Superficie gaussiana

A Superficie gaussiana es una superficie cerrada en espacio tridimensional mediante la cual se calcula el flujo de un campo vectorial; generalmente el campo gravitacional, el campo eléctrico o el campo magnético. Es una superficie cerrada arbitraria S ==V (el límite de una región tridimensional V) utilizado en conjunto con la ley de Gauss para el campo correspondiente (la ley de Gauss, la ley de Gauss para el magnetismo, o la ley de Gauss para la gravedad) mediante la realización de una superficie integral, con el fin de calcular la cantidad total de la cantidad de fuente encerrada; por ejemplo, la cantidad de masa gravitacional como fuente de la fuente gravitacional o la cantidad de carga eléctrica como la fuente del campo electrostático, o la distribución versa.

Para el hormigón, el campo eléctrico se considera en este artículo, ya que este es el tipo más frecuente de campo para el que se utiliza el concepto de superficie.

Las superficies gausianas suelen ser cuidadosamente elegidas para explotar las simetrías de una situación para simplificar el cálculo de la superficie integral. Si la superficie Gaussiana es escogida de tal manera que por cada punto en la superficie el componente del campo eléctrico a lo largo del vector normal es constante, entonces el cálculo no requerirá una integración difícil ya que las constantes que surgen pueden ser sacadas de la parte integral. Se define como la superficie cerrada en espacio tridimensional por la cual se calcula el flujo de campo vectorial.

Superficies Gaussianas comunes

La mayoría de los cálculos que utilizan superficies gaussianas comienzan implementando la ley de Gauss (para la electricidad):

${\displaystyle \Phi _{E}=$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac} Varepsilon - Sí.$

Por lo tanto, Q_enc es la carga eléctrica encerrada por la superficie gaussiana.

Ésta es la ley de Gauss, que combina el teorema de la divergencia y la ley de Coulomb.

Superficie esférica

Se utiliza una superficie gaussiana esférica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes:

• una carga de punto
• una cáscara esférica distribuida uniformemente
• cualquier otra distribución de carga con simetría esférica

La superficie esférica gaussiana se elige de modo que sea concéntrica con la distribución de carga.

A modo de ejemplo, consideremos una capa esférica cargada S de espesor despreciable, con una carga uniformemente distribuida Q y un radio R. Podemos utilizar la ley de Gauss para hallar la magnitud del campo eléctrico resultante E a una distancia r del centro de la capa cargada. Es inmediatamente evidente que para una superficie gaussiana esférica de radio r < R la carga encerrada es cero: por lo tanto, el flujo neto es cero y la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana también es 0 (dejando Q_A = 0 en la ley de Gauss, donde Q_A es la carga encerrada por la superficie gaussiana).

Con el mismo ejemplo, utilizando una superficie gaussiana más grande fuera de la capa donde r > R, la ley de Gauss producirá un campo eléctrico distinto de cero. Esto se determina de la siguiente manera.

El flujo que sale de la superficie esférica S es:

${\displaystyle \Phi _{E}=$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint ¿Qué? }=E\iint _{S}dA$

El área de la superficie de la esfera de radio r es

$${\displaystyle \iint ¿Qué?$$

$${\displaystyle ¿Qué?$$

Según la ley de Gauss el flujo es también

$${\displaystyle \Phi - ¿Qué? Varepsilon ♪♪$$

$${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac Varepsilon ¿Qué? \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}{4\pi} \varepsilon - ¿Qué?$$

Este resultado no trivial muestra que cualquier distribución esférica de carga actúa como una carga puntual cuando se observa desde el exterior de la distribución de carga; esto es, de hecho, una verificación de la ley de Coulomb. Y, como se mencionó, cualquier carga exterior no cuenta.

Superficie cilíndrica

Se utiliza una superficie gaussiana cilíndrica para encontrar el campo eléctrico o el flujo producido por cualquiera de los siguientes:

• una línea infinitamente larga de carga uniforme
• un plano infinito de carga uniforme
• un cilindro infinitamente largo de carga uniforme

A continuación se muestra un ejemplo de un "campo con carga lineal infinita";

Consideremos un punto P a una distancia r de una carga lineal infinita que tiene una densidad de carga (carga por unidad de longitud) λ. Imaginemos una superficie cerrada en forma de cilindro cuyo eje de rotación es la carga lineal. Si h es la longitud del cilindro, entonces la carga encerrada en el cilindro es

$${\displaystyle q=\lambda h,}$$

El paso de flujo consta de tres contribuciones:

${\displaystyle \Phi _{E}=$ ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Para las superficies a y b, E y dA serán perpendiculares. Para la superficie c, E y dA serán paralelas, como se muestra en la figura.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ Phi... ¿Por qué no? EdA\cos 90^{\circ }+iint ¿Qué? }\\\\\\fnMicrosoft Sans ¿Qué?$$

El área de la superficie del cilindro es

$${\displaystyle \iint _{c}dA=2\pi rh}$$

$${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh.}$$

Por la ley de Gauss

$${\displaystyle \Phi ¿Qué? ♪♪$$

$${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$

Pastillero gaussiano

Esta superficie se utiliza con mayor frecuencia para determinar el campo eléctrico debido a una lámina infinita de carga con una densidad de carga uniforme, o una placa de carga con un espesor finito. El pastillero tiene una forma cilíndrica y se puede pensar que consta de tres componentes: el disco en un extremo del cilindro con un área πR², el disco en el otro extremo con un área igual y el lado del cilindro. La suma del flujo eléctrico a través de cada componente de la superficie es proporcional a la carga encerrada en el pastillero, como lo dicta la Ley de Gauss. Debido a que el campo cercano a la lámina se puede aproximar como constante, el pastillero está orientado de manera que las líneas de campo penetran los discos en los extremos del campo en un ángulo perpendicular y los lados del cilindro son paralelos a las líneas de campo.