Suma de Riemann

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Técnica de aproximación en cálculo integral

Cuatro de los métodos para aproximar el área bajo curvas. Bien. y izquierda los métodos hacen la aproximación utilizando los puntos finales derecho e izquierdo de cada subintervalo, respectivamente. Alto y inferior los métodos hacen la aproximación usando los valores de extremo más grandes y más pequeños de cada subinterval, respectivamente. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos se arrastren desde arriba-izquierda hasta abajo-derecha.

En matemáticas, una suma de Riemann es un cierto tipo de aproximación de una integral por una suma finita. Lleva el nombre del matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann. Una aplicación muy común es aproximar el área de funciones o líneas en un gráfico, pero también la longitud de curvas y otras aproximaciones.

La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapecios, parábolas o cúbicas) que juntas forman una región similar a la región que se mide, luego se calcula el área de cada una de estas formas y finalmente se suma todas estas pequeñas áreas juntas. Este enfoque se puede usar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida, incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita encontrar una solución de forma cerrada.

Debido a que la región de las formas pequeñas no suele tener exactamente la misma forma que la región que se mide, la suma de Riemann diferirá del área que se mide. Este error se puede reducir dividiendo la región más finamente, usando formas cada vez más pequeñas. A medida que las formas se hacen más y más pequeñas, la suma se acerca a la integral de Riemann.

Definición

Vamos ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$ ser una función definida en un intervalo cerrado $[a,b]$ de los números reales, $mathbb {R}$ , y ${displaystyle P=(x_{0},x_{1},ldotsx_{n})}$ a partición de $[a,b]$ , eso es

<math alttext="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots a=x0.x1.x2.⋯ ⋯ .xn=b.{displaystyle a=x_{0} seleccionx_{1} - No.<img alt="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots

Riemann sum

S

f

[a,b]

P

{displaystyle S=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}),Delta x_{i},}

{displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}

{displaystyle x_{i}^{*}in [x_{i-1},x_{i}]}

x_{i}^{*}

Delta x_{i}

Tipos de sumas de Riemann

Opciones específicas $x_{i}^{*}$ dar diferentes tipos de Riemann sumas:

Si $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ para todos i, el método es el izquierda y da una izquierda Riemann suma.
Si ${displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$ para todos i, el método es el regla de derecho y da una derecha Riemann suma.
Si ${displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$ para todos i, el método es el Regla de punto medio y da una mitad Riemann suma.
Si ${displaystyle f(x_{i}^{*})=sup f([x_{i-1},x_{i}])}$ (es decir, el supremum de ${textstyle f}$ sobre ${displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ), el método es el regla superior y da una suma superior Riemann o superior Darboux sum.
Si ${displaystyle f(x_{i}^{*})=inf f([x_{i-1},x_{i}])}$ (es decir, el infimum de f sobre ${displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ), el método es el Regla inferior y da una menor Riemann suma o inferior Darboux sum.

Todos estos métodos de suma de Riemann se encuentran entre las formas más básicas de lograr la integración numérica. En términos generales, una función es Riemann integrable si todas las sumas de Riemann convergen a medida que la partición "se vuelve más y más fina".

Si bien no se deriva como una suma de Riemann, tomar el promedio de las sumas de Riemann izquierda y derecha es la regla trapezoidal y da una suma trapezoidal. Es uno de los más simples de una forma muy general de aproximar integrales usando promedios ponderados. Le sigue en complejidad la regla de Simpson y las fórmulas de Newton-Cotes.

Cualquier suma Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección de $x_{i}^{*}$ entre ${displaystyle x_{i-1}}$ y $x_{i}$ ) se contiene entre las sumas de Darboux inferior y superior. Esto constituye la base de la integral Darboux, que en última instancia es equivalente a la integral Riemann.

Métodos de suma de Riemann

Los cuatro métodos de summación Riemann se suelen acercar mejor con subintervalos de igual tamaño. El intervalo $[a, b]$ por lo tanto, $n$ subintervalos, cada uno de longitud

{displaystyle Delta x={frac {b-a}{n}}.}

Los puntos en la partición serán entonces

{displaystyle a,;a+Delta x,;a+2Delta x,;ldots;a+(n-2)Delta x,;a+(n-1)Delta x,;b.}

Regla izquierda

Riemann izquierda suma de

x \mapsto x 3

[0, 2] utilizando 4 subintervalos

Para la regla de la izquierda, la función se aproxima por sus valores en los extremos izquierdos de los subintervalos. Esto da múltiples rectángulos con base $Δ x$ y altura $f (a + i Δ x)$ . Haciendo esto para $i = 0, 1,..., n - 1$ , y sumando las áreas resultantes da

