text{down}={mid} }c_{2}mid ^{2}

parriba o abajo=parriba+pabajo=1{displaystyle p_{up or down}=p_{text{up}+p_{down}=1}

Continuando con este ejemplo, si una partícula puede estar en estado arriba y abajo, también puede estar en un estado en el que sea una cantidad 3i/5 hacia arriba y una cantidad 4/5 hacia abajo.

Silencio↑ ↑ .. =35i▪ ▪ ↑ ↑ .. +45▪ ▪ ↓ ↓ .. .{displaystyle Нpsi rangle ={3 over 5}i{mid }{uparrow }rangle +{4 over 5}{mid }{downarrow }rangle.}

En esto, la probabilidad para arriba es Silencio3i5Silencio2=925{displaystyle lefttención{frac {3i}{5} Correcto. {9}{25}}. La probabilidad de caída es Silencio45Silencio2=1625{displaystyle left forever{frac {4}{5}}right forever^{2}={frac {16}{25}}}. Note que 925+1625=1{displaystyle {frac}{25}+{frac} {16}{25}=1}.

En la descripción, sólo el tamaño relativo de los diferentes componentes importa, y su ángulo entre sí en el plano complejo. Esto se afirma generalmente declarando que dos estados que son múltiples entre sí son los mismos en cuanto a la descripción de la situación. cualquiera de estos describen el mismo estado para cualquier no cero α α {displaystyle alpha }

Silencio↑ ↑ .. .. α α Silencio↑ ↑ .. {displaystyle tenciónpsi rangle approx alpha tenciónpsi rangle }

La ley fundamental de la mecánica cuántica es que la evolución es lineal, lo que significa que si el estado A se convierte en A′ y B se convierte en B′ después de 10 segundos, después de 10 segundos la superposición ↑ ↑ {displaystyle psi } se convierte en una mezcla de A′ y B′ con los mismos coeficientes que A y B.

Por ejemplo, si tenemos lo siguiente

▪ ▪ ↑ ↑ .. → → ▪ ▪ ↓ ↓ .. {displaystyle {mid}{uparrow #rangle to {mid }{downarrow }rangle }

▪ ▪ ↓ ↓ .. → → 3i5▪ ▪ ↑ ↑ .. +45▪ ▪ ↓ ↓ .. {displaystyle {mid}{downarrow }rangle to {fnMicroc {3i}{5}{mid} ♪♪ #rangle +{frac {4}{mid}{downarrow }rangle }

Luego, después de esos 10 segundos, nuestro estado cambiará a

c1▪ ▪ ↑ ↑ .. +c2▪ ▪ ↓ ↓ .. → → c1()▪ ▪ ↓ ↓ .. )+c2()3i5▪ ▪ ↑ ↑ .. +45▪ ▪ ↓ ↓ .. ){displaystyle C_{1}{mid ♪♪ }rangle +c_{2}{mid }{mid }rangle to c_{1}left({mid }{downarrow }rangle right)+c_{2}left({frac {3i}{5}{mid} ♪♪ ##rangle +{frac {4}{mid }{downarrow }rangle right)}

Hasta ahora solo ha habido 2 configuraciones, pero puede haber infinitas.

En la ilustración, una partícula puede tener cualquier posición, por lo que existen diferentes configuraciones que tienen cualquier valor de la posición x. Estos están escritos:

Silenciox.. {displaystyle ← }

El principio de superposición garantiza que existen estados que son superposiciones arbitrarias de todas las posiciones con coeficientes complejos:

.. x↑ ↑ ()x)Silenciox.. {displaystyle sum _{x}psi (x)

Esta suma se define sólo si el índicex es discreto. Si el índice ha terminado R{displaystyle mathbb {R}, entonces la suma es reemplazada por una integral. La cantidad ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)} se llama la función de onda de la partícula.

