Superficie de Riemann

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Manifold complejo de una dimensión

Superficie Riemann para la función f()z)√z. Los dos ejes horizontales representan las partes reales e imaginarias de z, mientras que el eje vertical representa la parte real de √z. La parte imaginaria de √z está representado por la coloración de los puntos. Para esta función, también es la altura después de girar la parcela 180° alrededor del eje vertical.

En matemáticas, particularmente en análisis complejo, una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional conectada. Estas superficies fueron estudiadas por primera vez por Bernhard Riemann y llevan su nombre. Las superficies de Riemann se pueden considerar como versiones deformadas del plano complejo: localmente, cerca de cada punto, parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias láminas pegadas entre sí.

El principal interés en las superficies de Riemann es que se pueden definir funciones holomorfas entre ellas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el escenario natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente funciones polivalentes como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas, o el logaritmo.

Toda superficie de Riemann es una variedad analítica real bidimensional (es decir, una superficie), pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja) que se necesita para la definición inequívoca de funciones holomorfas. Una variedad real bidimensional se puede convertir en una superficie de Riemann (generalmente de varias maneras no equivalentes) si y solo si es orientable y metrizable. Así, la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero la cinta de Möbius, la botella de Klein y el plano proyectivo real no.

Los hechos geométricos sobre las superficies de Riemann son tan "agradables" como sea posible, y a menudo proporcionan la intuición y la motivación para generalizaciones a otras curvas, variedades o variedades. El teorema de Riemann-Roch es un excelente ejemplo de esta influencia.

Definiciones

Hay varias definiciones equivalentes de una superficie de Riemann.

A Riemann surface X es un conjunto complejo conectado de dimensión compleja uno. Esto significa que X es un espacio conectado Hausdorff que está dotado con un atlas de gráficos al disco de unidad abierta del plano complejo: para cada punto x ▪ X hay un barrio x que es homeomorfo al disco de unidad abierta del plano complejo, y los mapas de transición entre dos gráficos superpuestos son necesarios para ser holomorfos.
Una superficie Riemann es un conjunto orientado de dimensión (real) dos – una superficie de dos caras – junto con una estructura conformal. De nuevo, el múltiple significa que localmente en cualquier punto x de X, el espacio es homeomórfico a un subconjunto del plano real. El suplemento "Riemann" significa que X está dotada de una estructura adicional que permite la medición de ángulo en el múltiple, a saber, una clase de equivalencia de las llamadas métricas Riemannianas. Dos de estas métricas se consideran equivalentes si los ángulos que miden son los mismos. Elegir una clase de equivalencia de métricas en X es el dato adicional de la estructura conformal.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conforme al elegir la métrica euclidiana estándar dada en el plano complejo y transportarla a X por medio de los gráficos. Mostrar que una estructura conforme determina una estructura compleja es más difícil.

Ejemplos

La esfera Riemann.

Un toro.

El plano complejo C es la superficie más básica de Riemann. El mapa f()z) z (el mapa de identidad) define un gráfico C, yfEs un atlas para C. El mapa g()z) z^* (el mapa conjugado) también define un gráfico C ygEs un atlas para C. Los gráficos f y g no son compatibles, así que estas dotaciones C con dos estructuras de superficie Riemann distintas. De hecho, dada una superficie Riemann X y su atlas A, el atlas conjugado B =f^*: f▪A} nunca es compatible con A, y dotaciones X con una estructura Riemann distinta e incompatible.
De manera análoga, cada subconjunto abierto no vacío del plano complejo se puede ver como una superficie Riemann de una manera natural. Más generalmente, cada subconjunto abierto no vacío de una superficie Riemann es una superficie Riemann.
Vamos S = C Y dejar f()z) z Donde z está dentro S Y g()z) = 1 / z Donde z está dentro S {0} y 1/∞ se define como 0. Entonces... f y g son gráficos, son compatibles, y { f,g Es un atlas para S, haciendo S en una superficie Riemann. Esta superficie particular se llama Riemann esfera porque se puede interpretar como envolviendo el plano complejo alrededor de la esfera. A diferencia del plano complejo, es compacto.
La teoría de superficie compacta Riemanns se puede demostrar que es equivalente a la de curvas algebraicas proyectivas que se definen sobre los números complejos y no-singulares. Por ejemplo, el toro C/(Z+τ Z), donde τ es un número no real complejo, corresponde, a través de la función elíptica Weierstrass asociada a la celosía Z+τ Z, a una curva elíptica dada por una ecuación
Sí.² = x³ + a x + b.
Tori son las únicas superficies Riemann del género uno; superficies de géneros superiores g son proporcionados por las superficies hiperépticas
Sí.² = P()x),
Donde P es un polinomio complejo de grado 2g+ 1.
Todas las superficies compactas Riemann son curvas algebraicas ya que pueden ser incrustadas en algunas ${mathbb {CP}}^{n}$ . Esto se deriva del teorema de incrustación de Kodaira y el hecho de que existe un paquete de línea positivo en cualquier curva compleja.
Ejemplos importantes de superficies Riemann no compactas son proporcionados por la continuación analítica.

