Superficie mínima

En matemáticas, una superficie mínima es una superficie que localmente minimiza su área. Esto es equivalente a tener una curvatura media cero (consulte las definiciones a continuación).

El término "superficie mínima" se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área de superficie total sujeta a alguna restricción. Los modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área se pueden hacer sumergiendo un marco de alambre en una solución de jabón, formando una película de jabón, que es una superficie mínima cuyo límite es el marco de alambre. Sin embargo, el término se utiliza para superficies más generales que pueden intersecarse a sí mismas o que no tienen restricciones. Para una restricción dada, también pueden existir varias superficies mínimas con diferentes áreas (por ejemplo, vea la superficie mínima de revolución): las definiciones estándar solo se relacionan con un óptimo local, no con un óptimo global.

Definiciones

Las superficies mínimas se pueden definir de varias formas equivalentes en R³. El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial, el cálculo de variaciones, la teoría del potencial, el análisis complejo y la física matemática.

Definición local de la zona mínima: Una superficie M ⊂ R³ es mínimo si y sólo si cada punto p ▪ M tiene un barrio, atado por una simple curva cerrada, que tiene el menor área entre todas las superficies que tienen el mismo límite.

Esta propiedad es local: pueden existir regiones en una superficie mínima, junto con otras superficies de menor área que tienen el mismo límite. Esta propiedad establece una conexión con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará el área.

Definición variable: Una superficie M ⊂ R³ es mínimo si y sólo si es un punto crítico de la zona funcional para todas las variaciones compatibles compactamente.

Esta definición hace que las superficies mínimas sean un análogo bidimensional de las geodésicas, que se definen de manera análoga como puntos críticos del funcional de longitud.

Definición de curvatura: Una superficie M ⊂ R³ es mínimo si y sólo si su curvatura media es igual a cero en todos los puntos.

Una implicación directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto de silla con curvaturas principales iguales y opuestas. Además, esto convierte a las superficies mínimas en soluciones estáticas de flujo de curvatura media. Por la ecuación de Young-Laplace, la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre los lados. Si la película de jabón no encierra una región, entonces su curvatura media será cero. Por el contrario, una pompa de jabón esférica encierra una región que tiene una presión diferente de la región exterior y, como tal, no tiene una curvatura media cero.

Definición de la ecuación diferencial: Una superficie M ⊂ R³ es mínimo si y sólo si se puede expresar localmente como el gráfico de una solución

()1+ux2)uSí.Sí.− − 2uxuSí.uxSí.+()1+uSí.2)uxx=0{displaystyle (1+u_{x}{2})u_{y}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}{2}u_{x}=0}

La ecuación diferencial parcial en esta definición fue encontrada originalmente en 1762 por Lagrange, y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media nula.

Definición de energía: Una inmersión conformada X: M → R³ es mínimo si y sólo si es un punto crítico de la energía Dirichlet para todas las variaciones compatibles compactamente, o equivalentemente si cualquier punto p ▪ M tiene un barrio con menos energía relativa a su límite.

Esta definición vincula las superficies mínimas con las funciones armónicas y la teoría del potencial.

Definición armónicaSi X =x₁, x₂, x₃): M → R³ es una inmersión isométrica de una superficie Riemann en 3-espacio, entonces X se dice que es mínima cuando x_i es una función armónica en M para cada uno i.

Una implicación directa de esta definición y el principio máximo para funciones armónicas es que no hay superficies mínimas completas compactas en R³.

Definición de mapa de Gauss: Una superficie M ⊂ R³ es mínima si y sólo si su mapa de Gauss proyectado estereográfico g: M → C Es meromorfa con respecto a la estructura superficial de Riemann subyacente, y M no es un pedazo de esfera.

Esta definición utiliza que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma, que está vinculado a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces la traza se desvanece o cada punto de M es umbilical, en cuyo caso es un trozo de esfera.

Las definiciones variacionales y de área mínima local permiten extender las superficies mínimas a otras variedades riemannianas distintas de R³.

Historia

La teoría de la superficie mínima se origina con Lagrange, quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie z = z(x, y) de menor área extendida a lo largo de un contorno cerrado dado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución

ddx()zx1+zx2+zSí.2)+ddSí.()zSí.1+zx2+zSí.2)=0{displaystyle {frac {}{dx}left({frac} {Z_{x}{sqrt {1+z_{x}{2}+z_{y}}}}right)+{frac} {d} {y}left({frac} {Z_{y}{sqrt {1+z_{x} {2}+z_{y}}}right)=0}

No logró encontrar ninguna solución más allá del avión. En 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que el helicoide y la catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.

By expanding Lagrange 's equation to

()1+zx2)zSí.Sí.− − 2zxzSí.zxSí.+()1+zSí.2)zxx=0{displaystyle left(1+z_{x}{2}right)z_{yyy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+left(1+z_{y}{2}right)z_{xx}=0}

Gaspard Monge y Legendre en 1795 derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien estos fueron utilizados con éxito por Heinrich Scherk en 1830 para derivar sus superficies, en general se consideraron prácticamente inutilizables. Catalan demostró en 1842/43 que el helicoide es la única superficie mínima reglada.