Si consideramos un qubit con posición y giro, el estado es una superposición de todas las posibilidades para ambos:

.. x↑ ↑ +()x)Silenciox,↑ ↑ .. +↑ ↑ − − ()x)Silenciox,↓ ↓ .. {displaystyle sum _{x}psi _{+}(x) sometidax,{uparrow }rangle +psi _{-}(x) WordPressx,{downarrow }rangle ,}

El espacio de configuración de un sistema mecánico cuántico no se puede resolver sin algunos conocimientos físicos. La entrada suele ser las diferentes configuraciones clásicas permitidas, pero sin la duplicación de incluir tanto la posición como el momento.

Un par de partículas pueden estar en cualquier combinación de pares de posiciones. Un estado donde una partícula está en posición x y el otro está en posición y está escrito Silenciox,Sí... {displaystyle tenciónx,yrangle }. El estado más general es una superposición de las posibilidades:

.. xSí.A()x,Sí.)Silenciox,Sí... {displaystyle sum _{xy}A(x,y) sometidax,yrangle ,}

La descripción de las dos partículas es mucho más grande que la descripción de una partícula: es una función en el doble de dimensiones. Esto también es cierto en probabilidad, cuando las estadísticas de dos variables aleatorias están correlacionadas. Si dos partículas no están correlacionadas, la distribución de probabilidad para su posición conjunta P(x, y) es un producto de la probabilidad de encontrar uno en una posición y el otro en la otra posición:

P()x,Sí.)=Px()x)PSí.()Sí.){displaystyle P(x,y)=P_{x}(x)P_{y}(y),}

Esto significa que la función de onda A()x,Sí.){displaystyle A(x,y)} del sistema puede ser representado como producto de las funciones de onda ↑ ↑ x()x){displaystyle psi _{x}(x)} y ↑ ↑ Sí.()Sí.){displaystyle psi _{y}(y)} de sus partes:

A()x,Sí.)=↑ ↑ x()x)↑ ↑ Sí.()Sí.){displaystyle A(x,y)=psi _{x}(x)psi _{y}(y),}.

En 1927, Heitler y London intentaron calcular cuantitativamente mecánicamente el estado estacionario fundamental de la molécula de H₂. Los cálculos se basaron en la superposición cuántica de los dos átomos de hidrógeno que componen el sistema: la molécula de H₂. El éxito de este intento se convirtió en la base para todo desarrollo posterior del enlace covalente.

Analogía con probabilidad

En la teoría de la probabilidad existe un principio similar. Si un sistema tiene una descripción probabilística, esta descripción da la probabilidad de cualquier configuración, y dadas dos configuraciones diferentes, hay un estado que es en parte esto y en parte aquello, con coeficientes de números reales positivos, las probabilidades, que dicen cuánto de cada uno hay.

Por ejemplo, si tenemos una distribución de probabilidad de dónde está una partícula, se describe mediante el "estado"

.. x*** *** ()x)Silenciox.. {displaystyle sum _{x}rho (x)

Donde *** *** {displaystyle rho } es la función de densidad de probabilidad, un número positivo que mide la probabilidad de que la partícula se encuentre en un determinado lugar.

La ecuación de evolución también es lineal en probabilidad, por razones fundamentales. Si la partícula tiene alguna probabilidad de pasar de la posición x a y, y de z a y, la probabilidad de ir a y comenzando desde un estado que es mitad x y mitad z es una mezcla mitad y mitad de la probabilidad de yendo a y de cada una de las opciones. Este es el principio de superposición lineal en probabilidad.

La mecánica cuántica es diferente, porque los números pueden ser positivos o negativos. Si bien la naturaleza compleja de los números es solo una duplicación, si considera las partes real e imaginaria por separado, el signo de los coeficientes es importante. En probabilidad, siempre se suman dos posibles resultados diferentes, de modo que si hay más opciones para llegar a un punto z, la probabilidad siempre aumenta. En mecánica cuántica, diferentes posibilidades pueden cancelarse.