{displaystyle S_{mathrm {left} }=Delta xleft[f(a)+f(a+Delta x)+f(a+2Delta x)+dots +f(b-Delta x)right].}

La suma de Riemann por la izquierda equivale a una sobreestimación si f disminuye monótonamente en este intervalo, y a una subestimación si aumenta monótonamente. El error de esta fórmula será

{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-S_{mathrm {left} }rightvert leq {frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}

M_{1}

f^{prime}(x)

Regla correcta

Riemann derecha suma de

x \mapsto x 3

[0, 2] utilizando 4 subintervalos

Para la regla de la derecha, la función se aproxima por sus valores en los extremos derechos de los subintervalos. Esto da múltiples rectángulos con base $Δ x$ y altura $f (a + i Δ x)$ . Hacer esto para $i = 1,..., n$ , y sumar las áreas resultantes da

{displaystyle S_{mathrm {right} }=Delta xleft[f(a+Delta x)+f(a+2Delta x)+dots +f(b)right].}

La suma correcta de Riemann equivale a una subestimación si f es monótonamente decreciente, y a una sobreestimación si es monótonamente creciente. El error de esta fórmula será

{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-S_{mathrm {right} }rightvert leq {frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}

M_{1}

f^{prime}(x)

Regla del punto medio

Middle Riemann suma de

x \mapsto x 3

[0, 2] utilizando 4 subintervalos

Para la regla del punto medio, la función se aproxima por sus valores en los puntos medios de los subintervalos. Esto da $f (a + Δ x /2)$ para el primer subintervalo, $f (a + 3Δ x /2)$ para el siguiente, y así sucesivamente hasta $f (b - Δ x /2)$ . La suma de las áreas resultantes da

{displaystyle S_{mathrm {mid} }=Delta xleft[fleft(a+{tfrac {Delta x}{2}}right)+fleft(a+{tfrac {3Delta x}{2}}right)+dots +fleft(b-{tfrac {Delta x}{2}}right)right].}

El error de esta fórmula será

{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-S_{mathrm {mid} }rightvert leq {frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}

M_{2}

f^{prime prime }(x)

Regla trapezoidal

Trapezoidal sum of

x \mapsto x 3

sobre

[0, 2]

usando 4 subintervalos

Para la regla trapezoidal, la función es aproximada por el promedio de sus valores en los extremos izquierdo y derecho de los subintervalos. Usando la fórmula de área ${displaystyle {tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$ para un trapecio con lados paralelos $b 1$ y $b 2$ , y altura $h$ , y resumir las áreas resultantes da

{displaystyle S_{mathrm {trap} }={tfrac {1}{2}}Delta xleft[f(a)+2f(a+Delta x)+2f(a+2Delta x)+dots +f(b)right].}

El error de esta fórmula será

{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-S_{mathrm {trap} }rightvert leq {frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}

M_{2}

f''(x)

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es la misma que el promedio de las sumas de la mano izquierda y la mano derecha de esa función.

Conexión con integración

Para una suma única Riemann sobre dominio $[a,b]$ , como el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de los subintervalos va a cero), algunas funciones tendrán todas las sumas Riemann convergen al mismo valor. Este valor límite, si existe, se define como la integral definida Riemann de la función sobre el dominio,

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=lim _{|Delta x|rightarrow 0}sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}),Delta x_{i}.}

Para un dominio de tamaño finito, si el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero, esto implica que el número de subintervalos llega al infinito. Para particiones finitas, las sumas de Riemann son siempre aproximaciones al valor límite y esta aproximación mejora a medida que la partición se vuelve más fina. Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo aumentar el número de subintervalos (mientras se reduce el tamaño máximo del subintervalo) se aproxima mejor al "área" bajo la curva:

Izquierda Riemann suma
Derecha Riemann suma
Middle Riemann suma

Dado que aquí se supone que la función roja es una función suave, las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor a medida que el número de subintervalos tiende al infinito.

Ejemplo

Comparación de la derecha Riemann suma con la integral de

x \mapsto x 2

sobre

{textstyle [0,2]}

Representación visual del área bajo la curva

Sí. = x 2

[0, 2]. Usando antiderivativos esta área es exactamente

{textstyle {dfrac {8}{3}}}

Aproximando el área bajo la curva

Sí. = x 2

[0, 2] utilizando la suma correcta Riemann. Observe que debido a que la función está aumentando monotonicamente, la suma correcta Riemann siempre sobreestimará el área aportada por cada término en la suma (y lo hará al máximo).

