Suma directa de grupos

En matemáticas, un grupo G se llama la suma directa de dos subgrupos normales con intersección trivial si es generado por los subgrupos. En álgebra abstracta, este método de construcción de grupos puede generalizarse a sumas directas de espacios vectoriales, módulos y otras estructuras; consulte el artículo suma directa de módulos para obtener más información. Un grupo que se puede expresar como una suma directa de subgrupos no triviales se denomina descomponible, y si un grupo no se puede expresar como una suma directa de este tipo, se denomina indescomponible..

Definición

Un grupo G se llama la suma directa de dos subgrupos H₁ y H₂ si

• cada uno H₁ y H₂ son subgrupos normales de G,
• los subgrupos H₁ y H₂ tener intersección trivial (es decir, tener sólo el elemento de identidad ${displaystyle e}$ de G en común),
• G =H₁, H₂En otras palabras, G se genera por los subgrupos H₁ y H₂.

Más generalmente, G se llama la suma directa de un conjunto finito de subgrupos {H_i} si

• cada uno H_i es un subgrupo normal de G,
• cada uno H_i tiene intersección trivial con el subgrupo . {}H_j: j ل i},
• G ♪♪H_iEn otras palabras, G es generado por los subgrupos {H_i}.

Si G es la suma directa de los subgrupos H y K entonces escribimos G = H + K, y si G es la suma directa de un conjunto de subgrupos { H_i} entonces solemos escribir G = ΣH_i . En términos generales, una suma directa es isomorfa a un producto directo débil de subgrupos.

Propiedades

Si G = H + K, entonces se puede demostrar que:

• para todos h dentro H, k dentro K, tenemos eso h Alternativa k = k Alternativa h
• para todos g dentro G, existe único h dentro H, k dentro K tales que g = h Alternativa k
• Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que ()H + K)/K es isomorfo a H

Las afirmaciones anteriores se pueden generalizar al caso de G = ΣH_i , donde {H_i} es un conjunto finito de subgrupos:

• si i ل j, entonces para todos h_i dentro H_i, h_j dentro H_j, tenemos eso h_i Alternativa h_j = h_j Alternativa h_i
• para cada uno g dentro G, existe un conjunto único de elementos h_i dentro H_i tales que

g = h₁ Alternativa h₂ Alternativa... h_i Alternativa... h_n

• Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que (Voz)H_i) + K)/K es isomorfo a laH_i.

Nótese la similitud con el producto directo, donde cada g se puede expresar de forma única como

g =h₁,h₂,... h_i,... h_n).

Desde h_i ∗ h _j = h_j ∗ h_i para todos los i ≠ j, se deduce que la multiplicación de elementos en una suma directa es isomorfa a la multiplicación de los elementos correspondientes en el producto directo; así, para conjuntos finitos de subgrupos, ΣH_i es isomorfo al producto directo ×{H _i}.

Sumando directo

Dado un grupo ${displaystyle G.$, decimos que un subgrupo ${displaystyle H.$ es un Summand directo de ${displaystyle G.$ si existe otro subgrupo ${displaystyle K}$ de ${displaystyle G.$ tales que ${displaystyle G=H+K$.

En grupos abelianos, si ${displaystyle H.$ es un subgrupo divisible ${displaystyle G.$, entonces ${displaystyle H.$ es un sustituto directo ${displaystyle G.$.

Ejemplos

• Si tomamos ${textstyle G=prod _{iin Yo...$ Está claro que ${displaystyle G.$ es el producto directo de los subgrupos ${textstyle H_{i_{0}times prod _{inot - Sí.$.

• Si ${displaystyle H.$ es un subgrupo divisible de un grupo abeliano ${displaystyle G.$ entonces existe otro subgrupo ${displaystyle K}$ de ${displaystyle G.$ tales que ${displaystyle G=K+H$.
• Si ${displaystyle G.$ también tiene una estructura espacial vectorial entonces ${displaystyle G.$ puede ser escrito como una suma directa ${displaystyle mathbb {R}$ y otro subespacial ${displaystyle K}$ que será isomorfo al cociente ${displaystyle G/K}$.

Equivalencia de descomposiciones en sumas directas

En la descomposición de un grupo finito en una suma directa de subgrupos indecompuestos la incrustación de los subgrupos no es única. Por ejemplo, en el grupo Klein ${displaystyle V_{4}cong C_{2}times C_{2}$ tenemos

${displaystyle V_{4}=langle (0,1)rangle +langle (1,0)rangle}$ y

${displaystyle V_{4}=langle (1,1)rangle +langle (1,0)rangle.}$

Sin embargo, el teorema de Remak-Krull-Schmidt establece que dado un grupo finito G = ΣA_i = ΣB_j, donde cada A _i y cada B_j es no trivial e indescomponible, las dos sumas tienen términos iguales hasta el reordenamiento e isomorfismo.

El teorema de Remak-Krull-Schmidt falla para grupos infinitos; entonces en el caso de infinito G = H + K = L + M, incluso cuando todos los subgrupos son no triviales e indescomponibles, no podemos concluir que H es isomorfo a L o M.

Generalización a sumas sobre conjuntos infinitos

Para describir las propiedades anteriores en el caso donde G es la suma directa de un conjunto infinito (quizás incontable) de subgrupos, se necesita más cuidado.

Si g es un elemento del producto cartesianoH_i} de un conjunto de grupos, dejar g_i ser el it elemento de g en el producto. El suma externa directa de un conjunto de grupos {H_i._E{}H_i}) es el subconjunto de LOG{H_i}, donde, para cada elemento g de la ONUDI_E{}H_i} g_i es la identidad ${displaystyle E_{H_{i}}$ para todos, pero un número finito de g_i (equivalentemente, sólo un número finito de g_i no son la identidad). La operación de grupo en la suma externa directa es la multiplicación de punta, como en el producto directo habitual.

Este subconjunto de hecho forma un grupo, y para un conjunto finito de grupos {H_i} la suma directa externa es igual a el producto directo.

Si G = ΣH_i, entonces G es isomorfo a Σ_E{H_i}. Así, en cierto sentido, la suma directa es un "interno" suma directa externa. Para cada elemento g en G, existe un único conjunto finito S y un único conjunto {h_i ∈ H_i: i ∈ S} tal que g = Π {h_i: i en S}.