En la teoría de la probabilidad con un número finito de estados, las probabilidades siempre se pueden multiplicar por un número positivo para que su suma sea igual a uno. Por ejemplo, si hay un sistema de probabilidad de tres estados:

xSilencio1.. +Sí.Silencio2.. +zSilencio3.. {displaystyle x tuberculosis1rangle +y sometida2rangle +z sometida3rangle ,}

donde las probabilidades x,Sí.,z{displaystyle x,y,z} son números positivos. Rescaling x,Sí.,z así

x+Sí.+z=1{displaystyle x+y+z=1,}

La geometría del espacio de estado se revela como un triángulo. En general es un simplex. Hay puntos especiales en un triángulo o simplex correspondientes a las esquinas, y estos puntos son aquellos donde una de las probabilidades es igual a 1 y las otras son cero. Estos son los lugares únicos donde la posición se conoce con certeza.

En un sistema de mecánica cuántica con tres estados, la función de onda de la mecánica cuántica es nuevamente una superposición de estados, pero esta vez el doble de cantidades sin restricción en el signo:

ASilencio1.. +BSilencio2.. +CSilencio3.. =()Ar+iAi)Silencio1.. +()Br+iBi)Silencio2.. +()Cr+iCi)Silencio3.. {displaystyle Atención1rangle +B WordPress2rangle +C sometida3rangle =(A_{r}+iA_{i}) eterna1rangle +(B_{r}+iB_{i}) perpetua2rangle +(C_{r}+iC_{i})

cambiando la escala de las variables para que la suma de los cuadrados sea 1, la geometría del espacio se revela como una esfera de alta dimensión

Ar2+Ai2+Br2+Bi2+Cr2+Ci2=1{displaystyle ¿Qué?.

Una esfera tiene una gran cantidad de simetría, se puede ver en diferentes sistemas de coordenadas o bases. Entonces, a diferencia de una teoría de probabilidad, una teoría cuántica tiene una gran cantidad de bases diferentes en las que puede describirse igualmente bien. La geometría del espacio de fase puede verse como una pista de que la cantidad en mecánica cuántica que corresponde a la probabilidad es el cuadrado absoluto del coeficiente de la superposición.

Evolución hamiltoniana

Los números que describen las amplitudes para diferentes posibilidades definen la cinemática, el espacio de diferentes estados. La dinámica describe cómo estos números cambian con el tiempo. Para una partícula que puede estar en cualquiera de infinitas posiciones discretas, una partícula en una red, el principio de superposición te dice cómo crear un estado:

.. n↑ ↑ nSilencion.. {displaystyle sum _{n}psi ¿Qué?

Así que la lista infinita de las amplitudes ()...... ,↑ ↑ − − 2,↑ ↑ − − 1,↑ ↑ 0,↑ ↑ 1,↑ ↑ 2,...... ){textstyle (ldotspsi _{-2},psi _{-1},psi _{0},psi _{1},psi _{2},ldots)} describe completamente el estado cuántico de la partícula. Esta lista se llama vector de estado, y formalmente es un elemento de un espacio Hilbert, un espacio vectorial complejo de dimensiones infinitas. Es habitual representar el estado para que la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes sea una:

.. ↑ ↑ nAlternativa Alternativa ↑ ↑ n=1{displaystyle sum psi _{n}{*}psi ¿Qué?

Para una partícula descrita por la teoría de la probabilidad caminar aleatoriamente en una línea, lo análogo es la lista de probabilidades ()...... ,P− − 2,P− − 1,P0,P1,P2,...... ){fnMicrosoft Sans Serif}, que dan la probabilidad de cualquier posición. Las cantidades que describen cómo cambian el tiempo son las probabilidades de transición Kx→ → Sí.()t){displaystyle scriptstyle K_{xrightarrow y}(t)}, que da la probabilidad de que, a partir de x, la partícula termina en y momento t más tarde. La probabilidad total de terminar en y es dada por la suma sobre todas las posibilidades

PSí.()t0+t)=.. xPx()t0)Kx→ → Sí.()t){displaystyle P_{y}(t_{0}+t)=sum _{x}P_{x}(t_{0})K_{xrightarrow y}(t),}

La condición de conservación de la probabilidad establece que comenzando en cualquier x, la probabilidad total de terminar en algún lugar debe sumar 1:

.. Sí.Kx→ → Sí.=1{displaystyle sum ¿Qué?