f()z) = arcsin z
f()z) = registro z
f()z) z^1/2
f()z) z^1/3
f()z) z^1/4

Más definiciones y propiedades

Como con cualquier mapa entre variedades complejas, una función f: M → N entre dos superficies de Riemann M y N se llama holomórfico si para cada gráfico g en el atlas de M y cada gráfico h en el atlas de N, el mapa h ∘ f ∘ g^{− 1} es holomorfo (como una función de C a C) dondequiera que esté definido. La composición de dos mapas holomorfos es holomorfa. Las dos superficies de Riemann M y N se denominan biholomórficas (o equivalentes conformes para enfatizar el punto de vista conforme) si existe una función holomorfa biyectiva de M a N cuya inversa también es holomorfa (resulta que esta última condición es automática y por lo tanto puede omitirse). Dos superficies de Riemann conformemente equivalentes son idénticas a todos los efectos prácticos.

Orientabilidad

Cada superficie de Riemann, al ser una variedad compleja, es orientable como una variedad real. Para gráficos complejos f y g con función de transición h = f(g⁻¹(z)), h se puede considerar como un mapa de un conjunto abierto de R² a R² cuyo jacobiano en un punto z es simplemente el mapa lineal real dado por la multiplicación por el número complejo h'(z). Sin embargo, el determinante real de la multiplicación por un número complejo α es igual a |α|², por lo que el jacobiano de h tiene determinante positivo. En consecuencia, el atlas complejo es un atlas orientado.

Funciones

Toda superficie de Riemann no compacta admite funciones holomorfas no constantes (con valores en C). De hecho, toda superficie de Riemann no compacta es una variedad de Stein.

En cambio, en una superficie compacta de Riemann X toda función holomorfa con valores en C es constante debido al principio del máximo. Sin embargo, siempre existen funciones meromórficas no constantes (funciones holomorfas con valores en la esfera de Riemann C ∪ {∞}). Más precisamente, el campo de función de X es una extensión finita de C(t), el campo de función en una variable, es decir, dos meromórficos Las funciones son algebraicamente dependientes. Esta afirmación se generaliza a dimensiones superiores, véase Siegel (1955). Las funciones meromórficas se pueden dar de manera bastante explícita, en términos de funciones theta de Riemann y el mapa de la superficie de Abel-Jacobi.

Analítica vs. algebraica

(feminine)

La existencia de funciones meromórficas no constantes se puede usar para mostrar que cualquier superficie de Riemann compacta es una variedad proyectiva, es decir, se puede dar mediante ecuaciones polinómicas dentro de un espacio proyectivo. En realidad, se puede demostrar que cada superficie compacta de Riemann se puede incrustar en un espacio tridimensional proyectivo complejo. Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann están dadas por gráficos de parches locales. Si se agrega una condición global, a saber, la compacidad, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlas con los medios de la geometría analítica o algebraica. La declaración correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, hay 2 variedades complejas compactas que no son algebraicas. Por otro lado, toda variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase el teorema de Chow.

Como ejemplo, considere el torus T:=C/(Z+τ Z). Función Weierstrass $wp_tau(z)$ perteneciente a la celosa Z+τ Z es una función meromorfa en T. Esta función y su derivación $wp_tau'(z)$ generar el campo de función T. Hay una ecuación

{displaystyle [wp '(z)]^{2}=4[wp (z)]^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3},}

donde los coeficientes g₂ y g₃ dependen de τ, dando así una curva elíptica E_τ en el sentido de geometría algebraica. La inversión de esto se logra mediante la j-invariante j(E), que se puede usar para determinar τ y, por lo tanto, un toro.

Clasificación de las superficies de Riemann

El conjunto de todas las superficies Riemann se puede dividir en tres subconjuntos: superficies hiperbólicas, parabólicas y elípticas Riemann. Geométricamente, estos corresponden a superficies con curvatura seccional negativa, desaparecida o positiva constante. Es decir, cada superficie conectada Riemann $X$ admite una métrica real Riemann única de 2 dimensiones con curvatura constante igual a ${displaystyle -1,0}$ o $1$ que pertenece a la clase conformal de la métrica Riemanniana determinada por su estructura como superficie Riemann. Esto se puede ver como consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas.

