Superficie (matemáticas)

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En matemáticas, una superficie es un modelo matemático del concepto común de superficie. Es una generalización de un plano, pero, a diferencia de un plano, puede ser curvo; esto es análogo a una curva que generaliza una línea recta.

Existen varias definiciones más precisas, según el contexto y las herramientas matemáticas que se utilicen para el estudio. Las superficies matemáticas más simples son planos y esferas en el espacio tridimensional euclidiano. La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Por lo general, en geometría algebraica, una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades), mientras que, en topología y geometría diferencial, puede que no.

Una superficie es un espacio bidimensional; esto significa que un punto en movimiento sobre una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad). En otras palabras, alrededor de casi todos los puntos, hay un parche de coordenadas en el que se define un sistema de coordenadas bidimensional. Por ejemplo, la superficie de la Tierra se parece (idealmente) a una esfera bidimensional, y la latitud y la longitud proporcionan coordenadas bidimensionales (excepto en los polos y a lo largo del meridiano 180).

Definiciones

A menudo, una superficie se define mediante ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos. Este es el caso de la gráfica de una función continua de dos variables. El conjunto de los ceros de una función de tres variables es una superficie, que se denomina superficie implícita. Si la función de definición de tres variables es un polinomio, la superficie es una superficie algebraica. Por ejemplo, la esfera unitaria es una superficie algebraica, ya que puede definirse mediante la ecuación implícita ${ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.}$

Una superficie también puede definirse como la imagen, en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no sea una curva). En este caso, se dice que se tiene una superficie paramétrica, que está parametrizada por estas dos variables, llamadas parámetros. Por ejemplo, la esfera unitaria puede estar parametrizada por los ángulos de Euler, también llamados longitud u y latitud v por ${displaystyle {begin{alineado}x&=cos(u)cos(v)\y&=sin(u)cos(v)\z&=sin(v),.end{ alineado}}}$

Las ecuaciones paramétricas de las superficies suelen ser irregulares en algunos puntos. Por ejemplo, todos menos dos puntos de la esfera unitaria son la imagen, según la parametrización anterior, de exactamente un par de ángulos de Euler (módulo 2 π). Para los dos puntos restantes (los polos norte y sur), uno tiene cos v = 0 y la longitud upuede tomar cualquier valor. Además, hay superficies para las que no puede existir una única parametrización que abarque toda la superficie. Por lo tanto, a menudo se consideran superficies que están parametrizadas por varias ecuaciones paramétricas, cuyas imágenes cubren la superficie. Esto se formaliza mediante el concepto de variedad: en el contexto de las variedades, típicamente en topología y geometría diferencial, una superficie es una variedad de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto del plano euclidiano (ver Superficie (topología) y Superficie (geometría diferencial)). Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas., que no están contenidos en ningún otro espacio. Por otro lado, esto excluye las superficies que tienen singularidades, como el vértice de una superficie cónica o los puntos donde una superficie se cruza a sí misma.

En geometría clásica, una superficie se define generalmente como el lugar geométrico de un punto o una línea. Por ejemplo, una esfera es el lugar geométrico de un punto que está a una distancia dada de un punto fijo, llamado centro; una superficie cónica es el lugar geométrico de una línea que pasa por un punto fijo y cruza una curva; una superficie de revolución es el lugar geométrico de una curva que gira alrededor de una línea. Una superficie reglada es el lugar geométrico de una línea en movimiento que satisface algunas restricciones; en la terminología moderna, una superficie reglada es una superficie, que es una unión de líneas.

Terminología

En este artículo, se consideran y comparan varios tipos de superficies. Por lo tanto, es necesaria una terminología inequívoca para distinguirlos. Por lo tanto, llamamos superficies topológicas a las superficies que son variedades de dimensión dos (las superficies consideradas en Superficie (topología)). Llamamos superficies diferenciables a las superficies que son variedades diferenciables (las superficies consideradas en Superficie (geometría diferencial)). Toda superficie diferenciable es una superficie topológica, pero lo contrario es falso.

Para simplificar, a menos que se indique lo contrario, "superficie" significará una superficie en el espacio euclidiano de dimensión 3 o en R. Una superficie que se supone que no está incluida en otro espacio se llama superficie abstracta.