Para que se conserve la probabilidad total, K es lo que se llama una matriz estocástica.

Cuando no pasa el tiempo, nada cambia: por 0 tiempo transcurrido Kx→ → Sí.()0)=δ δ xSí.{displaystyle scriptstyle K{xrightarrow y}(0)=delta ¿Qué?, la matriz K es cero excepto de un estado a sí mismo. Así que en el caso de que el tiempo sea corto, es mejor hablar de la tasa de cambio de la probabilidad en lugar del cambio absoluto en la probabilidad.

PSí.()t+dt)=PSí.()t)+dt.. xPxRx→ → Sí.{displaystyle P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt,sum ¿Por qué?

Donde Rx→ → Sí.{displaystyle scriptstyle R_{xrightarrow y} es el derivado del tiempo de la matriz K:

Rx→ → Sí.=Kx→ → Sí.dt− − δ δ xSí.dt.{displaystyle R_{xrightarrow y}={K_{xrightarrow y},dt-delta _{xy} over dt},}

La ecuación de las probabilidades es una ecuación diferencial que a veces se denomina ecuación maestra:

dPSí.dt=.. xPxRx→ → Sí.{displaystyle {dP_{y} over dt=sum ¿Qué?

La matriz R es la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula realice una transición de x a y. La condición de que los elementos de la matriz K sumen uno se convierte en la condición de que los elementos de la matriz R sumen cero:

.. Sí.Rx→ → Sí.=0{displaystyle sum ¿Qué?

Un caso simple para estudiar es cuando la matriz R tiene una probabilidad igual de ir a una unidad a la izquierda o a la derecha, describiendo una partícula que tiene una tasa constante de caminar al azar. En este caso Rx→ → Sí.{displaystyle scriptstyle R_{xrightarrow y} es cero a menos que Y sea x+ 1, x, o x− 1, cuando Sí. es x+ 1 o x− 1, R matriz tiene valor c, y en orden para la suma de la R coeficientes de matriz a igual cero, el valor de Rx→ → x{displaystyle R_{xrightarrow x} debe ser −2c. Así que las probabilidades obedecen ecuación de difusión discretizada:

dPxdt=c()Px+1− − 2Px+Px− − 1){displaystyle {dP_{x} over dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1},}

que, cuando c se escala adecuadamente y la distribución P es lo suficientemente suave como para pensar en el sistema en un límite continuo se convierte en:

∂ ∂ P()x,t)∂ ∂ t=c∂ ∂ 2P∂ ∂ x2{displaystyle {partial P(x,t) over partial t}=c{partial ^{2}P over partial x^{2}},}

Cuál es la ecuación de difusión.

Las amplitudes cuánticas dan la velocidad a la que cambian las amplitudes en el tiempo y son matemáticamente exactamente iguales excepto que son números complejos. El análogo de la matriz K de tiempo finito se llama matriz U:

↑ ↑ n()t)=.. mUnm()t)↑ ↑ m{displaystyle psi _{n}(t)=sum ¿Qué? ¿Qué?

