Subobjeto

En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas, un subobjeto es, en términos generales, un objeto que se encuentra dentro de otro objeto de la misma categoría. La noción es una generalización de conceptos como subconjuntos de la teoría de conjuntos, subgrupos de la teoría de grupos y subespacios de la topología. Dado que la estructura detallada de los objetos es irrelevante en la teoría de categorías, la definición de subobjeto se basa en un morfismo que describe cómo un objeto se ubica dentro de otro, en lugar de depender del uso de elementos.

El concepto dual de un subobjeto es un objeto cociente . Esto generaliza conceptos como conjuntos de cocientes, grupos de cocientes, espacios de cocientes, gráficos de cocientes, etc.

Definiciones

Una definición categórica apropiada de "subobjeto" puede variar según el contexto, dependiendo del objetivo. Una definición común es la siguiente.

En detalle, dejemos ${displaystyle A}$ ser un objeto de alguna categoría. Dados dos monomorfismos

${displaystyle u:Sto Atext{and} v:Tto A}$

con codomain ${displaystyle A}$, definimos una relación de equivalencia ${displaystyle uequiv v}$ si existe un isomorfismo ${displaystyle phi:Sto T}$ con ${displaystyle u=vcirc phi }$.

Equivalentemente, escribimos ${displaystyle uleq v}$ si ${displaystyle u}$ factores ${displaystyle v}$—es decir, si existe ${displaystyle phi:Sto T}$ tales que ${displaystyle u=vcirc phi }$. La relación binaria ${displaystyle equiv }$ definidas por

${displaystyle uequiv viff uleq v {text{and} vleq u$

es una relación de equivalencia en los monomorfismos con codomain ${displaystyle A}$, y las clases de equivalencia correspondientes de estos monomorfismos son las subobjetos de ${displaystyle A}$.

La relación ≤ induce un orden parcial en la colección de subobjetos ${displaystyle A}$.

La colección de subobjetos de un objeto puede, de hecho, ser una clase propia; esto significa que la discusión dada es algo vaga. Si la colección de subobjetos de cada objeto es un conjunto, la categoría se llama bien potenciada o, rara vez, localmente pequeña (esto choca con un uso diferente del término localmente pequeño, es decir, que existe un conjunto de morfismos entre dos objetos cualesquiera).

Para obtener el concepto dual de objeto cociente, reemplace "monomorfismo" por "epimorfismo" flechas arriba y atrás. Un objeto cociente de A es entonces una clase de equivalencia de epimorfismos con dominio A.

Sin embargo, en algunos contextos estas definiciones son inadecuadas, ya que no coinciden con nociones bien establecidas de objeto subobjeto o cociente. En la categoría de espacios topológicos, los monomorfismos son precisamente las funciones continuas inyectables; pero no todas las funciones continuas inyectables son incrustaciones subespaciales. En la categoría de anillos, la inclusión ${displaystyle mathbb {Z} hookrightarrow mathbb {Q}$ es un epimorfismo pero no es el cociente ${displaystyle mathbb {Z}$ por un ideal de dos caras. Para obtener mapas que realmente se comportan como incrustaciones subobjetos o cocientes, en lugar de como funciones o mapas inyectores arbitrarios con imagen densa, se debe restringir a monomorfismos y epimorfismos que satisfagan hipótesis adicionales. Por lo tanto, uno podría definir un "subobjeto" para ser una clase de equivalencia de los llamados "monomorfismos regulares" (monomorfismos que pueden expresarse como un igualador de dos morfismos) y un "objeto cociente" para ser cualquier clase de equivalencia de " epimorfismos regulares" (morfismos que se pueden expresar como un coequalizador de dos morfismos)

Interpretación

Esta definición corresponde a la comprensión ordinaria de un subobjeto de la teoría de la categoría exterior. Cuando los objetos de la categoría son conjuntos (posiblemente con estructura adicional, como una estructura de grupo) y los morfismos son funciones establecidas (preservando la estructura adicional), uno piensa en un monomorfismo en términos de su imagen. Una clase de equivalencia de monomorfismos se determina por la imagen de cada monomorfismo en la clase; es decir, dos monomorfismos f y g en un objeto T son equivalentes si y sólo si sus imágenes son el mismo subconjunto (por ejemplo, subobjeto) de T. En ese caso hay el isomorfismo ${displaystyle g^{-1}circ f}$ de sus dominios bajo los cuales los elementos correspondientes de los dominios mapa por f y g, respectivamente, al mismo elemento T; esto explica la definición de equivalencia.

Ejemplos

En Conjunto, la categoría de conjuntos, un subobjeto de A corresponde a un subconjunto B de A, o más bien la colección de todos los mapas de conjuntos equipotentes a B con imagen exactamente B. El orden parcial del subobjeto de un conjunto en Set es solo su red de subconjunto.

En Grp, la categoría de grupos, los subobjetos de A corresponden a los subgrupos de A.

Dada una clase parcialmente ordenada P = (P, ≤), podemos formar una categoría con los elementos de P como objetos, y una sola flecha de p a q si p ≤ q. Si P tiene un elemento mayor, el orden parcial del subobjeto de este elemento mayor será el propio P. Esto se debe en parte a que todas las flechas de dicha categoría serán monomorfismos.

Un subobjeto de un objeto terminal se llama objeto subterminal.