Superficie K3

En matemáticas, una superficie K3 analítica compleja es una variedad compleja conectada compacta de dimensión 2 con un paquete canónico trivial e irregularidad cero. Una superficie K3 (algebraica) sobre cualquier campo significa una superficie algebraica lisa y adecuada geométricamente conectada que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies Enriques-Kodaira, las superficies K3 forman una de las cuatro clases de superficies mínimas de dimensión cero de Kodaira. Un ejemplo sencillo es la superficie cuártica de Fermat.

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

en 3 espacios proyectivos complejos.

Junto con los toros complejos compactos bidimensionales, las superficies K3 son las variedades Calabi-Yau (y también las variedades Hyperkähler) de dimensión dos. Como tales, están en el centro de la clasificación de superficies algebraicas, entre las superficies de Del Pezzo curvadas positivamente (que son fáciles de clasificar) y las superficies curvadas negativamente de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas y, sin embargo, donde es posible una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene una dimensión real 4 y juega un papel importante en el estudio de 4 variedades suaves. Las superficies K3 se han aplicado a álgebras de Kac-Moody, simetría especular y teoría de cuerdas.

Puede resultar útil pensar en las superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no tienen deformaciones no algebraicas.

Definición

Existen varias formas equivalentes de definir superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con paquete canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos, por lo que se puede agregar cualquier condición excluyendo esta última para definir las superficies K3. Por ejemplo, es equivalente a definir una superficie analítica compleja K3 como una variedad compleja compacta simplemente conectada de dimensión 2 con una forma 2 holomorfa que no desaparece en ninguna parte. (La última condición dice exactamente que el paquete canónico es trivial).

También existen algunas variantes de la definición. Sobre los números complejos, algunos autores consideran sólo las superficies algebraicas K3. (Una superficie algebraica K3 es automáticamente proyectiva). O se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades du Val (las singularidades canónicas de la dimensión 2), en lugar de ser suaves.

Cálculo de los números Betti

Los números Betti de una superficie K3 analítica compleja se calculan de la siguiente manera. (Un argumento similar da la misma respuesta para los números Betti de la superficie algebraica K3 sobre cualquier campo, definido utilizando la cohomología l-adic.) Por definición, el paquete canónico ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}{2}$ es trivial, y la irregularidad q()X(la dimensión) ${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$ del grupo coherente de cohomología ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$) es cero. Por la dualidad Serre,

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {0})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Como resultado, el género aritmético (o característica holomorfa de Euler) de X es:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}_{X})=1-0+1=2.}$

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$

Donde ${\displaystyle c_{i}(X)}$ es i- Clase Chern del paquete tangente. Desde ${\displaystyle K_{X}$ es trivial, su primera Clase de Chern ${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$ es cero, y así ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$.

Siguiente, la secuencia exponencial ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z}{X}\to O_{X}\to O_{X}{*}\to 0}$ da una secuencia exacta de grupos de cohomología ${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z})\to H^{1}(X,O_{X})}$, y así ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z}=0}$. Así el número de Betti ${\displaystyle b_{1}(X)}$ es cero, y por la dualidad Poincaré, ${\displaystyle b_{3}(X)}$ es también cero. Finalmente, ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$ es igual a lo topológico Función de Euler

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

Desde ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$ y ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$, sigue que ${\displaystyle b_{2}(X)=22}$.

Propiedades

• Cualquier dos superficies K3 analíticas complejas son diffeomorfas como 4 manifolds lisos, por Kunihiko Kodaira.
• Cada superficie analítica K3 compleja tiene una métrica Kähler, por Yum-Tong Siu. (Analógicamente, pero mucho más fácil: cada superficie algebraica K3 sobre un campo es proyectiva.) Por la solución de Shing-Tung Yau a la conjetura de Calabi, sigue que cada superficie analítica K3 compleja tiene una métrica Kähler de rícci-flat.
• Los números Hodge de cualquier superficie K3 se enumeran en el diamante Hodge:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Una manera de mostrar esto es calcular el ideal jacobino de una superficie K3 específica, y luego utilizar una variación de la estructura Hodge en el moduli de superficies algebraicas K3 para mostrar que todas estas superficies K3 tienen los mismos números Hodge. Un cálculo más bajo se puede hacer utilizando el cálculo de los números Betti junto con las partes de la estructura Hodge calculadas en ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z}$ para una superficie K3 arbitraria. En este caso, fuerzas de simetría Hodge ${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C}$, por consiguiente ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}$. Para superficies K3 en características p Esto fue mostrado por primera vez por Alexey Rudakov e Igor Shafarevich.