Ejemplos

La gráfica de una función continua de dos variables, definida sobre un subconjunto abierto conectado de R es una superficie topológica. Si la función es diferenciable, la gráfica es una superficie diferenciable.
Un plano es tanto una superficie algebraica como una superficie diferenciable. También es una superficie reglada y una superficie de revolución.
Un cilindro circular (es decir, el lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y es paralela a una dirección dada) es una superficie algebraica y una superficie diferenciable.
Un cono circular (lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y pasa por un punto fijo, el vértice, que está fuera del plano del círculo) es una superficie algebraica que no es una superficie diferenciable. Si se quita el vértice, el resto del cono es la unión de dos superficies diferenciables.
La superficie de un poliedro es una superficie topológica, que no es ni una superficie diferenciable ni una superficie algebraica.
Un paraboloide hiperbólico (el gráfico de la función z = xy) es una superficie diferenciable y una superficie algebraica. También es una superficie reglada y, por esta razón, se usa a menudo en arquitectura.
Un hiperboloide de dos hojas es una superficie algebraica y la unión de dos superficies diferenciables que no se cruzan.

Superficie paramétrica

Una superficie paramétrica es la imagen de un subconjunto abierto del plano euclidiano (típicamente $matemáticas {R} ^{2}$ ) por una función continua, en un espacio topológico, generalmente un espacio euclidiano de dimensión al menos tres. Por lo general, se supone que la función es continuamente diferenciable, y este será siempre el caso en este artículo.

En concreto, una superficie paramétrica en $mathbb{R} ^{3}$ está dada por tres funciones de dos variables u y v, llamadas parámetros ${displaystyle {begin{alineado}x&=f_{1}(u,v)\y&=f_{2}(u,v)\z&=f_{3}(u,v),. fin{alineado}}}$

Como la imagen de tal función puede ser una curva (por ejemplo, si las tres funciones son constantes con respecto a v), se requiere una condición adicional, generalmente que, para casi todos los valores de los parámetros, la matriz jacobiana ${displaystyle {begin{bmatrix}{dfrac {parcial f_{1}}{parcial u}}&{dfrac {parcial f_{1}}{parcial v}}\{dfrac { parcial f_{2}}{parcial u}}&{dfrac {parcial f_{2}}{parcial v}}\{dfrac {parcial f_{3}}{parcial u}} &{dfrac {f_ parcial{3}}{v parcial}}\end{bmatriz}}}$

tiene rango dos. Aquí "casi todos" significa que los valores de los parámetros donde el rango es dos contienen un subconjunto abierto denso del rango de la parametrización. Para superficies en un espacio de mayor dimensión, la condición es la misma, excepto por el número de columnas de la matriz jacobiana.

Plano tangente y vector normal

Un punto p donde la matriz jacobiana anterior tiene rango dos se llama regular o, más propiamente, la parametrización se llama regular en p.

El plano tangente en un punto regular p es el único plano que pasa por p y tiene una dirección paralela a los dos vectores fila de la matriz jacobiana. El plano tangente es un concepto afín, porque su definición es independiente de la elección de una métrica. En otras palabras, cualquier transformación afín mapea el plano tangente a la superficie en un punto al plano tangente a la imagen de la superficie en la imagen del punto.

La recta normal en un punto de una superficie es la única recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente; el vector normal es un vector que es paralelo a la normal.

Para conocer otras invariantes diferenciales de superficies, en la vecindad de un punto, consulte Geometría diferencial de superficies.

Punto irregular y punto singular

Un punto de una superficie paramétrica que no es regular es irregular. Hay varios tipos de puntos irregulares.

Puede ocurrir que un punto irregular se vuelva regular, si se cambia la parametrización. Este es el caso de los polos en la parametrización de la esfera unitaria por los ángulos de Euler: basta permutar el papel de los diferentes ejes de coordenadas para cambiar los polos.

Por otro lado, considere el cono circular de ecuación paramétrica ${displaystyle {begin{alineado}x&=tcos(u)\y&=tsin(u)\z&=t,.end{alineado}}}$

El vértice del cono es el origen (0, 0, 0), y se obtiene para t = 0. Es un punto irregular que permanece irregular cualquiera que sea la parametrización que se elija (de lo contrario, existiría un único plano tangente). Tal punto irregular, donde el plano tangente no está definido, se dice singular.