Puesto que la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes debe ser constante, U{displaystyle U} debe ser unitario:

.. nUnmAlternativa Alternativa Unp=δ δ mp{displaystyle sum _{nm}U_{*}U_{np}=delta ¿Qué?

o, en notación matricial,

U† † U=I{displaystyle U^{dagger }U=I,}

La tasa de cambio de U se llama Hamiltonian H, hasta un factor tradicional de i:

Hmn=iddtUmn{displaystyle H_{mn}=i{d over dt}U_{mn}

El hamiltoniano da la velocidad a la que la partícula tiene una amplitud para ir de m a n. La razón por la que se multiplica por i es que la condición de que U sea unitario se traduce en la condición:

()I+iH† † dt)()I− − iHdt)=I{displaystyle (I+iH^{dagger },dt)(I-iH,dt)=I}

H† † − − H=0{displaystyle H^{dagger }-H=0,}

que dice que H es hermítica. Los valores propios de la matriz hermitiana H son cantidades reales, que tienen una interpretación física como niveles de energía. Si el factor i estuviera ausente, la matriz H sería antihermítica y tendría valores propios puramente imaginarios, que no es la forma tradicional en que la mecánica cuántica representa cantidades observables como la energía.

Para una partícula que tiene igual amplitud para moverse a la izquierda y a la derecha, la matriz hermitiana H es cero excepto para los vecinos más cercanos, donde tiene el valor c. Si el coeficiente está en todas partes constante, la condición H es Hermitian exige que la amplitud para moverse a la izquierda es el complejo conjugado de la amplitud para moverse a la derecha. La ecuación del movimiento para ↑ ↑ {displaystyle psi } es la ecuación diferencial del tiempo:

id↑ ↑ ndt=cAlternativa Alternativa ↑ ↑ n+1+c↑ ↑ n− − 1{displaystyle i{n} over dt}=c^{*} _{n+1}+cpsi ¿Qué?

En el caso en que la izquierda y la derecha son simétricos, c es real. Al redefinir la fase de la función de onda en el tiempo, ↑ ↑ → → ↑ ↑ ei2ct{displaystyle psi rightarrow psi e^{i2ct}, las amplitudes para estar en diferentes lugares sólo son reescaladas, de modo que la situación física no se cambia. Pero esta rotación de fase introduce un término lineal.

id↑ ↑ ndt=c↑ ↑ n+1− − 2c↑ ↑ n+c↑ ↑ n− − 1,{displaystyle i{n} over dt}=cpsi ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

que es la elección correcta de la fase para tomar el límite continuo. Cuando c{displaystyle c} es muy grande y ↑ ↑ {displaystyle psi } está variando lentamente para que la rejilla pueda ser considerada como una línea, esto se convierte en la ecuación gratuita Schrödinger:

i∂ ∂ ↑ ↑ ∂ ∂ t=− − ∂ ∂ 2↑ ↑ ∂ ∂ x2{displaystyle i{partial psi over partial t}=-{partial ^{2}psi over partial x^{2}}

Si hay un término adicional en la matriz H que es una rotación de fase adicional que varía de un punto a otro, el límite continuo es la ecuación de Schrödinger con una energía potencial:

i∂ ∂ ↑ ↑ ∂ ∂ t=− − ∂ ∂ 2↑ ↑ ∂ ∂ x2+V()x)↑ ↑ {displaystyle i{partial psi over partial t}=-{partial ^{2}psi over partial x^{2}+V(x)psi }

Estas ecuaciones describen el movimiento de una sola partícula en la mecánica cuántica no relativista.

Mecánica cuántica en tiempo imaginario

La analogía entre la mecánica cuántica y la probabilidad es muy fuerte, por lo que hay muchos vínculos matemáticos entre ellos. En un sistema estadístico en tiempo discreto, t=1,2,3, descrito por una matriz de transición por un paso de tiempo Km→ → n{displaystyle scriptstyle K_{mrightarrow No., la probabilidad de ir entre dos puntos después de un número finito de pasos de tiempo puede ser representado como una suma sobre todos los caminos de la probabilidad de tomar cada camino:

Kx→ → Sí.()T)=.. x()t)∏ ∏ tKx()t)x()t+1){displaystyle K_{xrightarrow y}(T)=sum _{x(t)}prod _{t}K_{x(t)x(t+1)},}

donde la suma se extiende sobre todos los caminos x()t){displaystyle x(t)} con la propiedad que x()0)=0{displaystyle x(0)=0} y x()T)=Sí.{displaystyle x(T)=y}. La expresión analógica en la mecánica cuántica es el camino integral.