• Para una superficie de K3 analítica compleja X, la forma de intersección (o producto de taza) en ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}$ es una forma bilineal simétrica con valores en los enteros, conocida como K3 lattice. Esto es isomorfo a la celosía incluso unimodular ${\displaystyle \operatorname {II} _{3,19}$, o equivalente ${\displaystyle E_{8}(-1)}{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$, donde U es la celosía hiperbólica del rango 2 y ${\displaystyle E_{8}$ es la celosía E8.
• Conjetura 11/8 de Yukio Matsumoto predice que cada 4-manifold orientado suave X con forma de intersección tiene segundo número de Betti al menos 11/8 veces el valor absoluto de la firma. Esto sería óptimo si fuera verdad, ya que la igualdad es para una superficie compleja de K3, que tiene la firma 3−19 = −16. La conjetura implicaría que cada simple liso 4-manifold con forma de intersección es homeomorfo a una suma conectada de copias de la superficie K3 y de ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}$.
• Cada superficie compleja que es diffeomorfa a una superficie K3 es una superficie K3, por Robert Friedman y John Morgan. Por otro lado, hay superficies complejas lisas (algunos de ellas proyectivas) que son homeomórficas pero no diffeomorfas a una superficie K3, por Kodaira y Michael Freedman. Estas superficies de "homotopy K3" tienen dimensión Kodaira 1.

Ejemplos

• La cubierta doble X del plano proyectado ramificado a lo largo de una curva lisa (de acuerdo 6) es una superficie K3 del género 2 (es decir, grado 2g−2 = 2). (Esta terminología significa que la imagen inversa X de un hiperplano general en ${\displaystyle \mathbf {} {2}$ es una curva suave del género 2.)
• Una superficie lisa cuártica (grado 4) ${\displaystyle \mathbf {} {} {}}}$ es una superficie K3 del género 3 (es decir, grado 4).
• Una superficie Kummer es el cociente de una variedad abeliana bidimensional A por la acción ${\displaystyle a\mapsto -a}$. Esto resulta en 16 singularidades, en los puntos de 2-torsión A. La resolución mínima de esta superficie singular también se puede llamar una superficie Kummer; esa resolución es una superficie K3. Cuando A es el Jacobiano de una curva del género 2, Kummer mostró que el cociente ${\displaystyle A/(\pm 1)}$ puede ser incrustado en ${\displaystyle \mathbf {} {} {}}}$ como superficie cuadrada con 16 nodos.
• Más generalmente: para cualquier superficie cuántica Y con du Val singularidades, la resolución mínima de Y es una superficie algebraica K3.
• La intersección de un quadric y un cubículo en ${\displaystyle \mathbf {} {4}}$ es una superficie K3 del género 4 (es decir, grado 6).
• La intersección de tres quadrics en ${\displaystyle \mathbf {} {\5}}$ es una superficie K3 del género 5 (es decir, grado 8).
• Hay varias bases de datos de superficies K3 con singularidades du Val en espacios de proyecto ponderados.

La celosía de Picard

El grupo Picard Pic(X) de una superficie K3 analítica compleja X significa el grupo abeliano de haces de líneas analíticas complejas en X. Para una superficie algebraica K3, Pic(X) significa el grupo de paquetes de líneas algebraicas en X. Las dos definiciones concuerdan para una superficie algebraica compleja K3, según el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre.

El grupo Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre generado finitamente; su rango se llama Número de tarjeta ${\displaystyle \rho }$. En el caso complejo, Pic(X) es un subgrupo de ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}$. Es una característica importante de las superficies K3 que pueden ocurrir muchos números diferentes de Picard. Para X una compleja superficie algebraica K3, ${\displaystyle \rho }$ puede ser cualquier entero entre 1 y 20. En el complejo caso analítico, ${\displaystyle \rho }$ también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene curvas complejas cerradas en absoluto. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas.) Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0, hay una clase especial de superficies K3, superficies K3 supersingulares, con Picard número 22.

El Lattice de Picard de una superficie K3 significa el grupo abeliano Pic(X) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en los enteros. (Over ${\displaystyle \mathbb}$, el formulario de intersección significa la restricción del formulario de intersección en ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z}$. En un campo general, la forma de intersección se puede definir utilizando la teoría de intersección de curvas en una superficie, identificando al grupo Picard con el grupo de clase divisor.) La celosía Picard de una superficie K3 es siempre incluso, que significa que el entero ${\displaystyle u^{2}$ es incluso para cada uno ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$.

