Subgrupos de grupos cíclicos

En álgebra abstracta, cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Además, para un grupo cíclico finito de orden n, el orden de cada subgrupo es un divisor de n, y hay exactamente un subgrupo para cada divisor. Este resultado se ha denominado el teorema fundamental de los grupos cíclicos.

Para cada grupo finito G de orden n, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es cíclico.
• Para cada divisor d de n, G tiene en la mayoría de un subgrupo de orden d.

Si una de las dos (y por lo tanto ambas) es verdadera, se deduce que existe exactamente un subgrupo de orden d, para cualquier divisor de n. Esta afirmación se conoce con varios nombres, como caracterización por subgrupos. (Véase también grupo cíclico para alguna caracterización.)

Existen grupos finitos distintos de los cíclicos con la propiedad de que todos los subgrupos propios son cíclicos; el grupo de Klein es un ejemplo. Sin embargo, el grupo de Klein tiene más de un subgrupo de orden 2, por lo que no cumple las condiciones de la caracterización.

El grupo cíclico infinito es isomorfo al subgrupo aditivo Z de los números enteros. Hay un subgrupo dZ para cada número entero d (que consiste en los múltiplos de d), y con la excepción del grupo trivial (generado por d = 0) cada uno de esos subgrupos es en sí mismo un grupo cíclico infinito. Debido a que el grupo cíclico infinito es un grupo libre en un generador (y el grupo trivial es un grupo libre en ningún generador), este resultado puede verse como un caso especial del teorema de Nielsen-Schreier según el cual cada subgrupo de un grupo libre es en sí mismo libre.

El teorema fundamental para los grupos cíclicos finitos se puede establecer a partir del mismo teorema para los grupos cíclicos infinitos, considerando cada grupo cíclico finito como un grupo cociente del grupo cíclico infinito.

Tanto en el caso finito como en el infinito, la red de subgrupos de un grupo cíclico es isomorfa al dual de una red de divisibilidad. En el caso finito, la red de subgrupos de un grupo cíclico de orden n es isomorfa al dual de la red de divisores de n, con un subgrupo de orden n/d para cada divisor d. El subgrupo de orden n/d es un subgrupo del subgrupo de orden n/e si y solo si e es un divisor de d. La red de subgrupos del grupo cíclico infinito se puede describir de la misma manera que el dual de la red de divisibilidad de todos los números enteros positivos. Si el grupo cíclico infinito se representa como el grupo aditivo de los números enteros, entonces el subgrupo generado por d es un subgrupo del subgrupo generado por e si y sólo si e es un divisor de d.

Las redes de divisibilidad son redes distributivas y, por lo tanto, también lo son las redes de subgrupos de grupos cíclicos. Esto proporciona otra caracterización alternativa de los grupos cíclicos finitos: son exactamente los grupos finitos cuyas redes de subgrupos son distributivas. De manera más general, un grupo finitamente generado es cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva y un grupo arbitrario es localmente cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva. El grupo aditivo de los números racionales proporciona un ejemplo de un grupo que es localmente cíclico y que tiene una red distributiva de subgrupos, pero que no es cíclico en sí mismo.