Una matriz de transición genérica en probabilidad tiene una distribución estacionaria, que es la probabilidad eventual de ser encontrada en cualquier punto sin importar cuál sea el punto de partida. Si hay una probabilidad no cero para que cualquier dos caminos alcancen el mismo punto al mismo tiempo, esta distribución estacionaria no depende de las condiciones iniciales. En teoría de probabilidad, la probabilidad m para la matriz estocástica obedece el equilibrio detallado cuando la distribución estacionaria *** *** n{displaystyle rho _{n} tiene la propiedad:

*** *** nKn→ → m=*** *** mKm→ → n{displaystyle rho ¿Por qué? ♪=rho ¿Qué?

El balance detallado dice que la probabilidad total de ir de m a n en la distribución estacionaria, que es la probabilidad de comenzar a m *** *** m{displaystyle rho _{m} veces la probabilidad de saltar de m a n, es igual a la probabilidad de ir de n a m, de modo que el flujo total de vuelta y frente de probabilidad en equilibrio es cero a lo largo de cualquier aro. La condición se satisface automáticamente cuando n=m, por lo que tiene la misma forma cuando se escribe como condición para la matriz R de probabilidad de transición.

*** *** nRn→ → m=*** *** mRm→ → n{displaystyle rho ¿Por qué? ♪=rho ¿Qué?

Cuando la matriz R obedece a un balance detallado, la escala de las probabilidades se puede redefinir usando la distribución estacionaria para que ya no sumen 1:

pn.=*** *** npn{displaystyle ¿Qué? ¿Qué?

En las nuevas coordenadas, la matriz R se reescala de la siguiente manera:

*** *** nRn→ → m1*** *** m=Hnm{displaystyle {sqrt {\fn\fn\fn\fn\\fn\\\\fn\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {fn}}R_{nrightarrow m}{1 over {sqrt {rho ♪♪

y H es simétrico

Hnm=Hmn{displaystyle H_{nm}=H_{mn},}

Esta matriz H define un sistema mecánico cuántico:

iddt↑ ↑ n=.. Hnm↑ ↑ m{displaystyle i{d over dt}psi ¿Qué? H_{nm}psi ¿Qué?

cuyo hamiltoniano tiene los mismos valores propios que los de la matriz R del sistema estadístico. Los vectores propios también son los mismos, excepto que se expresan en la base reescalada. La distribución estacionaria del sistema estadístico es el estado fundamental del hamiltoniano y tiene energía exactamente cero, mientras que todas las demás energías son positivas. Si se exponen H para encontrar la matriz U:

U()t)=e− − iHt{displaystyle U(t)=e^{-i Ht.

y t puede tomar valores complejos, la K' La matriz se encuentra tomando el tiempo imaginario.

K.()t)=e− − Ht{displaystyle K'(t)=e^{-Ht},}

Para los sistemas cuánticos que son invariantes ante la inversión del tiempo, el hamiltoniano se puede hacer real y simétrico, de modo que la acción de la inversión del tiempo sobre la función de onda sea simplemente una conjugación compleja. Si tal hamiltoniano tiene un estado de energía más bajo único con una función de onda real positiva, como sucede a menudo por razones físicas, está conectado a un sistema estocástico en un tiempo imaginario. Esta relación entre los sistemas estocásticos y los sistemas cuánticos arroja mucha luz sobre la supersimetría.

Experimentos y aplicaciones

Se han realizado experimentos exitosos que involucran superposiciones de objetos relativamente grandes (según los estándares de la física cuántica).