En términos analíticos complejos, el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe (una generalización del teorema de mapeo de Riemann) establece que cada superficie de Riemann simplemente conectada es conformemente equivalente a una de las siguientes:

La esfera Riemann $widehat{mathbf{C}}:= mathbf{C} cup{infty}$ , que es isomorfo a ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C})}$ ;
El plano complejo $mathbf C$ ;
El disco abierto $<math alttext="{displaystyle mathbf {D}:={zin mathbf {C}:|z|D:={}z▪ ▪ C:SilenciozSilencio.1}{displaystyle mathbf {D}:={zin mathbf {C}: <img alt="{displaystyle mathbf {D}:={zin mathbf {C}:|z|$ que es isomorfo al medio plano superior $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H:={}z▪ ▪ C:Im()z)■0}{displaystyle mathbf {H}:={zin mathbf {C}:mathrm {Im} (z) prenda0}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0e2311d8977de4df7778accdec9edf89630d2e" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.893ex; height:2.843ex;"/>$ .

Una superficie Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica según si su cubierta universal es isomorfa a ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C})}$ , $mathbf C$ o $mathbf {D}$ . Los elementos de cada clase admiten una descripción más precisa.

Superficies elípticas de Riemann

La esfera Riemann ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C})}$ es el único ejemplo, ya que no hay ningún grupo actuando en él por transformaciones biholomorfas libremente y correctamente discontinuamente y así cualquier superficie Riemann cuya cubierta universal es isomorfa a ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbf {C})}$ debe ser isomorfo para ella.

Superficies parabólicas de Riemann

Si $X$ es una superficie Riemann cuya cubierta universal es isomorfa al plano complejo $mathbf C$ entonces es isomorfa a una de las siguientes superficies:

$mathbf C$ en sí mismo;
El cociente ${displaystyle mathbf {C} /mathbf {Z} }$ ;
Un cociente ${displaystyle mathbf {C} /(mathbf {Z} +mathbf {Z} tau)}$ Donde ${displaystyle tau in mathbf {C} }$ con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Im()τ τ )■0{displaystyle mathrm {Im} (tau)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e776b45526b3f635dcb3485280e7b8f32692663a" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.048ex; height:2.843ex;"/>$ .

Topológicamente sólo hay tres tipos: el avión, el cilindro y el torus. Pero mientras que en el caso anterior la estructura superficial (parabólica) Riemann es única, que varía el parámetro $tau$ en el tercer caso da superficies Riemann no isómorfas. La descripción por el parámetro $tau$ da el espacio Teichmüller de superficies Riemann "marcadas" (además de la estructura de superficie Riemann se añaden los datos topológicos de una "marcación", que se puede ver como un homeomorfismo fijo al torus). Para obtener el espacio de moduli analítico (olvidando el marcado) se toma el cociente del espacio Teichmüller por el grupo de clase de mapeo. En este caso es la curva modular.

Superficies hiperbólicas de Riemann

En los casos restantes $X$ es una superficie hiperbólica Riemann, que es isomorfa a un cociente del medio plano superior por un grupo Fuchsian (a veces se llama modelo Fuchsian para la superficie). Tipo topológico $X$ puede ser cualquier superficie orientable salvar el toro y la esfera.

Un caso de interés particular es cuando $X$ es compacto. Entonces su tipo topológico es descrito por su género ${displaystyle ggeq 2}$ . Su espacio Teichmüller y espacio moduli son ${displaystyle 6g-6}$ -dimensional. Una clasificación similar de superficies Riemann de tipo finito (que es homeomorfa a una superficie cerrada menos un número finito de puntos) se puede dar. Sin embargo, en general el espacio moduli de superficies Riemann de tipo topológico infinito es demasiado grande para admitir tal descripción.

Mapas entre superficies de Riemann

La clasificación geométrica se refleja en mapas entre superficies Riemann, como se detalla en el teorema de Liouville y el teorema de Little Picard: mapas de hiperbólicos a parabólicos a elípticos son fáciles, pero mapas de elíptico a parabólico o parabólicos a hiperbólicos son muy limitados (de hecho, generalmente constante!). Hay inclusiones del disco en el plano en la esfera: $Delta subset mathbf{C} subset widehat{mathbf{C}},$ pero cualquier mapa holomorfico de la esfera al plano es constante, cualquier mapa holomorfico del plano en el disco unitario es constante (teorema de Liouville), y de hecho cualquier mapa holomorfico del plano a menos dos puntos es constante (Teorema de la pequeña Picard)!