El teorema del índice Hodge implica que la celosía Picard de una superficie algebraica K3 tiene firma ${\displaystyle (1,\rho -1)}$. Muchas propiedades de una superficie K3 se determinan por su celo Picard, como una forma bilineal simétrica sobre los enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de las superficies K3 y la aritmética de formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie K3 analítica compleja es algebraica si y sólo si hay un elemento ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ con ${\displaystyle u^{2} {}}}}$.

Roughly speaking, the space of all complex analytic K3 surfaces has complex dimension 20, while the space of K3 surfaces with Picard number ${\displaystyle \rho }$ tiene dimensión ${\displaystyle 20-\rho}$ (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies algebraicas K3 ocurren en familias de 19 dimensiones. A continuación se presentan más detalles sobre los espacios de moduli de las superficies K3.

La descripción precisa de qué retecciones pueden ocurrir como retecciones Picard de superficies K3 es complicada. Una declaración clara, debido a Viacheslav Nikulin y David Morrison, es que cada lattice de la firma ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ con ${\displaystyle \rho \leq 11}$ es la celosía Picard de alguna superficie K3 proyectiva compleja. El espacio de tales superficies tiene dimensión ${\displaystyle 20-\rho}$.

Superficies elípticas K3

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, consiste en las superficies K3 con una fibra elíptica ${\displaystyle X\to \mathbf {\fnK}$. "Elíptico" significa que todas pero finitamente muchas fibras de este morfismo son curvas suaves del género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales, con los posibles tipos de fibras singulares clasificadas por Kodaira. Siempre hay algunas fibras singulares, ya que la suma de las características topológicas de Euler de las fibras singulares es ${\displaystyle \chi (X)=24}$. Una superficie general elíptica K3 tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de tipo ${\displaystyle I_{1}$ (una curva cúbica nodal).

Si una superficie K3 es elíptica se puede leer desde su celo Picard. Es decir, en la característica no 2 o 3, una superficie K3 X tiene una fibra elíptica si y sólo si hay un elemento no cero ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ con ${\displaystyle u^{2}=0}$. (En la característica 2 o 3, la última condición también puede corresponder a una fibra cuasi-éptica). Se deduce que tener una fibra elíptica es una condición de codimensión-1 en una superficie K3. Así que hay familias de 19 dimensiones de superficies K3 analíticas complejas con fibra elíptica, y espacios de modulos de 18 dimensiones de superficies K3 proyectivas con fibra elíptica.

Ejemplo: Cada superficie cuadrada lisa X dentro ${\displaystyle \mathbf {} {} {}}}$ que contiene una línea L tiene una fibra elíptica ${\displaystyle X\to \mathbf {\fnK}$, dado por proyectar lejos de L. El espacio moduli de todas las superficies cuartic lisas (hasta el isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuarticas que contienen una línea tiene dimensión 18.

Curvas racionales en superficies K3

A diferencia de las variedades con curvatura positiva, como las superficies de Del Pezzo, una superficie algebraica compleja K3 X no está libre de reglas; es decir, no está cubierto por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades con curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que cada curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales.

Otro contraste con variedades curvadas negativamente es que la métrica Kobayashi en una superficie analítica compleja K3 X es idéntico cero. La prueba utiliza que una superficie algebraica K3 X está siempre cubierto por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. (Estas curvas son singulares en X, a menos que X resulta ser una superficie K3 elíptica.) Una pregunta más fuerte que permanece abierta es si cada superficie K3 compleja admite un mapa holomorfo nondegenerado ${\displaystyle \mathbb {C} {2}}$ (donde "nodegenerado" significa que el derivado del mapa es un isomorfismo en algún momento).

El mapa de la época

Define a Marca de una superficie K3 analítica compleja X ser un isomorfismo de las celosías ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z}$ a la celosía K3 ${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$. El espacio N de superficies K3 complejas marcadas es un conjunto complejo no-Hausdorff de dimensión 20. El conjunto de clases de isomorfismo de superficies K3 analíticas complejas es el cociente de N por el grupo ortogonal ${\displaystyle O(\Lambda)}$, pero este cociente no es un espacio de moduli geométricamente significativo, porque la acción de ${\displaystyle O(\Lambda)}$ está lejos de ser adecuadamente discontinua. (Por ejemplo, el espacio de superficies cuartic lisas es irreducible de dimensión 19, y sin embargo cada superficie analítica K3 compleja en la familia de 20 dimensiones N tiene deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfos a la cuartica lisa.) Por la misma razón, no hay un espacio de moduli significativo de tori complejo compacto de dimensión al menos 2.

