Superficie paramétrica

A Superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} } {}} {}displaystyle \mathbb {R} }$ que se define por una ecuación paramétrica con dos parámetros ${\displaystyle \mathbf {r}:\mathbb {R} {2}\to \mathbb [R] ^{3}$. La representación paramétrica es una forma muy general de especificar una superficie, así como una representación implícita. Las superficies que ocurren en dos de los principales teoremas del cálculo vectorial, el teorema de Stokes y el teorema de divergencia, se dan con frecuencia en forma paramétrica. La curvatura y longitud de arco de las curvas en la superficie, superficie, invariantes geométricos diferenciales como las primeras y segundas formas fundamentales, Gaussian, media y curvaturas principales pueden ser calculadas desde una parametrización dada.

Ejemplos

• El tipo más simple de superficies paramétricas es dado por los gráficos de funciones de dos variables:
  $${\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)). }$$

  
• Una superficie racional es una superficie que admite parametrizaciones por función racional. Una superficie racional es una superficie algebraica. Dada una superficie algebraica, es comúnmente más fácil decidir si es racional que calcular su parametrización racional, si existe.
• Las superficies de la revolución dan otra clase importante de superficies que pueden ser fácilmente parametrizadas. Si el gráfico z = f()x), a ≤ x ≤ b está rota sobre el z-eje entonces la superficie resultante tiene una parametrización
  $${\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi)=(u\cos \phiu\sin \phif(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi.}$$

  
  También puede ser parametrizado
  $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2} {1+v^{2}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}$$

  
  mostrando eso, si la función f es racional, entonces la superficie es racional.
• El cilindro circular recto del radio R sobre x-eje tiene la siguiente representación paramétrica:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (x,\phi)=(x,R\cos \phiR\sin \phi).}$$

  
• Utilizando las coordenadas esféricas, la esfera de unidad puede ser parametizada por
  $${\displaystyle \mathbf {r} (\theta\phi)=(\cos \theta \sin \phi\sin \theta \sin \phi\cos \phi),\quad 0\leq \theta made2\pi0\leq \leq \pi.}$$

  
  Esta parametrización se descompone en los polos norte y sur donde el ángulo del azimut Silencio no se determina únicamente. La esfera es una superficie racional.

Una misma superficie admite muchas parametrizaciones diferentes. Por ejemplo, el plano de coordenadas z se puede parametrizar como

$${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}$$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a Pulb\c\d\end{bmatrix}}$

Geometría diferencial local

La forma local de una superficie paramétrica se puede analizar considerando la expansión de Taylor de la función que la parametriza. La longitud del arco de una curva en la superficie y el área de la superficie se pueden encontrar mediante integración.

Notación

Dejemos que la superficie paramétrica esté dada por la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$

${\displaystyle \mathbf {r}$

${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r}{\partial u}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uuu},\mathbf {r} ¿Qué?$

En el cálculo vectorial, los parámetros se denotan con frecuencia (s,t) y los derivados parciales se escriben usando el ∂-notación:

$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft} {\f}} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f} {\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}}\f}}\f}}\\\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}}\$$

Plano tangente y vector normal

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores

$${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} ¿Qué?$$

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{v}$

$${\displaystyle {\hat {\fn} }={\frac {\mathbf {r} ¿Por qué? _{u}\times \mathbf {r} ¿Qué?$$

En general, hay dos opciones del vector unitario normal a una superficie en un punto dado, pero para una superficie parametrizada regular, la fórmula anterior elige consistentemente una de ellas y, por lo tanto, determina la orientación de la superficie. Algunas de las invariantes geométricas diferenciales de una superficie en R³ están definidas por la superficie misma y son independientes de la orientación, mientras que otras cambian de signo si se invierte la orientación. .