• Se ha logrado un "estado de gatos" con fotones.
• Un ión de berilio ha estado atrapado en un estado superpuesto.
• Se ha realizado un doble experimento con moléculas tan grandes como bolitas y oligoporfirinas funcionalizadas con hasta 2000 átomos.
• Un experimento de 2013 superpone moléculas que contienen 15.000 cada uno de protones, neutrones y electrones. Las moléculas eran de compuestos seleccionados para su buena estabilidad térmica, y se evaporaron en un haz a una temperatura de 600 K. El haz se preparó a partir de sustancias químicas altamente purificadas, pero todavía contenía una mezcla de diferentes especies moleculares. Cada especie de molécula interfirió sólo con sí misma, como lo comprobó la espectrometría masiva.
• Un experimento que implica un dispositivo de interferencia cuántica superconductor ("SQUID") se ha relacionado con el tema del experimento de pensamiento "Estado de gato".

Mediante el uso de temperaturas muy bajas, se realizaron arreglos experimentales muy finos para proteger en aislamiento cercano y preservar la coherencia de los estados intermedios, durante un tiempo, entre preparación y detección, de las corrientes de SQUID. Tal corriente SQUID es un montaje físico coherente de quizás miles de millones de electrones. Debido a su coherencia, tal asamblea puede considerarse como exhibiendo "Estados colectivos" de una entidad macroscópica quantal. Para el principio de la superposición, después de que esté preparado pero antes de que se detecte, puede considerarse que exhibe un estado intermedio. No es un estado de una sola partícula tal como se considera a menudo en discusiones de interferencia, por ejemplo por Dirac en su famoso dictum declarado anteriormente. Además, aunque el estado "intermediado" puede ser considerado como tal, no se ha producido como una salida de un analizador cuántico secundario que fue alimentado un estado puro de un analizador primario, por lo que este no es un ejemplo de superposición como estrictamente y delimitado.

Sin embargo, después de la preparación, pero antes de la medición, tal estado SQUID puede ser considerado de una manera de hablar como un estado "puro" que es una superposición de un reloj y un estado actual anti-horario. En un SQUID, los estados de electrones colectivos se pueden preparar físicamente en aislamiento cercano, a temperaturas muy bajas, de modo que resulten en estados intermedios coherentes protegidos. Lo que es notable aquí es que hay dos estados colectivos bien separados que exhiben tal metástabilidad. La multitud de túneles de electrones de ida y vuelta entre el reloj y los estados anti-horario, en lugar de formar un solo estado intermedio en el que no hay un sentido colectivo definido del flujo actual.

• Se ha propuesto un experimento con un virus de la gripe.
• Se ha construido un tenedor piezoeléctrico que se puede colocar en una superposición de estados vibradores y no vibradores. El resonador comprende unos 10 átomos trillones.
• Investigaciones recientes indican que la clorofila dentro de las plantas parece explotar la característica de la superposición cuántica para lograr una mayor eficiencia en el transporte de energía, permitiendo que las proteínas pigmentarias se espacian más lejos de lo que sería posible.
• Se ha propuesto un experimento, con una célula bacteriana enfriada a 10 mK, utilizando un oscilador electromecánico. A esa temperatura, todo el metabolismo sería detenido, y la célula podría comportarse virtualmente como una especie química definida. Para la detección de interferencia, sería necesario que las células sean suministradas en grandes cantidades como muestras puras de especies químicas virtuales idénticas y detectables. No se sabe si este requisito puede ser cumplido por células bacterianas. Estarían en estado de animación suspendida durante el experimento.

En computación cuántica, la frase "estado de gato" a menudo se refiere al estado GHZ, el estado entrelazado especial de qubits en el que los qubits están en una superposición igual de todos siendo 0 y todos siendo 1; es decir.,

Silencio↑ ↑ .. =12()Silencio00...... 0.. +Silencio11...... 1.. ).{displaystyle Нpsi rangle ={frac {1}{sqrt {2}}{bigg (} sobrevivir00ldots 0rangle + endure11ldots 1rangle {bigg)}.}

Interpretación formal

Al aplicar el principio de superposición a una partícula mecánica cuántica, las configuraciones de la partícula son todas posiciones, por lo que las superposiciones forman una onda compleja en el espacio. Los coeficientes de la superposición lineal son una onda que describe la partícula lo mejor posible, y cuya amplitud interfiere según el principio de Huygens.