Hay otro tipo de puntos singulares. Están los puntos de autocruce, es decir, los puntos donde la superficie se cruza a sí misma. En otras palabras, estos son los puntos que se obtienen para (al menos) dos valores diferentes de los parámetros.

Gráfica de una función bivariada

Sea z = f (x, y) una función de dos variables reales. Esta es una superficie paramétrica, parametrizada como ${displaystyle {begin{alineado}x&=t\y&=u\z&=f(t,u),.end{alineado}}}$

Cada punto de esta superficie es regular, ya que las dos primeras columnas de la matriz jacobiana forman la matriz identidad de rango dos.

Superficie racional

Una superficie racional es una superficie que puede ser parametrizada por funciones racionales de dos variables. Es decir, si f _i (t, u) son, para i = 0, 1, 2, 3, polinomios en dos indeterminados, entonces la superficie paramétrica, definida por ${displaystyle {begin{alineado}x&={frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\y&={frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\z&={frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},, end{alineado}}}$

es una superficie racional.

Una superficie racional es una superficie algebraica, pero la mayoría de las superficies algebraicas no son racionales.

Superficie implícita

Una superficie implícita en un espacio euclidiano (o, más generalmente, en un espacio afín) de dimensión 3 es el conjunto de los ceros comunes de una función derivable de tres variables ${ estilo de visualización f (x, y, z) = 0.}$

Implícito significa que la ecuación define implícitamente una de las variables en función de las otras variables. Esto se hace más exacto por el teorema de la función implícita: si f (x ₀, y ₀, z ₀) = 0, y la derivada parcial en z de f no es cero en (x ₀, y ₀, z ₀), entonces existe una función diferenciable φ (x, y) tal que ${ estilo de visualización f (x, y, varphi (x, y)) = 0}$

en una vecindad de (x ₀, y ₀, z ₀). En otras palabras, la superficie implícita es la gráfica de una función cerca de un punto de la superficie donde la derivada parcial en z es distinta de cero. Una superficie implícita tiene así, localmente, una representación paramétrica, excepto en los puntos de la superficie donde las tres derivadas parciales son cero.

Puntos regulares y plano tangente

Un punto de la superficie donde al menos una derivada parcial de f es distinta de cero se llama regular. En tal punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ , el plano tangente y la dirección de la normal están bien definidos y pueden deducirse, con el teorema de la función implícita de la definición dada anteriormente, en § Plano tangente y vector normal. La dirección de la normal es el gradiente, que es el vector ${displaystyle left[{frac {parcial f}{parcial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{frac {parcial f}{parcial y} }(x_{0},y_{0},z_{0}),{frac {f parcial}{z parcial}}(x_{0},y_{0},z_{0})right ].}$

El plano tangente está definido por su ecuación implícita ${displaystyle {frac {parcial f}{parcial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{frac {parcial f} {parcial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{frac {parcial f}{parcial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Punto singular

Un punto singular de una superficie implícita (en $mathbb{R} ^{3}$ ) es un punto de la superficie donde se cumple la ecuación implícita y las tres derivadas parciales de su función definitoria son todas cero. Por tanto, los puntos singulares son las soluciones de un sistema de cuatro ecuaciones en tres indeterminadas. Como la mayoría de estos sistemas no tienen solución, muchas superficies no tienen ningún punto singular. Una superficie sin punto singular se llama regular o no singular.

El estudio de las superficies cerca de sus puntos singulares y la clasificación de los puntos singulares es la teoría de la singularidad. Un punto singular está aislado si no hay otro punto singular en una vecindad de él. De lo contrario, los puntos singulares pueden formar una curva. Este es en particular el caso de las superficies autocruzadas.

Superficie algebraica

Originalmente, una superficie algebraica era una superficie que podía definirse mediante una ecuación implícita ${ estilo de visualización f (x, y, z) = 0,}$

donde f es un polinomio en tres indeterminadas, con coeficientes reales.