El mapeo del período envía una superficie K3 a su estructura Hodge. Cuando se plantea con cuidado, el teorema de Torelli se cumple: una superficie K3 está determinada por su estructura de Hodge. El dominio del período se define como la variedad compleja de 20 dimensiones.

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C}):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}} {u} {u}}$

Mapa del período ${\displaystyle N\to D}$ envía una superficie marcada K3 X a la línea compleja ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C})\cong \Lambda \otimes \mathbb {C}$. Esto es subjetivo, y un isomorfismo local, pero no un isomorfismo (en particular porque D es Hausdorff y N no es). Sin embargo, el global Torelli teorem para superficies K3 dice que el mapa cociente de conjuntos

${\displaystyle N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)}$

es bijetivo. Se sigue que dos superficies analíticas K3 complejas X y Y son isomorfos si y sólo si hay La isometría de Hodge desde ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z}$ a ${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z}$, es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que preserva el formulario de intersección y envía ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C})}$ a ${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2}}$.

Espacios de módulo de superficies proyectivas K3

A polarizada Superficie K3 X de género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un amplio paquete de línea L tales que L es primitivo (es decir, no 2 o más veces otro paquete de línea) y ${\displaystyle c_{1}(L)}=2g-2}$. Esto también se llama una superficie de K3 polarizada grado 2g−2.

Bajo estos supuestos, L está libre de puntos base. En la característica cero, el teorema de Bertini implica que hay una curva suave C en el sistema lineal |L|. Todas estas curvas tienen género g, lo que explica por qué se dice que (X,L) tiene género g.

El espacio vectorial de secciones L tiene dimensión g + 1, y así L da un morfismo de X espacio proyectado ${\displaystyle \mathbf {} {\g}}$. En la mayoría de los casos, este morfismo es una incrustación, de modo que X es isomorfa a una superficie del grado 2g−2 en ${\displaystyle \mathbf {} {\g}}$.

Hay un espacio de moduli grueso irreducible ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ de superficies K3 polarizadas de género g para cada uno ${\displaystyle g\geq 2}$; se puede ver como un subconjunto abierto de Zariski de una variedad Shimura para el grupo SO(2,19). Por cada uno g, ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ es una variedad de dimensiones complejas cuasi proyectadas 19. Shigeru Mukai mostró que este espacio moduli es uniracional si ${\displaystyle g\leq 13}$ o ${\displaystyle g=18,20}$. En contraste, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ es de tipo general si ${\displaystyle g\geq 63}$ o ${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$. Voisin (2008) realizó una encuesta sobre esta esfera.

Los diferentes espacios de moduli de 19 dimensiones ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ de una manera intrincada. De hecho, hay un conjunto contablemente infinito de subvariabilidades de codimensión-1 de cada ${\fnMicrosoft Sans Serif}$ correspondiente a superficies K3 del número de Picard al menos 2. Estas superficies K3 tienen polarizaciones de infinitamente muchos grados diferentes, no sólo 2g-2. Así se puede decir que infinitamente muchos de los otros espacios moduli ${\fnMicrosoft Sans Ser}$ Nos vemos ${\fnMicrosoft Sans Serif}$. Esto es impreciso, ya que no hay un espacio bien dotado que contenga todos los espacios moduli ${\fnMicrosoft Sans Serif}$. Sin embargo, una versión concreta de esta idea es el hecho de que cualquier dos superficies algebraicas complejas K3 son deformación-equivalente a través de superficies algebraicas K3.

Más generalmente, a quasi-polarized Superficie K3 del género g significa una superficie K3 proyectiva con un nef primitivo y un paquete de línea grande L tales que ${\displaystyle c_{1}(L)}=2g-2}$. Tal paquete de línea todavía da un morfismo a ${\displaystyle \mathbf {} {\g}}$, pero ahora puede contratar finitamente muchos (−2)-curves, para que la imagen Y de X es singular. (A (2) - curva en una superficie significa una curva isomorfa a ${\displaystyle \mathbf {} {} {}}}$ con autointersección −2. El espacio moduli de superficies K3 cuasi poliarizadas de género g sigue siendo irreducible de la dimensión 19 (conteniendo el espacio de moduli anterior como subconjunto abierto). Formadamente, funciona mejor para ver esto como un espacio de moduli de superficies K3 Y con du Val singularidades.

