Superficie romana

Una animación de la superficie romana

En matemáticas, la superficie romana o superficie de Steiner es un mapeo de autointersección del plano proyectivo real en un espacio tridimensional, con un grado de simetría inusualmente alto.. Este mapeo no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la figura que resulta de quitar seis puntos singulares es uno. Su nombre surge porque fue descubierto por Jakob Steiner cuando estaba en Roma en 1844.

La construcción más simple es como la imagen de una esfera centrada en el origen bajo el mapa f()x,Sí.,z)=()Sí.z,xz,xSí.).{displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy). } Esto da una fórmula implícita

x2Sí.2+Sí.2z2+z2x2− − r2xSí.z=0.{displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.}

Además, tomando una parametrización de la esfera en términos de longitud (θ) y latitud (φ), proporciona ecuaciones paramétricas para la superficie romana de la siguiente manera:

x=r2#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ φ φ {displaystyle x=r^{2}cos theta cos varphi sin varphi }

Sí.=r2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ φ φ {displaystyle y=r^{2}sin theta cos varphi sin varphi }

z=r2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #2⁡ ⁡ φ φ {displaystyle z=r^{2}cos theta sin theta cos ^{2}varphi }

El origen es un punto triple, y cada uno de los xy-, yz- y xz son tangenciales a la superficie allí. Los otros lugares de autointersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje de coordenadas que terminan en seis puntos de pellizco. Toda la superficie tiene simetría tetraédrica. Es un tipo particular (llamado tipo 1) de superficie de Steiner, es decir, una proyección lineal tridimensional de la superficie de Veronese.

Derivación de fórmula implícita

Por simplicidad consideramos solo el caso r = 1. Dada la esfera definida por los puntos (x, y, z) tal que

x2+Sí.2+z2=1,{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,,}

aplicamos a estos puntos la transformación T definidas por T()x,Sí.,z)=()Sí.z,zx,xSí.)=()U,V,W),{displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),,} di.

Pero luego tenemos

U2V2+V2W2+W2U2=z2x2Sí.4+x2Sí.2z4+Sí.2z2x4=()x2+Sí.2+z2)()x2Sí.2z2)=()1)()x2Sí.2z2)=()xSí.)()Sí.z)()zx)=UVW,{2} {2}=x^{2}{2} {2}{2}=0}=0}=0} {2}=0}=0})}

y así U2V2+V2W2+W2U2− − UVW=0{displaystyle ¿Qué? como se desee.

Por el contrario, supongamos que nos dan (U, V, W) que satisfacen

(*) U2V2+V2W2+W2U2− − UVW=0.{displaystyle ¿Qué?

Probamos que existe (x,y,z) tal que

(**) x2+Sí.2+z2=1,{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,,}

para la cual U=xSí.,V=Sí.z,W=zx,{displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,,}

con una excepción: en el caso 3.b. a continuación, mostramos que esto no se puede probar.

1. En el caso de que ninguno de U, V, W sea 0, podemos establecer

x=WUV,Sí.=UVW,z=VWU.{displaystyle x={sqrt {frac {WU}}} y={sqrt {frac {f} {f}} {f}} z={sqrt {frac.

(Tenga en cuenta que (*) garantiza que los tres de U, V, W son positivos, o exactamente dos son negativos. Por lo tanto, estas raíces cuadradas son de números positivos).

Es fácil usar (*) para confirmar que (**) se cumple para x, y, z definidos de esta manera.

2. Supongamos que W es 0. De (*) esto implica U2V2=0{displaystyle U^{2}V^{2}=0,}

y por lo tanto al menos uno de U, V debe ser 0 también. Esto muestra que es imposible que exactamente uno de U, V, W sea 0.