Superficie

La superficie puede calcularse integrando la longitud del vector normal ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}$ a la superficie sobre la región apropiada D en el paramétrico uv avión:

$${\displaystyle A(D)=\iint _{u}\times \mathbf {r} _{v} 'derechado ',dv.$$

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de la superficie, para todas las superficies, excepto las muy especiales, esto da como resultado una integral doble complicada, que generalmente se evalúa utilizando un sistema de álgebra computacional o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes constituyen excepciones y sus áreas se conocen explícitamente. Esto es válido para un cilindro circular, una esfera, un cono, un toroide y algunas otras superficies de revolución.

Esto también se puede expresar como una integral de superficie sobre el campo escalar 1:

$${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental es una forma cuadrática

$${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,dv+G\,dv^{2}$$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$

$${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} ¿Por qué?$$

La longitud del arco de las curvas parametrizadas en la superficie S, el ángulo entre las curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si (u(t), v(t) ), a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en este superficie entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral:

$${\displaystyle \int _{a}{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}\,dt.}$$

La primera forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivas en el plano tangente en cada punto de la superficie dependiendo suavemente del punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se cruzan en un punto determinado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto escalar, y el ángulo se puede encontrar a partir de la fórmula estándar

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} {} {\f} {\f}\m}}}}}$$

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera:

$${\displaystyle A(D)=\iint ¿Por qué?$$

Por la identidad de Lagrange, la expresión bajo la raíz cuadrada es precisamente ${\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué?$, y por lo tanto es estrictamente positivo en los puntos regulares.

Segunda forma fundamental

La segunda forma fundamental

$${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}$$

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende sólo de los derivados parciales del orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de los segundos derivados parciales de ${\displaystyle \mathbf {r}$ en la unidad vector normal ${\displaystyle {\hat {\fn} }$ definida por la parametrización:

$${\displaystyle L=\mathbf {r}\cdot {\fn},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf { n}},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\fn} {\fnh},\fn},\fnhnh} }}$$

Al igual que la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie que depende suavemente del punto.

Curvatura

La primera y segunda formas fundamentales de una superficie determinan sus importantes invariantes geométrico-diferenciales: la curvatura gaussiana, la curvatura media y las curvaturas principales.

Las curvaturas principales son las invariantes del par que consta de la segunda y la primera forma fundamental. Son las raíces κ₁, κ₂ de la ecuación cuadrática

$${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I})=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E implicaM-\kappa F\M-\kappa F PulsadoN-\kappa G\end{bmatrix}=0.}$$

La curvatura gaussiana K = κ₁κ₂ y la curvatura media H = (κ₁ + κ₂)/2 se puede calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2} {EG-F^{2}}}\quad H={\frac} {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2}}}}$$

Hasta un signo, estas cantidades son independientes de la parametrización utilizada, y por lo tanto forman herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian el signo si se revierte la orientación de la superficie, y la curvatura gausiana es totalmente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gausiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K ■ 0 la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico, mientras K 0 la superficie está forma de silla y el punto se llama hiperbólico. Los puntos en los que la curvatura gausiana es cero se llaman parabólica. En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada Línea parabólica. La primera forma fundamental es positiva definida, por lo tanto su determinante EG − F² es positivo en todas partes. Por lo tanto, la señal de K coincide con el signo de LN − M², el determinante del segundo fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente pueden organizarse en una matriz simétrica:

$${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E pacienteF\\\F recurG\end{bmatrix}}$$

$${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L sensibleM\\M recurN\end{bmatrix}}$$

Definir ahora matriz ${\displaystyle A=F_{1} {-1}F_{2}$, las curvaturas principales κ₁ y κ₂ son los eigenvalues de A.

Ahora, si v₁ =v₁₁, v₁₂) es el eigenvector de A correspondiente a curvatura principal κ₁, el vector de unidad en la dirección ${\displaystyle \mathbf {t} ¿Qué? ¿Qué?$ se llama vector principal correspondiente a la curvatura principal κ₁.

En consecuencia, si v₂ =v₂₁,v₂₂) es el eigenvector de A correspondiente a curvatura principal κ₂, el vector de unidad en la dirección ${\displaystyle \mathbf {t} ¿Qué? ¿Qué?$ se llama vector principal correspondiente a la curvatura principal κ₂.