El progreso había sido bastante lento hasta mediados de siglo, cuando el problema de Björling se resolvió mediante métodos complejos. La "primera edad de oro" de superficies mínimas comenzó. Schwarz encontró la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (permitiendo la construcción de sus familias de superficies periódicas) usando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles, vinculando firmemente superficies mínimas con análisis complejos y funciones armónicas. Otras contribuciones importantes provinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.

Entre 1925 y 1950 revivió la teoría de la superficie mínima, ahora dirigida principalmente a superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau por parte de Jesse Douglas y Tibor Radó fue un hito importante. El problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita también fueron importantes.

Otro renacimiento comenzó en la década de 1980. Una de las causas fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutaba la conjetura de que el plano, la catenoide y el helicoide son las únicas superficies mínimas incrustadas completas en R³ de tipo topológico finito. Esto no solo estimuló nuevos trabajos sobre el uso de los métodos paramétricos antiguos, sino que también demostró la importancia de los gráficos por computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se usa el método de superficie conjugada para determinar parches de superficie que se pueden ensamblar en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben coincidir numéricamente para producir una superficie incrustada). Otra causa fue la verificación por parte de H. Karcher de que las superficies mínimas triplemente periódicas descritas empíricamente originalmente por Alan Schoen en 1970 realmente existen. Esto ha llevado a una rica colección de familias de superficies y métodos para derivar superficies nuevas a partir de las antiguas, por ejemplo, agregando manijas o distorsionándolas.

Actualmente, la teoría de las superficies mínimas se ha diversificado a subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, y se ha vuelto relevante para la física matemática (p. ej., la conjetura de la masa positiva, la conjetura de Penrose) y la geometría de tres variedades (p. ej., la conjetura de Smith, la conjetura de Poincaré, la conjetura de la geometrización de Thurston).

Ejemplos

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas incluyen:

• el avión, que es un caso trivial
• catenoides: superficies mínimas hechas girando un catenario una vez alrededor de su directrix
• helicoides: Una superficie barrida por una línea girando con velocidad uniforme alrededor de un eje perpendicular a la línea y moviéndose simultáneamente a lo largo del eje con velocidad uniforme

Las superficies de la edad de oro del siglo XIX incluyen:

• Superficies mínimas Schwarz: superficies periódicas triplicadas que llenan R³
• La superficie mínima de Riemann: A posthumously described periodic surface
• la superficie de Enneper
• la superficie de Henneberg: la primera superficie mínima no orientable
• La superficie mínima de Bour
• la superficie de Neovius: una superficie periódica

Las superficies modernas incluyen:

• el Gyroid: Una de las superficies de Schoen desde 1970, una superficie triplicada de interés particular para la estructura de cristal líquido
• la familia de la torre Saddle: generalizaciones de la segunda superficie de Scherk
• La superficie mínima de Costa: Famosa conjetura desprotección. Descrito en 1982 por Celso Costa y posteriormente visualizado por Jim Hoffman. Jim Hoffman, David Hoffman y William Meeks III ampliaron la definición para producir una familia de superficies con diferentes simetrías rotativas.
• la familia de la superficie Chen-Gackstatter, agregando mangos a la superficie Enneper.

Generalizaciones y enlaces a otros campos

Las superficies mínimas se pueden definir en otras variedades además de R³, como el espacio hiperbólico, los espacios de dimensiones superiores o las variedades de Riemann.

La definición de superficies mínimas se puede generalizar/extender para cubrir superficies de curvatura media constante: superficies con una curvatura media constante, que no necesariamente es igual a cero.

Las líneas de curvatura de una superficie isotérmica forman una red isotérmica.

En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simpliciales de triángulos que minimizan su área bajo pequeñas perturbaciones de sus posiciones de vértice. Tales discretizaciones a menudo se usan para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones de forma cerrada.

El movimiento browniano en una superficie mínima conduce a demostraciones probabilísticas de varios teoremas en superficies mínimas.

Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de materiales, debido a sus aplicaciones anticipadas en el autoensamblaje de materiales complejos. Se propone que el retículo endoplásmico, una estructura importante en la biología celular, está bajo presión evolutiva para adaptarse a una superficie mínima no trivial.

En los campos de la relatividad general y la geometría lorentziana, ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes, son significativas. En contraste con el horizonte de eventos, representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros.

Las estructuras con superficies mínimas se pueden usar como carpas.

Las superficies mínimas forman parte de la caja de herramientas de diseño generativo que utilizan los diseñadores modernos. En arquitectura ha habido mucho interés por las estructuras tensadas, que están íntimamente relacionadas con las superficies mínimas. Se pueden ver ejemplos notables en el trabajo de Frei Otto, Shigeru Ban y Zaha Hadid. El diseño del Estadio Olímpico de Múnich por Frei Otto se inspiró en las superficies de jabón. Otro ejemplo notable, también de Frei Otto, es el Pabellón Alemán en la Expo 67 en Montreal, Canadá.

En el mundo del arte, las superficies mínimas se han explorado ampliamente en la escultura de Robert Engman (1927–2018), Robert Longhurst (1949–) y Charles O. Perry (1929–2011), entre otros.