3. Suponga que exactamente dos de U, V, W son 0. Sin pérdida de generalidad asumimos

(***)Uل ل 0,V=W=0.{displaystyle Uneq 0,V=W=0.}

De ello se desprende que z=0,{displaystyle z=0,,}

(since zل ل 0,{displaystyle zneq 0,} implica que x=Sí.=0,{displaystyle x=y=0,,} y por consiguiente U=0,{displaystyle U=0,,} contradicción (***).

a. En el subcaso donde

SilencioUSilencio≤ ≤ 12,{displaystyle ¿Qué?

si determinamos x e y por

x2=1+1− − 4U22{displaystyle ¿Qué?

y Sí.2=1− − 1− − 4U22,{displaystyle ¿Qué?

esto asegura que (*) se mantenga. Es fácil verificar que x2Sí.2=U2,{displaystyle ¿Qué?

y por lo tanto elegir los signos de x y Sí. garantía apropiadamente xSí.=U.{displaystyle xy=U.,}

Since also Sí.z=0=Vyzx=0=W,{displaystyle yz=0=V{text{ y }Zx=0=W,,}

esto muestra que este subcaso conduce al inverso deseado.

b. In this remaining subcase of the case 3., tenemos {frac {1}{2}}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioUSilencio■12.{displaystyle Нованыхиваных {frac {1}{2}}{frac {1}{2}}." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5848683cf4ea52a04ccd67618547d783ea576ae" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.82ex; height:5.176ex;"/>

Desde x2+Sí.2=1,{displaystyle x^{2}+y^{2}=1,, }

es fácil comprobar que xSí.≤ ≤ 12,{displaystyle xyleq {}{2}}

y así en este caso, donde 1/2, V=W=0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioUSilencio■1/2,V=W=0,{displaystyle SilencioU intimidad1/2, V=W=0,}1/2, V=W=0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd7e156faa4c71388a2059f029cc6a224e1cb26" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.505ex; height:2.843ex;"/>

hay no ()x, Sí., z) satisfactoria U=xSí.,V=Sí.z,W=zx.{displaystyle U=xy, V=yz, W=zx.}

Por lo tanto las soluciones (U, 0, 0) de la ecuación (*) con {frac {1}{2}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioUSilencio■12{displaystyle Нованыхиваных {frac {1}{2}}}{frac 12}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f9b3c09e45a550608df86f122781cf6e700478" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.173ex; height:5.176ex;"/>

(0, V, 0) con {frac {1}{2}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioVSilencio■12{fnMicrosoft Sans Serif} {1}{2}}}{frac 12}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfe6f9ed81e99fde658e124a280fae7d2584a93" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.178ex; height:5.176ex;"/>

y (0, 0, WCon {frac {1}{2}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioWSilencio■12{fnMicrosoft Sans Serif} {1}{2}}}{frac 12}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171767e24704bf27d854e9e05330a2a51f602486" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.826ex; height:5.176ex;"/>

(cada uno de los cuales es una porción no compacta de un eje de coordenadas, en dos partes) no corresponden a ningún punto de la superficie romana.

4. SiU, V, W) es el punto (0, 0, 0), entonces si alguno de los dos de x, Sí., z son cero y el tercero tiene valor absoluto 1, claramente ()xSí.,Sí.z,zx)=()0,0,0)=()U,V,W){displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W),} como se desee.

Esto cubre todos los casos posibles.

Derivación de ecuaciones paramétricas

Sea una esfera de radio r, longitud φ y latitud θ. Entonces sus ecuaciones paramétricas son

x=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle x=r,cos theta ,cos phi}

Sí.=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle y=r,cos theta ,sin phi}

z=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle z=r,sin theta.}

Entonces, aplicando la transformación T a todos los puntos de esta esfera se obtiene

x.=Sí.z=r2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle x'=yz=r^{2}cos theta ,sin theta ,sin phi}

Sí..=zx=r2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle y'=zx=r^{2}cos theta ,sin theta ,cos phi}

z.=xSí.=r2#2⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle z'=xy=r^{2}cos ^{2}theta ,cos phi ,sin phi}

cuáles son los puntos de la superficie romana. Sea φ de 0 a 2π, y sea θ de 0 a π/2.

Relación con el plano proyectivo real

La esfera, antes de transformarse, no es homeomorfa al plano proyectivo real, RP². Pero la esfera con centro en el origen tiene esta propiedad, que si el punto (x,y,z) pertenece a la esfera, entonces también pertenece el punto antípoda (-x,-y,- z) y estos dos puntos son diferentes: están en lados opuestos del centro de la esfera.