Esferas perforadas

Estas declaraciones se aclaran considerando el tipo de esfera Riemann $widehat{mathbf{C}}$ con una serie de pinchazos. Sin pinchazos, es la esfera Riemann, que es elíptica. Con un pinchazo, que se puede colocar en el infinito, es el plano complejo, que es parabólico. Con dos pinchazos, es el plano perforado o un anulus o cilindro alternativo, que es parabólico. Con tres o más pinchazos, es hiperbólico – comparar par de pantalones. Uno puede mapear de un pinchazo a dos, a través del mapa exponencial (que es completo y tiene una singularidad esencial en el infinito, por lo que no se define en el infinito, y se pierde cero e infinito), pero todos los mapas de cero pinchazos a uno o más, o uno o dos pinchazos a tres o más son constantes.

Cubre espacios ramificados

Continuando en esta vena, superficies compactas Riemann pueden mapear a superficies de inferior pero no superior género, excepto como mapas constantes. Esto es porque los mapas holomorficos y meromorficos se comportan localmente como $z mapsto z^n,$ por lo que los mapas no constantes son mapas de cobertura ramificados, y para superficies compactas Riemann son limitados por la fórmula Riemann-Hurwitz en topología algebraica, que relaciona la característica Euler de un espacio y una cubierta ramificada.

Por ejemplo, las superficies de Riemann hiperbólicas están ramificadas y cubren los espacios de la esfera (tienen funciones meromórficas no constantes), pero la esfera no cubre ni se asigna a superficies de género superior, excepto como una constante.

Isometrías de las superficies de Riemann

El grupo de isometría de una superficie de Riemann uniformizada (equivalentemente, el grupo de automorfismo conforme) refleja su geometría:

género 0 – el grupo isometría de la esfera es el grupo Möbius de transformaciones proyectivas de la línea compleja,
el grupo isometría del avión es el subgrupo fijando infinidad, y del plano puntuado es el subgrupo dejando invariante el conjunto que contiene sólo infinidad y cero: bien fijando ambos, o intercambiándolos (1/z).
el grupo isometría del medio plano superior es el grupo Möbius real; esto es conjugado al grupo automorfismo del disco.
género 1 – el grupo isometría de un toro está en traducciones generales (como variedad Abeliana), aunque la celosía cuadrada y la celosía hexagonal tienen simetrías adicionales de rotación de 90° y 60°.
Para el género g ≥ 2, el grupo isometría es finito, y tiene orden en la mayoría 84(g1), por el teorema de automorfismos de Hurwitz; las superficies que se dan cuenta de este atado se llaman Superficies de Hurwitz.
Se sabe que cada grupo finito se puede realizar como el grupo completo de isometrías de alguna superficie Riemann.
- Para el género 2 el orden es maximizado por la superficie Bolza, con el orden 48.
- Para el género 3 el orden es maximizado por la cuartic Klein, con el orden 168; esta es la primera superficie Hurwitz, y su grupo de automorfismo es isomorfo al único grupo simple de orden 168, que es el segundo grupo simple no abeliano. Este grupo es isomorfo tanto para PSL(2,7) como para PSL(3,2).
- Para el género 4, la superficie de Bring es una superficie altamente simétrica.
- Para el género 7 el orden es maximizado por la superficie de Macbeath, con el orden 504; esta es la segunda superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismo es isomorfo a PSL(2,8), el grupo simple no abeliano de cuarta dimensión.

Clasificación teórica de funciones

Los geómetras suelen utilizar el esquema de clasificación anterior. Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann que suelen utilizar los analistas complejos. Emplea una definición diferente para "parabólico" e "hiperbólico". En este esquema de clasificación alternativo, una superficie de Riemann se denomina parabólica si no hay funciones subarmónicas negativas no constantes en la superficie y, de lo contrario, se denomina hiperbólica. Esta clase de superficies hiperbólicas se subdivide en subclases según si los espacios de funciones distintos de las funciones subarmónicas negativas están degenerados, p. Superficies de Riemann en las que todas las funciones holomorfas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas positivas son constantes, etc.

Para evitar confusiones, llame a la clasificación basada en métricas de curvatura constante clasificación geométrica, y a la basada en la degeneración de espacios de funciones clasificación funcional-teórica. Por ejemplo, la superficie de Riemann que consta de "todos los números complejos excepto 0 y 1" es parabólica en la clasificación teórica de funciones pero es hiperbólica en la clasificación geométrica.

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