Para cualquier propiedad física en la mecánica cuántica, hay una lista de todos los estados en los que esa propiedad tiene algún valor. Estos estados son necesariamente perpendiculares entre sí utilizando la noción euclidiana de perpendicularidad que proviene de la longitud de las sumas de los cuadrados, excepto que tampoco deben ser i múltiplos entre sí. Esta lista de estados perpendiculares tiene un valor asociado que es el valor de la propiedad física. El principio de superposición garantiza que cualquier estado pueda escribirse como una combinación de estados de esta forma con coeficientes complejos.

Escribe cada estado con el valor q de la cantidad física como vector en alguna base ↑ ↑ nq{displaystyle psi _{n} {q}}, una lista de números en cada valor de n para el vector que tiene valor q para la cantidad física. Ahora forman el producto exterior de los vectores multiplicando todos los componentes vectoriales y añadiéndolos con coeficientes para hacer la matriz

Anm=.. qq↑ ↑ nAlternativa Alternativa q↑ ↑ mq{displaystyle A_{nm}=sum ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

donde la suma se extiende sobre todos los valores posibles de q. Esta matriz es necesariamente simétrica porque está formada por los estados ortogonales y tiene valores propios q. La matriz A se llama el observable asociado a la cantidad física. Tiene la propiedad de que los valores propios y los vectores propios determinan la cantidad física y los estados que tienen valores definidos para esta cantidad.

Toda cantidad física tiene asociado un operador lineal hermitiano, y los estados donde el valor de esta cantidad física es definido son los estados propios de este operador lineal. La combinación lineal de dos o más estados propios da como resultado la superposición cuántica de dos o más valores de la cantidad. Si se mide la cantidad, el valor de la cantidad física será aleatorio, con una probabilidad igual al cuadrado del coeficiente de la superposición en la combinación lineal. Inmediatamente después de la medición, el estado vendrá dado por el vector propio correspondiente al valor propio medido.

Interpretación física

Es natural preguntarse por qué los objetos y eventos cotidianos no parecen mostrar características mecánicas cuánticas como la superposición. De hecho, esto a veces se considera "misterioso", por ejemplo, por Richard Feynman. En 1935, Erwin Schrödinger ideó un conocido experimento mental, ahora conocido como el gato de Schrödinger, que destacaba esta disonancia entre la mecánica cuántica y la física clásica. Una visión moderna es que este misterio se explica por la decoherencia cuántica. Un sistema macroscópico (como un gato) puede evolucionar con el tiempo hacia una superposición de estados cuánticos clásicamente distintos (como "vivo" y "muerto"). El mecanismo que logra esto es un tema de investigación importante, un mecanismo sugiere que el estado del gato está entrelazado con el estado de su entorno (por ejemplo, las moléculas en la atmósfera que lo rodea), cuando se promedia sobre los posibles estados cuánticos de el medio ambiente (un procedimiento físicamente razonable a menos que el estado cuántico del medio ambiente se pueda controlar o medir con precisión) el estado cuántico mixto resultante para el gato está muy cerca de un estado probabilístico clásico en el que el gato tiene una probabilidad definida de estar vivo o muerto, tal como esperaría un observador clásico en esta situación. Otra clase de teorías propuestas es que la ecuación fundamental de evolución del tiempo está incompleta y requiere la adición de algún tipo de Lindbladian fundamental, la razón de esta adición y la forma del término adicional varía de una teoría a otra. Una teoría popular es la localización espontánea continua, donde el término de Lindblad es proporcional a la separación espacial de los estados, esto también da como resultado un estado probabilístico casi clásico.