La transformación T convierte ambos puntos antípodas en el mismo punto,

T:()x,Sí.,z)→ → ()Sí.z,zx,xSí.),{displaystyle T:(x,y,z)rightarrow (yz,zx,xy),}

T:()− − x,− − Sí.,− − z)→ → ()()− − Sí.)()− − z),()− − z)()− − x),()− − x)()− − Sí.))=()Sí.z,zx,xSí.).{displaystyle T:(-x,-y,-z)rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy). }

Dado que esto es cierto para todos los puntos de S², entonces está claro que la superficie romana es una imagen continua de una "esfera módulo antípodas". Debido a que algunos pares distintos de antípodas se llevan a puntos idénticos en la superficie romana, no es homeomorfo a RP², sino que es un cociente del plano proyectivo real RP² = S² / (x~-x). Además, el mapa T (arriba) de S² a este cociente tiene la propiedad especial de que es localmente inyectivo lejos de seis pares de puntos antípodas. O a partir de RP² el mapa resultante lo convierte en una inmersión de RP² (menos seis puntos) en 3 espacios.

(Anteriormente se afirmó que la superficie romana es homeomorfa a RP², pero esto fue un error. Posteriormente se afirmó que la superficie romana es una inmersión de RP² en R³, pero eso también fue un error).

Estructura de la superficie romana

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos" bulbosos, cada uno en una esquina diferente de un tetraedro.

Se puede construir una superficie romana empalmando tres paraboloides hiperbólicos y luego suavizando los bordes según sea necesario para que se ajuste a la forma deseada (por ejemplo, parametrización).

Sean estos tres paraboloides hiperbólicos:

• x = Yz,
• Sí. = z,
• z = xy.

Estos tres paraboloides hiperbólicos se cortan externamente a lo largo de las seis aristas de un tetraedro e internamente a lo largo de los tres ejes. Las intersecciones internas son lugares geométricos de puntos dobles. Los tres lugares geométricos de los puntos dobles: x = 0, y = 0 y z = 0, se intersecan en un punto triple en el origen.

Por ejemplo, dado x = yz y y = zx, el segundo paraboloide es equivalente a x = y/z. Después

Sí.z=Sí.z{displaystyle yz={y over z}

y y = 0 o z² = 1 para que z = ±1. Sus dos intersecciones externas son

• x = y, z = 1;
• x =Sí., z = 1.

Así mismo, las otras intersecciones externas son

• x = z, Sí. = 1;
• x =z, Sí. = 1 - 1
• Sí. = z, x = 1;
• Sí. =z, x = 1.

Veamos cómo se ensamblan las piezas. Une los paraboloides y = xz y x = yz. El resultado se muestra en la Figura 1.

Gráfico 1

El paraboloide y = x z se muestra en azul y naranja. El paraboloide x = y z se muestra en cian y morado. En la imagen se ve que los paraboloides se cruzan a lo largo del eje z = 0. Si los paraboloides se extienden, también se debe ver que se cruzan a lo largo de las líneas

• z = 1, Sí. = x;
• z = 1. Sí. =x.

Los dos paraboloides juntos parecen un par de orquídeas unidas espalda con espalda.

Ahora ejecuta el tercer paraboloide hiperbólico, z = xy, a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 2.

Gráfico 2

En las direcciones oeste-suroeste y este-noreste de la Figura 2 hay un par de aberturas. Estas aberturas son lóbulos y deben cerrarse. Cuando se cierran las aberturas, el resultado es la superficie romana que se muestra en la Figura 3.

Gráfico 3. Superficie romana.

Se puede ver un par de lóbulos en las direcciones Oeste y Este de la Figura 3. Otro par de lóbulos está oculto debajo del tercer paraboloide (z = xy) y se encuentran en las direcciones norte y sur.

Si los tres paraboloides hiperbólicos que se cruzan se dibujan lo suficientemente lejos como para que se crucen a lo largo de los bordes de un tetraedro, entonces el resultado es como se muestra en la Figura 4.