El concepto se ha extendido en varias direcciones, definiendo superficies sobre campos arbitrarios y considerando superficies en espacios de dimensión arbitraria o en espacios proyectivos. También se consideran superficies algebraicas abstractas, que no están incrustadas explícitamente en otro espacio.

Superficies sobre campos arbitrarios

Se aceptan polinomios con coeficientes en cualquier campo para definir una superficie algebraica. Sin embargo, el campo de coeficientes de un polinomio no está bien definido, ya que, por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales también puede ser considerado como un polinomio con coeficientes reales o complejos. Por tanto, el concepto de punto de la superficie se ha generalizado de la siguiente forma.

Dado un polinomio f (x, y, z), sea k el cuerpo más pequeño que contiene los coeficientes, y sea K una extensión algebraicamente cerrada de k, de grado de trascendencia infinito. Entonces un punto de la superficie es un elemento de K que es una solución de la ecuación ${ estilo de visualización f (x, y, z) = 0.}$

Si el polinomio tiene coeficientes reales, el campo K es el campo complejo, y un punto de la superficie que pertenece a $mathbb{R} ^{3}$ (un punto habitual) se llama punto real. Un punto que pertenece a k se llama racional sobre k, o simplemente un punto racional, si k es el cuerpo de los números racionales.

Superficie proyectiva

Una superficie proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas homogéneas son ceros de un solo polinomio homogéneo en cuatro variables. Más generalmente, una superficie proyectiva es un subconjunto de un espacio proyectivo, que es una variedad proyectiva de dimensión dos.

Las superficies proyectivas están fuertemente relacionadas con las superficies afines (es decir, superficies algebraicas ordinarias). Se pasa de una superficie proyectiva a la superficie afín correspondiente asignando a uno alguna coordenada o indeterminada de los polinomios definidores (normalmente el último). A la inversa, se pasa de una superficie afín a su superficie proyectiva asociada (llamada terminación proyectiva) al homogeneizar el polinomio definidor (en el caso de superficies en un espacio de dimensión tres), o al homogeneizar todos los polinomios del ideal definidor (para superficies en un espacio de dimensión tres). espacio de mayor dimensión).

En espacios de dimensiones superiores

No se puede definir el concepto de superficie algebraica en un espacio de dimensión superior a tres sin una definición general de una variedad algebraica y de la dimensión de una variedad algebraica. De hecho, una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos.

Más precisamente, una superficie algebraica en un espacio de dimensión n es el conjunto de los ceros comunes de al menos n – 2 polinomios, pero estos polinomios deben satisfacer otras condiciones que pueden no ser inmediatas de verificar. En primer lugar, los polinomios no deben definir una variedad o un conjunto algebraico de mayor dimensión, que suele ser el caso si uno de los polinomios está en el ideal generado por los demás. Generalmente, n – 2 polinomios definen un conjunto algebraico de dimensión dos o superior. Si la dimensión es dos, el conjunto algebraico puede tener varias componentes irreducibles. Si solo hay un componente el n – 2los polinomios definen una superficie, que es una intersección completa. Si hay varios componentes, entonces se necesitan más polinomios para seleccionar un componente específico.

La mayoría de los autores consideran como superficie algebraica sólo las variedades algebraicas de dimensión dos, pero algunos también consideran como superficies todos los conjuntos algebraicos cuyas componentes irreducibles tienen la dimensión dos.

En el caso de superficies en un espacio de dimensión tres, toda superficie es una intersección completa, y una superficie está definida por un solo polinomio, que es irreducible o no, según se consideren como superficies conjuntos algebraicos no irreducibles de dimensión dos. o no.

Superficie topológica

En topología, una superficie se define generalmente como una variedad de dimensión dos. Esto significa que una superficie topológica es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de un plano euclidiano.

Cada superficie topológica es homeomorfa a una superficie poliédrica, de modo que todas las facetas son triángulos. El estudio combinatorio de tales arreglos de triángulos (o, más generalmente, de símplex de dimensiones superiores) es el objeto inicial de la topología algebraica. Esto permite la caracterización de las propiedades de las superficies en términos de invariantes puramente algebraicos, como el género y los grupos de homología.

Las clases de homeomorfismos de superficies se han descrito completamente (ver Superficie (topología)).