El cono amplio y el cono de curvas

Una característica notable de las superficies algebraicas K3 es que la celosía Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluyendo el cono convexo de divisores amplios (hasta automorfismos de la celosía Picard). El cono amplio es determinado por la celosía Picard como sigue. Por el teorema del índice Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R}$ tiene firma ${\displaystyle (1,\rho -1)}$. De ahí que el conjunto de elementos ${\displaystyle N^{1}(X)}$ con la autointersección positiva tiene dos componentes conectados. Llama a la positivo el componente que contiene cualquier divisor amplio X.

Caso 1: No hay elemento u of Pic(XCon ${\displaystyle u^{2}=-2}$. Entonces el cono amplio es igual al cono positivo. Así es el cono redondo estándar.

Caso 2: De lo contrario, dejemos ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname [Pic] (X):u^{2}=-2}$, el conjunto de raíces de la celosa Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que pasan por el cono positivo. Luego el cono amplio es un componente conectado del complemento de estos hiperplanos en el cono positivo. Cualquier dos de estos componentes son isomorfos a través del grupo ortogonal de la celosía Pic(X), ya que eso contiene la reflexión en cada hiperplano raíz. En este sentido, la celosía de Picard determina el amplio cono hasta el isomorfismo.

Una declaración relacionada, debido a Sándor Kovács, es que conocer un amplio divisor A en Pic(X) determina todo el cono de curvas de X. Supongamos que X tiene el número de Picard ${\displaystyle \rho \geq 3}$. Si el conjunto de raíces ${\displaystyle \Delta }$ está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es el cierre del cono positivo. De lo contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todos los elementos ${\displaystyle u\in \Delta }$ con ${\displaystyle A\cdot u confianza0}$. En el primer caso, X contiene no (−2)-curves; en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todos (−2)-curves. (Si) ${\displaystyle \rho =2}$, hay otra posibilidad: el cono de las curvas puede ser azotado por uno (−2)-curvo y una curva con la autointersección 0.) Así que el cono de las curvas es o el cono redondo estándar, o de lo contrario tiene "corrientes" (porque cada (−2)-curvo abarca un aislado rayos extremal del cono de las curvas).

Grupo automorfismo

Las superficies K3 son algo inusual entre las variedades algebraicas en que sus grupos de automorfismo pueden ser infinitos, discretos y altamente nonabelianos. Por una versión del teorema de Torelli, la celosía de Picard de una compleja superficie algebraica K3 X determina el grupo de automorfismo X hasta la proporcionalidad. Es decir, deja que el Grupo Weyl W ser el subgrupo del grupo ortogonal O(Pic)X)) generado por reflexiones en el conjunto de raíces ${\displaystyle \Delta }$. Entonces... W es un subgrupo normal de O(Pic)X)), y el grupo de automorfismo X es proporcional al grupo de cocientes O(Pic)X)/W. Una declaración relacionada, debido a Hans Sterk, es que Aut(X) actúa en el cono nef de X con un dominio fundamental poliedral racional.

Relación con la dualidad de cadenas

Las superficies K3 aparecen de forma casi ubicua en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para comprenderla. Las compactaciones de cuerdas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cadena de tipo IIA, la cadena de tipo IIB, la cadena heterótica E₈×E₈, la cadena heterótica Spin(32)/Z2 y la teoría M están relacionadas por Compactación sobre una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda Tipo IIA compactada sobre una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactada sobre un toro 4 (Aspinwall (1996)).

Historia

Superficies cuárticas en ${\displaystyle \mathbf {} {} {}}}$ fueron estudiados por Ernst Kummer, Arthur Cayley, Friedrich Schur y otros geométricos del siglo XIX. Más generalmente, Federigo Enriques observó en 1893 que para varios números g, hay superficies de grado 2g−2 en ${\displaystyle \mathbf {} {\g}}$ con paquete canónico trivial e irregularidad cero. En 1909, Enriques mostró que tales superficies existen para todos ${\displaystyle g\geq 3}$, y Francesco Severi mostró que el espacio moduli de tales superficies tiene dimensión 19 para cada g.

André Weil (1958) dio su nombre a las superficies K3 (ver la cita anterior) e hizo varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, en particular realizando el primer estudio sistemático de superficies K3 analíticas complejas que no son algebraicas. Demostró que dos superficies K3 analíticas complejas cualesquiera son equivalentes a la deformación y, por lo tanto, difeomorfas, lo cual era nuevo incluso para las superficies algebraicas K3. Un importante avance posterior fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), ampliado a superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).