Gráfico 4

Uno de los lóbulos se ve de frente, de frente, en la Figura 4. Se puede ver que el lóbulo es una de las cuatro esquinas del tetraedro.

Si la superficie continua en la Figura 4 tiene sus bordes afilados redondeados, apagados, entonces el resultado es la superficie romana en la Figura 5.

Uno de los lóbulos de la superficie romana se ve de frente en la Figura 5, y es evidente su forma bulbosa, como de globo.

Si la superficie de la Figura 5 se gira 180 grados y luego se invierte, el resultado es como se muestra en la Figura 6.

Gráfico 6. Superficie romana.

La Figura 6 muestra tres lóbulos vistos de lado. Entre cada par de lóbulos hay un lugar geométrico de puntos dobles correspondientes a un eje de coordenadas. Los tres loci se intersecan en un punto triple en el origen. El cuarto lóbulo está oculto y apunta en la dirección directamente opuesta al espectador. La superficie romana que se muestra en la parte superior de este artículo también tiene tres lóbulos en una vista lateral.

Unilateralidad

La superficie romana no es orientable, es decir, unilateral. Esto no es del todo obvio. Para ver esto, observe de nuevo la Figura 3.

Imagínese una hormiga encima del "tercero" paraboloide hiperbólico, z = x y. Deja que esta hormiga se mueva hacia el norte. A medida que se mueva, atravesará los otros dos paraboloides, como un fantasma que atraviesa una pared. Estos otros paraboloides solo parecen obstáculos debido a la naturaleza de autointersección de la inmersión. Deja que la hormiga ignore todos los puntos dobles y triples y los atraviese. Entonces la hormiga se mueve hacia el norte y cae por el borde del mundo, por así decirlo. Ahora se encuentra en el lóbulo norte, escondida debajo del tercer paraboloide de la Figura 3. La hormiga está boca abajo, en el "afuera" de la superficie romana.

Deja que la hormiga se mueva hacia el suroeste. Subirá una pendiente (al revés) hasta que se encuentre "adentro" el lóbulo occidental. Ahora deja que la hormiga se mueva en dirección sureste a lo largo del interior del lóbulo occidental hacia el eje z = 0, siempre por encima del plano x-y. Tan pronto como pase por el eje z = 0, la hormiga estará en el "afuera" del lóbulo oriental, de pie hacia arriba.

Luego déjelo moverse hacia el norte, sobre "la colina", luego hacia el noroeste para que comience a deslizarse hacia el eje x = 0. Tan pronto como la hormiga cruce este eje, se encontrará "adentro" el lóbulo norte, de pie con el lado derecho hacia arriba. Ahora deja que la hormiga camine hacia el norte. Subirá por la pared, luego a lo largo del "techo" del lóbulo norte. La hormiga está de vuelta en el tercer paraboloide hiperbólico, pero esta vez debajo y boca abajo. (Comparar con la botella de Klein).

Puntos dobles, triples y de pellizco

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos". Los límites de cada lóbulo son un conjunto de tres líneas de puntos dobles. Entre cada par de lóbulos hay una línea de puntos dobles. La superficie tiene un total de tres líneas de puntos dobles, que se encuentran (en la parametrización dada anteriormente) en los ejes de coordenadas. Las tres líneas de puntos dobles se cortan en un punto triple que se encuentra en el origen. El punto triple corta las líneas de puntos dobles en un par de medias líneas, y cada media línea se encuentra entre un par de lóbulos. Uno podría esperar de las afirmaciones anteriores que podría haber hasta ocho lóbulos, uno en cada octante del espacio que ha sido dividido por los planos de coordenadas. Pero los lóbulos ocupan octantes alternos: cuatro octantes están vacíos y cuatro están ocupados por lóbulos.

Si la superficie romana se inscribiera dentro del tetraedro con el menor volumen posible, se encontraría que cada arista del tetraedro es tangente a la superficie romana en un punto, y que cada uno de estos seis puntos resulta ser un Singularidad de Whitney. Estas singularidades, o puntos de pellizco, se encuentran todos en los bordes de las tres líneas de puntos dobles, y están definidos por esta propiedad: que no hay un plano tangente a ninguna superficie en la singularidad.