El valor de la suma correcta de Riemann

x \mapsto x 2

sobre

{textstyle [0,2]}

. A medida que aumenta el número de rectángulos, se acerca al área exacta de

{textstyle {dfrac {8}{3}}}

Tomando un ejemplo, el área bajo la curva $y = x 2$ sobre [0, 2] se puede calcular procedimentalmente utilizando el método de Riemann.

El intervalo [0, 2] se divide primero en $n$ subintervalos, cada uno de los cuales recibe un ancho de ${tfrac {2}{n}}$ ; estos son los anchos de los rectángulos Riemann (en lo sucesivo "boxes"). Debido a que la suma Riemann correcta es para ser utilizada, la secuencia de $x$ coordenadas para las cajas será $x_{1},x_{2},ldotsx_{n}$ . Por lo tanto, la secuencia de las alturas de las cajas será $x_{1}^{2},x_{2}^{2},ldotsx_{n}^{2}$ . Es un hecho importante que $x_{i}={tfrac {2i}{n}}$ , y $x_{n}=2$ .

El área de cada caja será ${tfrac {2}{n}}times x_{i}^{2}$ y, por consiguiente, na la derecha Riemann suma será:

{displaystyle {begin{aligned}S&={frac {2}{n}}left({frac {2}{n}}right)^{2}+dots +{frac {2}{n}}left({frac {2i}{n}}right)^{2}+dots +{frac {2}{n}}left({frac {2n}{n}}right)^{2}\[1ex]&={frac {8}{n^{3}}}left(1+dots +i^{2}+dots +n^{2}right)\[1ex]&={frac {8}{n^{3}}}left({frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}right)\[1ex]&={frac {8}{n^{3}}}left({frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}right)\[1ex]&={frac {8}{3}}+{frac {4}{n}}+{frac {4}{3n^{2}}}.end{aligned}}}

Si el límite se ve como n → ∞, se puede concluir que la aproximación se acerca al valor real del área bajo la curva a medida que aumenta el número de cajas. Por eso:

{displaystyle lim _{nto infty }S=lim _{nto infty }left({frac {8}{3}}+{frac {4}{n}}+{frac {4}{3n^{2}}}right)={frac {8}{3}}.}

Este método concuerda con la integral definida calculada de formas más mecánicas:

{displaystyle int _{0}^{2}x^{2},dx={frac {8}{3}}.}

Debido a que la función es continua y aumenta monótonamente durante el intervalo, una suma de Riemann por la derecha sobrestima la integral en la cantidad más grande (mientras que una suma de Riemann por la izquierda subestimaría la integral en la cantidad más grande). Este hecho, que es intuitivamente claro a partir de los diagramas, muestra cómo la naturaleza de la función determina qué tan precisa se estima la integral. Si bien las sumas de Riemann simples, por la derecha y por la izquierda suelen ser menos precisas que las técnicas más avanzadas para estimar una integral, como la regla trapezoidal o la regla de Simpson.

La función de ejemplo tiene una antiderivada fácil de encontrar, por lo que estimar la integral mediante sumas de Riemann es principalmente un ejercicio académico; sin embargo, debe recordarse que no todas las funciones tienen antiderivadas, por lo que estimar sus integrales por suma es prácticamente importante.

Dimensiones superiores

La idea básica detrás de una suma de Riemann es "dividir" el dominio a través de una partición en pedazos, multiplique el "tamaño" de cada pieza por algún valor que toma la función de esa pieza, y sumar todos estos productos. Esto se puede generalizar para permitir sumas de Riemann para funciones sobre dominios de más de una dimensión.

Si bien intuitivamente, el proceso de partición del dominio es fácil de comprender, los detalles técnicos de cómo se puede dividir el dominio se vuelven mucho más complicados que el caso unidimensional e involucran aspectos de la forma geométrica del dominio.

Dos dimensiones

En dos dimensiones, el dominio $A$ puede dividirse en una serie de células bidimensionales $A_{i}$ tales que ${textstyle A=bigcup _{i}A_{i}}$ . Cada célula entonces puede ser interpretado como tener un "área" denotado por ${displaystyle Delta A_{i}}$ . La suma de Riemann bidimensional es

{displaystyle S=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*}),Delta A_{i},}

{displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})in A_{i}}

Tres dimensiones

En tres dimensiones, el dominio $V$ se divide en un número de células tridimensionales $V_{i}$ tales que ${textstyle V=bigcup _{i}V_{i}}$ . Cada célula entonces puede ser interpretado como tener un "volumen" denotado por ${displaystyle Delta V_{i}}$ . La suma de Riemann tridimensional es