Superelipsoide

En matemáticas, a superellipsoid (o super-ellipsoid) es un sólido cuyas secciones horizontales son superellipses ( curvas de Lamé) con el mismo parámetro de cuadrado ${\displaystyle \epsilon _{2}$, y cuyas secciones verticales a través del centro son superellipses con el parámetro cuadrado ${\displaystyle \epsilon _{1}$. Es una generalización de un elipsoide, que es un caso especial cuando ${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon ¿Qué?$.

Los superelipsoides, como primitivas de gráficos por computadora, fueron popularizados por Alan H. Barr (quien usó el nombre "supercuádricas" para referirse tanto a los superelipsoides como a los supertoroides). En la literatura moderna sobre visión artificial y robótica, los superelipsoides se usan indistintamente, ya que los superelipsoides son la forma más representativa y ampliamente utilizada entre todas las supercuádricas.Los superelipsoides poseen un amplio vocabulario de formas, que incluye cuboides, cilindros, elipsoides, octaedros y sus formas intermedias. Se han convertido en una primitiva geométrica importante, ampliamente utilizada en visión artificial, robótica y simulación física. La principal ventaja de describir objetos y entornos con superelipsoides reside en su concisión y expresividad. Además, se dispone de una expresión en forma cerrada de la suma de Minkowski entre dos superelipsoides. Esto los convierte en una primitiva geométrica muy útil para el agarre de robots, la detección de colisiones y la planificación del movimiento.Un puñado de figuras matemáticas notables pueden surgir como casos especiales de superelipsoides dado el conjunto correcto de valores, que se representan en el gráfico anterior:

• Cilindro
• Sphere
• Steinmetz solid
• Bicono
• Octaedro ordinario
• Cubo, como un caso limitado donde los exponentes tienden a infinito

Los superhuevos de Piet Hein también son casos especiales de superelipsoides.El superelipsoide básico se define mediante la función implícita

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon - ¿Qué? ¿Qué? - Sí.$

Los parámetros ${\displaystyle \epsilon _{1}$ y ${\displaystyle \epsilon _{2}$ son números reales positivos que controlan la cuadradosidad de la forma.

La superficie del superelipsoide se define mediante la ecuación:

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

Para cualquier punto dado ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, el punto está dentro del superellipsoid si ${\displaystyle f(x,y,z)$, y fuera si ${\displaystyle f(x,y,z)}$.

Cualquier "paralela de latitud" del superellipsoide (una sección horizontal en cualquier constante z entre -1 y +1) es una curva Lamé con exponente ${\displaystyle 2/\epsilon _{2}$, escalada por ${\displaystyle a=(1-z^{2}{\epsilon _{1}})^{\frac {\epsilon} ¿Qué?$, que es

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}\derecha)}{\frac {2}{\epsilon _{2}}+\left({\frac {y}{a}}}}\derecha)}{\frac {2}{\epsilon}{\epsilon - Sí.$

Cualquier "meridio de longitud" (una sección por cualquier plano vertical a través del origen) es una curva de Lamé con exponente ${\displaystyle 2/\epsilon _{1}$, estirado horizontalmente por un factor w depende del avión de sección. Es decir, si ${\displaystyle x=u\cos \theta }$ y ${\displaystyle y=u\sin \theta }$, para un dado ${\displaystyle \theta }$, entonces la sección es

${\displaystyle \left({\frac {\fnMicroc {2}}+z^{\frac {2}{\epsilon - Sí.$

dónde

${\displaystyle w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}}}}\theta)^{\frac {\epsilon - Sí.$

En particular, si ${\displaystyle \epsilon _{2}$ es 1, las secciones horizontales son círculos, y el estiramiento horizontal ${\displaystyle w}$ de las secciones verticales es 1 para todos los planos. En ese caso, el superellipsoide es un sólido de revolución, obtenido girando la curva Lamé con exponente ${\displaystyle 2/\epsilon _{1}$ alrededor del eje vertical.

La forma básica anterior se extiende de −1 a +1 a lo largo de cada eje de coordenadas. La superellipsoide general se obtiene escalando la forma básica a lo largo de cada eje por factores ${\displaystyle a_{x}$, ${\displaystyle A_{y}$, ${\displaystyle a_{z}$, los semi-diametros del sólido resultante. La función implícita es

${\displaystyle F(x,y,z)=\left({\frac {x}{a_{x}}\derecha)}{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac} {y}{a_{y}}\right)}{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)}{\frac {\epsilon _{2}{\epsilon}{\epsilon}{\epsilon}}{\epsilon}}{}{\e}}}{}{}{\e}{}{}{}}{}{}}}{}}}}}}}{}}}{}}{}{}}}}}}}}{}{}}}}}{}{}}}}{}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\y}}}}}}}}}}}}}}}}{\}}}}}{\}{\}}}}}}}{\y}}}}}}}}}}}}}{}{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\ - ¿Qué? Está bien.$.

