Superficie de niño

Una animación de la superficie de Boy

En geometría, la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en un espacio tridimensional encontrado por Werner Boy en 1901. Lo descubrió por encargo de David Hilbert para demostrar que el plano proyectivo no podría sumergirse en el espacio tridimensional.

La superficie de Boy fue parametrizada explícitamente por primera vez por Bernard Morin en 1978. Rob Kusner y Robert Bryant descubrieron otra parametrización. La superficie de Boy es una de las dos inmersiones posibles del plano proyectivo real que tienen un único punto triple.

A diferencia de la superficie romana y el casquete transversal, no tiene otras singularidades que las autointersecciones (es decir, no tiene puntos de pellizco).

Simetría de la superficie del Niño

Modelo 3D STL de la superficie de Boy

La superficie del niño tiene una simetría triple. Esto significa que tiene un eje de simetría rotacional discreta: cualquier giro de 120° alrededor de este eje dejará la superficie con el mismo aspecto. La superficie del niño se puede cortar en tres piezas mutuamente congruentes.

Modelo en Oberwolfach

Modelo de la superficie de un niño en Oberwolfach

El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un gran modelo de la superficie de un niño fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene una simetría rotacional triple y minimiza la energía de Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una cuadrícula de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en tiras de Möbius ordinarias, es decir, torcidas 180 grados. Todas menos una de las tiras correspondientes a círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) no están torcidas, mientras que la que corresponde al límite del círculo unitario es una tira de Möbius torcida tres veces 180 grados, como es el emblema del instituto. (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011).

Aplicaciones

La superficie del niño se puede utilizar en la eversión de la esfera, como un modelo a mitad de camino. Un modelo a mitad de camino es una inmersión de la esfera con la propiedad de que una rotación intercambia el interior y el exterior, por lo que puede emplearse para evertir (dar la vuelta) a una esfera. Las superficies de Boy's (el caso p = 3) y Morin's (el caso p = 2) comienzan una secuencia de modelos intermedios con mayor simetría propuestos por primera vez por George Francis, indexados por los números enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones se pueden factorizar a través de un plano proyectivo). La parametrización de Kusner arroja todo esto.

Parametrización de la superficie de Boy

Una vista de la parametrización Kusner-Bryant de la superficie del Niño

La superficie del niño puede parametrizarse de varias maneras. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant, es la siguiente: dada un número complejo w cuya magnitud es inferior o igual a una (.. w.. ≤ ≤ 1{displaystylefnfnhfnh00fnMicrosoftfnMicrosoft 1}), vamos

g1=− − 32Im⁡ ⁡ [w()1− − w4)w6+5w3− − 1]g2=− − 32Re⁡ ⁡ [w()1+w4)w6+5w3− − 1]g3=Im⁡ ⁡ [1+w6w6+5w3− − 1]− − 12{displaystyle {begin{aligned}g_{1} limit=-{3 over 2}operatorname {Im} left [{wleft(1-w^{4}right) over w^{6}+{sqrt {5}w^{3}-1}right][4pt]g_{2} limit=-{3 over 2}operatorname {Re} left[{wleft(1+w^{4}right) over w^{6}+{sqrt {5}w^{3}-1}derecha][4pt]g_{3}=operatorname {Im} left[{1+w^{6} over w^{6}+{sqrt {5}w^{3}right]-{1 over 2}\end{aligned}

y luego establezca

()xSí.z)=1g12+g22+g32()g1g2g3){displaystyle {begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}={frac} {1}{2}}{2} {2} {2}}} {2}}}} {begin{pmatrix}g_{1}g_{2}g_{3}g_}g_{3}end{pmatrix}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {g_}} {g_}}}}}}}} {g_}}} {g_}}}}} {g_}g_}g_} {g_}g_} {g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}g_}}

obtenemos entonces las coordenadas cartesianas x, y y z de un punto en la superficie del Niño.

Si se realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, se obtiene una superficie mínima completa con tres extremos (así se descubrió naturalmente esta parametrización). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es 'óptima'. en el sentido de que es el "menos inclinado" inmersión de un plano proyectivo en tres espacios.

Propiedad de la parametrización de Bryant-Kusner

Si w es reemplazado por la reciproca negativa de su complejo conjugado, − − 1w⋆ ⋆ ,{textstyle -{1over w^{star }}} entonces las funciones g₁, g₂, y g₃ de w quedan sin cambios.

Reemplazando w en términos de sus partes real e imaginaria w = s + it, y ampliando la parametrización resultante, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t. Esto muestra que la superficie de Boy no es solo una superficie algebraica, sino incluso una superficie racional. La observación del párrafo anterior muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, casi todos los puntos de la superficie de Boy pueden obtenerse mediante dos valores de parámetros).

Relacionando la superficie del Niño con el plano proyectivo real

Vamos P()w)=()x()w),Sí.()w),z()w)){displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w)} ser la parametrización Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Entonces...

P()w)=P()− − 1w⋆ ⋆ ).{displaystyle P(w)=Pleft(-{1 over w^{star }right). }

Esto explica la condición .w.≤ ≤ 1{displaystyleleftfnhfnhestudioleq 1} en el parámetro: si <math alttext="{displaystyle left|wright|.w..1,{displaystyle leftfntewrightfn1}<img alt="left| w right| entonces 1.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.− − 1w⋆ ⋆ .■1.{textstyle left leftfn-{1 over w^{star }right instrucciones]1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d305ca096a4471898383c38c2a70547a56126abc" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.885ex; height:3.843ex;"/> Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para .w.=1.{displaystyle leftfnciónderechafnción=1.} En este caso, uno tiene − − 1w⋆ ⋆ =− − w.{textstyle -{1over w^{star - Sí. Esto significa que, si .w.=1,{displaystyle leftfnhderechafn1} el punto de la superficie del Niño se obtiene de dos valores de parámetro: P()w)=P()− − w).{displaystyle P(w)=P(-w). } En otras palabras, la superficie del Niño ha sido parametrizada por un disco tal que pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto muestra que la superficie del Niño es la imagen del plano proyectivo real, RP² por un mapa suave. Es decir, la parametrización de la superficie del Niño es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano.