Superespacio

Superespacio es el espacio de coordenadas de una teoría que exhibe supersimetría. En tal formulación, junto con las dimensiones espaciales ordinarias x, y, z,..., también existen "anticommuting&#; 34; dimensiones cuyas coordenadas están etiquetadas en números de Grassmann en lugar de números reales. Las dimensiones del espacio ordinario corresponden a grados de libertad bosónicos, las dimensiones anticonmutantes a grados de libertad fermiónicos.

La palabra "superespacio" fue utilizado por primera vez por John Wheeler en un sentido no relacionado para describir el espacio de configuración de la relatividad general; por ejemplo, este uso se puede ver en su libro de texto de 1973 Gravitación.

Discusión informal

Hay varias definiciones similares, pero no equivalentes, de superespacio que se han utilizado, y siguen siendo utilizadas en la literatura matemática y física. Uno de estos usos es como un sinónimo de espacio super Minkowski. En este caso, uno toma el espacio ordinario de Minkowski, y lo extiende con grados fermiónicos anticommutantes de libertad, tomados para ser espinas Weyl anti-commutantes del álgebra Clifford asociado al grupo Lorentz. Equivalentemente, el espacio super Minkowski se puede entender como el cociente del álgebra super Poincaré modulo el álgebra del grupo Lorentz. Una notación típica para las coordenadas en tal espacio es ()x,Silencio Silencio ,Silencio Silencio ̄ ̄ ){displaystyle (x,theta{theta}}} con el overline siendo el dar-away que super Minkowski espacio es el espacio previsto.

Superespacio también se utiliza comúnmente como sinónimo de superespacio vectorial. Se considera un espacio vectorial ordinario, junto con coordenadas adicionales tomadas del álgebra de Grassmann, es decir, direcciones de coordenadas que son números de Grassmann. Existen varias convenciones en uso para construir un superespacio vectorial; Rogers y DeWitt describen dos de ellos.

Un tercer uso del término "superespacio" es como sinónimo de supervariedad: una generalización supersimétrica de una variedad. Tenga en cuenta que tanto los superespacios de Minkowski como los superespacios vectoriales pueden considerarse casos especiales de supervariedades.

Un cuarto significado, y completamente ajeno, tuvo un breve uso en la relatividad general; esto se analiza con mayor detalle en la parte inferior.

Ejemplos

A continuación se ofrecen varios ejemplos. Los primeros asumen una definición de superespacio como un superespacio vectorial. Esto se denota como R^m|n, la Z_{2 Espacio vectorial graduado} con R^m como subespacio par y Rⁿ como el subespacio impar. La misma definición se aplica a C^m|n.

Los ejemplos de cuatro dimensiones toman el superespacio como el superespacio de Minkowski. Aunque es similar a un espacio vectorial, tiene muchas diferencias importantes: en primer lugar, es un espacio afín y no tiene ningún punto especial que indique el origen. A continuación, las coordenadas fermiónicas se consideran espinores de Weyl anti-conmutación del álgebra de Clifford, en lugar de ser números de Grassmann. La diferencia aquí es que el álgebra de Clifford tiene una estructura considerablemente más rica y sutil que los números de Grassmann. Entonces, los números de Grassmann son elementos del álgebra exterior, y el álgebra de Clifford tiene un isomorfismo con el álgebra exterior, pero su relación con el grupo ortogonal y el grupo de espines, utilizados para construir las representaciones de espines, le dan un profundo significado geométrico. (Por ejemplo, los grupos de espines forman una parte normal del estudio de la geometría de Riemann, bastante fuera de los límites y preocupaciones ordinarios de la física).

Ejemplos triviales

El superespacio más pequeño es un punto que no contiene direcciones bosónicas ni fermiónicas. Otros ejemplos triviales incluyen el plano real n-dimensional Rⁿ, que es un espacio vectorial que se extiende en n real., direcciones bosónicas y sin direcciones fermiónicas. El espacio vectorial R^0|n, que es el álgebra real de Grassmann n-dimensional. El espacio R^1|1 de una dirección par y otra impar se conoce como espacio de números duales, introducido por William Clifford en 1873.

El superespacio de la mecánica cuántica supersimétrica

La mecánica cuántica supersimétrica con N supercargas se formula a menudo en el superespacio R^1|2N, que contiene una dirección real t identificada con el tiempo y N direcciones complejas de Grassmann que están abarcadas por Θ_i y Θ^*_i, donde i va de 1 a N.

Considere el caso especial N = 1. El superespacio R^1|2 es un espacio vectorial tridimensional. Por lo tanto, una coordenada dada puede escribirse como un triple (t, Θ, Θ^*). Las coordenadas forman una superálgebra de Lie, en la que el grado de gradación de t es par y el de Θ y Θ^* es impar. Esto significa que se puede definir un corchete entre dos elementos cualesquiera de este espacio vectorial, y que este corchete se reduce al conmutador en dos coordenadas pares y en una coordenada par y una impar mientras que es un anticonmutador en dos coordenadas impares. Este superespacio es una superálgebra de Lie abeliana, lo que significa que todos los corchetes antes mencionados desaparecen.

[t,t]=[t,Silencio Silencio ]=[t,Silencio Silencio Alternativa Alternativa ]={}Silencio Silencio ,Silencio Silencio }={}Silencio Silencio ,Silencio Silencio Alternativa Alternativa }={}Silencio Silencio Alternativa Alternativa ,Silencio Silencio Alternativa Alternativa }=0{displaystyle left[t,tright]=left[t,theta right]=left[t,theta ^{*}right]=leftthetathetathetaright}=leftthetathetathetathetat]=thetathetathetathetadeThet] ^{*}derecha}=left{theta ^{*},theta ^{*}right}=0}

Donde [a,b]{displaystyle [a,b]} es el conmutador de a y b y {}a,b}{displaystyle {a,b} es el anticommutador de a y b.

Se pueden definir funciones desde este espacio vectorial hacia sí mismo, que se denominan supercampos. Las relaciones algebraicas anteriores implican que, si expandimos nuestro supercampo como una serie de potencias en Θ y Θ^*, entonces solo encontraremos términos en el orden cero y primero, porque Θ² = Θ^*2 = 0. Por lo tanto, los supercampos se pueden escribir como funciones arbitrarias de t multiplicado por los términos de orden cero y de primer orden en las dos coordenadas de Grassmann.

CCPR CCPR ()t,.. ,.. Alternativa Alternativa )=φ φ ()t)+.. Ψ Ψ ()t)− − .. Alternativa Alternativa CCPR CCPR Alternativa Alternativa ()t)+.. .. Alternativa Alternativa F()t){displaystyle Phi left(t,ThetaTheta ^{*}right)=phi (t)+ Theta Psi (t)- Theta ^{*}Phi ^{*}(t)+ Theta Theta ^{*}F(t)}

Los supercampos, que son representaciones de la supersimetría del superespacio, generalizan la noción de tensores, que son representaciones del grupo de rotación de un espacio bosónico.

Entonces se pueden definir derivadas en las direcciones de Grassmann, que toman el término de primer orden en la expansión de un supercampo al término de orden cero y aniquilan el término de orden cero. Se pueden elegir convenciones de signos tales que las derivadas satisfagan las relaciones de anticonmutación.

{}∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio ,.. }={}∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio Alternativa Alternativa ,.. Alternativa Alternativa }=1{displaystyle left{frac {partial }{partial theta },Theta right}=left{frac {partial }{partial # Theta ^{*},Theta ^{*}right}=1}

Estos derivados pueden ensamblarse en supercargadores

Q=∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio − − i.. Alternativa Alternativa ∂ ∂ ∂ ∂ tyQ† † =∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio Alternativa Alternativa +i.. ∂ ∂ ∂ ∂ t{displaystyle Q={frac {partial }{partial theta }-iTheta ^{*}{partial }quad {text{y}quad}quad Q^{dagger }={frac {partial }{partial theta. Theta {frac {partial }{partial }

cuyos anticonmutadores los identifican como los generadores fermiónicos de un álgebra de supersimetría

{}Q,Q† † }=2i∂ ∂ ∂ ∂ t{displaystyle left{Q,Q^{dagger },right}=2i{frac {partial }{partial }

donde i multiplicado por la derivada del tiempo es el operador hamiltoniano en mecánica cuántica. Tanto Q como su anticonmutación adjunto consigo mismos. La variación de supersimetría con el parámetro de supersimetría ε de un supercampo Φ se define como

δ δ ε ε CCPR CCPR =()ε ε Alternativa Alternativa Q+ε ε Q† † )CCPR CCPR .{displaystyle delta _{epsilon }Phi =(epsilon ^{*}Q+epsilon Q^{dagger })Phi.}

Podemos evaluar esta variación usando la acción de Q sobre los supercampos

[Q,CCPR CCPR ]=()∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio − − iSilencio Silencio Alternativa Alternativa ∂ ∂ ∂ ∂ t)CCPR CCPR =↑ ↑ +Silencio Silencio Alternativa Alternativa ()F− − iφ φ Í Í )+iSilencio Silencio Silencio Silencio Alternativa Alternativa ↑ ↑ Í Í .{displaystyle left[Q,Phi right]=left({frac {partial }{partial theta },-itheta ^{*}{frac {partial }{partial t}right)right) Phi =psi +theta ^{*}left(F-i{dot {phi }right)+itheta theta ^{*}{dot {psi }}

De manera similar, se pueden definir derivadas covariantes en el superespacio

D=∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio − − iSilencio Silencio Alternativa Alternativa ∂ ∂ ∂ ∂ tyD† † =∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio Alternativa Alternativa − − iSilencio Silencio ∂ ∂ ∂ ∂ t{displaystyle D={frac {partial }{partial theta }-itheta ^{*}frac {partial t}quad {text{and}quad D^{dagger }={frac {partial } {theta }}-itheta {c {partial {partial }{partial }

que anticonmuta con las supercargas y satisface un álgebra de supersimetría de signos incorrectos

{}D,D† † }=− − 2i∂ ∂ ∂ ∂ t{displaystyle left{d,D^{dagger }right}=-2i{frac {partial }{partial }.

El hecho de que las derivadas covariantes se anticonmuten con las supercargas significa que la transformación de supersimetría de una derivada covariante de un supercampo es igual a la derivada covariante de la misma transformación de supersimetría del mismo supercampo. Así, generalizando la derivada covariante en geometría bosónica que construye tensores a partir de tensores, la derivada covariante superespacial construye supercampos a partir de supercampos.

Extensiones supersimétricas del espacio de Minkowski

N = 1 súper espacio de Minkowski

Tal vez el superespacio concreto más estudiado de la física es d=4,N=1{displaystyle d=4,{mathcal {N}=1} super Minkowski espacio R4Silencio4{displaystyle mathbb {R} {4 vidas4} o a veces escrito R1,3Silencio4{displaystyle mathbb [R] ^{1,3 vidas4}, que es la suma directa de cuatro reales dimensiones bosónicas y cuatro reales Dimensiones Grassmann (también conocido como dimensiones fermiónicas o dimensiones).

En las teorías de campos cuánticos supersimétricos uno está interesado en los superespacios que proporcionan representaciones de una superálgebra de Lie llamada álgebra de supersimetría. La parte bosónica del álgebra de supersimetría es el álgebra de Poincaré, mientras que la parte fermiónica se construye utilizando espinores con componentes valorados en números de Grassmann.

Por esta razón, en las aplicaciones físicas se considera una acción del álgebra de la supersimetría en las cuatro direcciones fermiónicas de R4Silencio4{displaystyle mathbb {R} {4 vidas4} tal que se transforman como una espina dorsal bajo el subalgebra Poincaré. En cuatro dimensiones hay tres diferentes espinas irreducibles de 4 componentes. Hay la espina dorsal Majorana, la espina dorsal Weyl de mano izquierda y la espina dorsal Weyl de mano derecha. El teorema del CPT implica que en una teoría unitaria, invariante de Poincaré, que es una teoría en la que el S-matrix es una matriz unitaria y los mismos generadores de Poincaré actúan en los estados asintoticos como en los estados fuera- asintoticos, el álgebra supersimetría debe contener un número igual de spinors de izquierda y derecha. Sin embargo, dado que cada spinor Weyl tiene cuatro componentes, esto significa que si uno incluye cualquier spinors Weyl debe tener 8 direcciones fermiónicas. Se dice que tal teoría ha extendido la supersimetría, y tales modelos han recibido mucha atención. Por ejemplo, las teorías de medidores supersimétricos con ocho sobrecargas y materia fundamental han sido resueltas por Nathan Seiberg y Edward Witten, ver la teoría de medidores Seiberg-Witten. Sin embargo, en esta subsección estamos considerando el superespacio con cuatro componentes fermiónicos y por lo tanto no hay espinas Weyl son consistentes con el teorema CPT.

Nota: Se utilizan muchas convenciones de signos y esta es solo una de ellas.

Por lo tanto las cuatro direcciones fermiónicas se transforman como una espina dorsal Majorana Silencio Silencio α α {displaystyle theta _{alpha }. También podemos formar una espina dorsal conjugada

Silencio Silencio ̄ ̄ =defiSilencio Silencio † † γ γ 0=− − Silencio Silencio ⊥ ⊥ C{displaystyle {bar {theta} {fnK} {fnK}}}.

Donde C{displaystyle C} es la matriz de conjugación de carga, que se define por la propiedad que cuando conjuga una matriz gamma, la matriz gamma es negada y transpuesta. La primera igualdad es la definición de Silencio Silencio ̄ ̄ {displaystyle {bar {theta } mientras que el segundo es una consecuencia de la enfermedad de la espina dorsal Majorana Silencio Silencio Alternativa Alternativa =iγ γ 0CSilencio Silencio {displaystyle theta ^{*}=igamma ¿Qué?. La espina dorsal conjugada juega un papel similar al de Silencio Silencio Alternativa Alternativa {displaystyle theta ^{*} en el superespacio R1Silencio2{displaystyle mathbb {R} ^{1 vidas2}, excepto que la condición de Majorana, como se manifiesta en la ecuación anterior, impone que Silencio Silencio {displaystyle theta } y Silencio Silencio Alternativa Alternativa {displaystyle theta ^{*} no son independientes.

En particular, podemos construir los supercargadores.

Q=− − ∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio ̄ ̄ +γ γ μ μ Silencio Silencio ∂ ∂ μ μ {displaystyle Q=-{frac {partial }{partial {bar {theta }}+gamma ^{mu }theta partial _{mu }

que satisfacen el álgebra de supersimetría

{}Q,Q}={}Q̄ ̄ ,Q}C=2γ γ μ μ ∂ ∂ μ μ C=− − 2iγ γ μ μ Pμ μ C{displaystyle left{Q,Qright}=left{overline {Q},Qright}C=2gamma ^{mu }partial _{mu C=-2igamma }P_{mu }C}

Donde P=i∂ ∂ μ μ {displaystyle P=ipartial _{mu } es el operador de 4-momentum. De nuevo el derivado covariante se define como la sobrecarga, pero con el segundo término negado y anticommuta con las sobrecargas. Así, el derivado covariante de un supermultiplet es otro supermultiplet.

Supersimetría extendida

Es posible tener N{displaystyle {fn} juegos de supercargas QI{displaystyle Q^{I} con I=1,⋯ ⋯ ,N{displaystyle I=1,cdots{mathcal {N}}, aunque esto no es posible para todos los valores N{displaystyle {fn}.

Estas sobrecargas generan traducciones en un total de 4N{displaystyle 4{fn} dimensiones de giro, por lo tanto formando el superespacio R4Silencio4N{displaystyle mathbb [R] ^{4 habit4{mathcal {N}}.

En la relatividad general

La palabra "superespacio" también se usa en un sentido completamente diferente y no relacionado, en el libro Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler. Allí, se refiere al espacio de configuración de la relatividad general y, en particular, a la visión de la gravitación como geometrodinámica, una interpretación de la relatividad general como una forma de geometría dinámica. En términos modernos, esta idea particular de "superespacio" se captura en uno de los varios formalismos diferentes utilizados para resolver las ecuaciones de Einstein en una variedad de entornos, tanto teóricos como prácticos, como en simulaciones numéricas. Esto incluye principalmente el formalismo ADM, así como las ideas que rodean la ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein y la ecuación de Wheeler-DeWitt.