De manera similar, la superficie del superelipsoide se define mediante la ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=1}$

Para cualquier punto dado ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, el punto está dentro del superellipsoid si ${\displaystyle f(x,y,z)$, y fuera si ${\displaystyle f(x,y,z)}$.

Por lo tanto, la función implícita también se denomina función interior-exterior del superelipsoide.

El superellipsoide tiene una representación paramétrica en términos de parámetros de superficie ${\displaystyle \eta \in [-\pi /2,\pi /2)}$, ${\displaystyle \omega \in [-\pi\pi]}$.

${\displaystyle x(\eta\omega)=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}\eta \cos ^{\epsilon ¿Qué?$

${\displaystyle y(\eta\omega)=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}\eta\sin ^{\epsilon ¿Qué?$

${\displaystyle z(\eta\omega)=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}\eta }$

En visión artificial y aplicaciones robóticas, un superelipsoide con una pose general en el espacio euclidiano 3D suele ser de mayor interés.

Para una transformación euclidiana dada del marco superellipsoide ${\displaystyle g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$ relativa al marco mundial, la función implícita de una superficie superellipsoide general definida el marco mundial es

${\displaystyle F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1}$

Donde ${\displaystyle \circ }$ es la operación de transformación que mapea el punto ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ en el marco mundial en el marco canónico superellipsoide.

El volumen abarcado por la superficie superelllipsoide se puede expresar en términos de funciones beta ${\displaystyle \beta (\cdot\cdot)}$,

${\displaystyle V(\epsilon _{1},\epsilon ¿Por qué? ¿Qué? ({\frac {\epsilon _{1}}{2}}\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon} {\fnK} {\fnMicroc {\epsilon} ¿Qué?$

o equivalente a la función Gamma ${\displaystyle \Gamma (\cdot)}$, desde

${\displaystyle \beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$

Recuperar la representación superelipsoide (o supercuadrática) a partir de datos sin procesar (por ejemplo, nubes de puntos, mallas, imágenes y vóxeles) es una tarea importante en visión artificial, robótica y simulación física.

Los métodos computacionales tradicionales modelan el problema como un problema menos cuadrado. El objetivo es encontrar el conjunto óptimo de parámetros superellipsoid ${\displaystyle \theta \doteq [\epsilon _{1},\epsilon ¿Qué?$ que minimiza una función objetiva. Aparte de los parámetros de forma, ${\displaystyle g\in]$ SE(3) es la pose del marco superellipsoide con respecto a la coordinación mundial.

Existen dos funciones objetivo de uso común. La primera se construye directamente a partir de la función implícita.

${\displaystyle G_{1}(\theta)=a_{x}a_{y}a_{z}\sum ¿Por qué? ¿Por qué?$

La minimización de la función objetiva proporciona un superellipsoide recuperado lo más cerca posible de todos los puntos de entrada ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i},z_{i})\in \mathbb [R] ^{3},i=1,2,...,N\}$. En el momento medio, el valor del escalar ${\displaystyle A_{x},a_{y},a_{z}$ es positivamente proporcional al volumen de la superellipsoid, y por lo tanto tienen el efecto de minimizar el volumen también.

La otra función objetivo intenta minimizar la distancia radial entre los puntos y el superelipsoide. Es decir,

${\displaystyle G_{2}(\theta)=\sum ¿Por qué? ¿Por qué?$, donde ${\displaystyle .$

Un método probabilístico llamado EMS está diseñado para gestionar el ruido y los valores atípicos. En este método, la recuperación del superelipsoide se reformula como un problema de estimación de máxima verosimilitud, y se propone un método de optimización para evitar mínimos locales utilizando las similitudes geométricas de los superelipsoides.El método se amplía aún más mediante el modelado con técnicas bayesianas no paramétricas para recuperar múltiples superelipsoides simultáneamente.

• Barr, "Superquadrics and Angle-Preserving Transformations", en Gráficos y Aplicaciones de Computación IEEE, vol. 1, no. 1, págs. 11 a 23, ene. 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
• Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentación y recuperación de Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
• Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Momentos de Superellipsoids y su aplicación para ampliar el registro de imágenes. TRANSACCIONES DE IEEE SOBRE SISTEMAS, HOMBRE Y CIBERNETICAS, 33 (4). pp. 648-657
• W. Liu, Y. Wu, S. Ruan and G. S. Chirikjian, "Robust and Accurate Superquadric Recovery: a Probabilistic Approach", 2022 IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), New Orleans, LA, USA, 2022, págs. 2666 a 2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

• Bibliografía: Representaciones SuperQuadric
• Glifes de Tensor Superquadric
• SuperQuadric Ellipsoids y Toroids, OpenGL Lighting y Timing
• Superquadratics de Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.
• Superquadrics Recuperación Algoritmo en Python y MATLAB