Subgrupo normal

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Subgrupo invariante bajo conjugación

En álgebra abstracta, a subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariable o subgrupo autoconyugado) es un subgrupo que es invariable bajo conjugación por miembros del grupo del cual es parte. En otras palabras, un subgrupo $N$ del grupo $G$ es normal en $G$ si ${displaystyle gng^{-1}in N}$ para todos $gin G$ y ${displaystyle nin N.}$ La notación habitual para esta relación es ${displaystyle Ntriangleleft G.}$

Los subgrupos normales son importantes porque (y sólo ellos) pueden utilizarse para construir grupos de cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de $G$ son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo con dominio $G,$ lo que significa que pueden ser utilizados para clasificar internamente esos homomorfismos.

Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales.

Definiciones

Subgrupo $N$ de un grupo $G$ se llama subgrupo normal de $G$ si es invariable bajo conjugación; es decir, la conjugación de un elemento $N$ por un elemento $G$ siempre está en ${displaystyle N.}$ La notación habitual para esta relación es ${displaystyle Ntriangleleft G.}$

Condiciones equivalentes

Para cualquier subgrupo $N$ de $G,$ las siguientes condiciones equivalen a $N$ ser un subgrupo normal de $G.$ Por lo tanto, cualquiera de ellos puede ser tomado como definición:

La imagen de la conjugación $N$ por cualquier elemento $G$ es un subconjunto de ${displaystyle N.}$
La imagen de la conjugación $N$ por cualquier elemento $G$ es igual a ${displaystyle N.}$
Para todos ${displaystyle gin G,}$ los cosets izquierdo y derecho $gN$ y ${displaystyle Ng}$ son iguales.
Los conjuntos de cosets izquierdo y derecho $N$ dentro $G$ coincide.
El producto de un elemento del conjunto izquierdo $N$ con respecto a $g$ y un elemento del conjunto izquierdo $N$ con respecto a $h$ es un elemento del conjunto izquierdo $N$ con respecto a ${displaystyle gh}$ : para todos ${displaystyle x,y,g,hin G,}$ si ${displaystyle xin gN}$ y ${displaystyle yin hN}$ entonces ${displaystyle xyin (gh)N.}$
$N$ es una unión de clases de conjugación $G.$
$N$ se conserva por los automorfismos internos de $G.$
Hay un grupo de homomorfismo $Gto H$ cuyo núcleo ${displaystyle N.}$
Hay una relación de congruencia en $G$ para la cual la clase de equivalencia del elemento de identidad es $N$ .
Para todos $nin N$ y ${displaystyle gin G,}$ el conmutador ${displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ está dentro ${displaystyle N.}$
Cualquier dos elementos se relacionan con la relación normal de miembros del subgrupo. Eso es, para todos ${displaystyle g,hin G,}$ ${displaystyle ghin N}$ si ${displaystyle hgin N.}$

Ejemplos

Para cualquier grupo $G,$ el subgrupo trivial ${displaystyle {e}}$ que consiste sólo en el elemento de identidad $G$ es siempre un subgrupo normal de $G.$ Igualmente, $G$ es siempre un subgrupo normal $G.$ (Si estos son los únicos subgrupos normales, entonces $G$ se dice que es simple.) Otros subgrupos normales de un grupo arbitrario son el centro del grupo (el conjunto de elementos que se comunican con todos los demás elementos) y el subgrupo de conmutadores ${displaystyle [G,G].}$ Más generalmente, ya que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal.

Si $G$ es un grupo abeliano entonces cada subgrupo $N$ de $G$ es normal, porque ${displaystyle gN={gn}_{nin N}={ng}_{nin N}=Ng.}$ Un grupo que no es abeliano pero para el cual cada subgrupo es normal se llama un grupo Hamiltoniano.

Un ejemplo concreto de un subgrupo normal es el subgrupo ${displaystyle N={(1),(123),(132)}}$ del grupo simétrico $S_{3},$ que consiste en la identidad y ambos tres ciclos. En particular, se puede comprobar que cada conjunto de $N$ es igual a $N$ o es igual a ${displaystyle (12)N={(12),(23),(13)}.}$ Por otro lado, el subgrupo ${displaystyle H={(1),(12)}}$ no es normal en $S_{3}$ desde entonces ${displaystyle (123)H={(123),(13)}neq {(123),(23)}=H(123).}$ Esto ilustra el hecho general de que cualquier subgrupo ${displaystyle Hleq G}$ del índice dos es normal.

En el grupo Cubo de Rubik, los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de las esquinas o las piezas de los bordes son normales.

El grupo de traducción es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. Esto significa: aplicar una transformación rígida, seguida de una traslación y luego la transformación rígida inversa, tiene el mismo efecto que una sola traslación. Por el contrario, el subgrupo de todas las rotaciones alrededor del origen no es un subgrupo normal del grupo euclidiano, siempre que la dimensión sea al menos 2: primero trasladándose, luego rotando alrededor del origen y luego trasladándose atrás normalmente no fijará el origen y, por lo tanto, no tendrá el mismo efecto que una sola rotación sobre el origen.

Propiedades

Si $H$ es un subgrupo normal de $G,$ y $K$ es un subgrupo $G$ que contiene $H,$ entonces $H$ es un subgrupo normal de $K.$
Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva. El grupo más pequeño que exhibe este fenómeno es el grupo de orden dihedral 8. Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. Un grupo en el que la normalidad es transitiva se llama un grupo T.
Los dos grupos $G$ y $H$ son subgrupos normales de su producto directo ${displaystyle Gtimes H.}$
Si el grupo $G$ es un producto semidirecto $G=Nrtimes H,$ entonces $N$ es normal en $G,$ Aunque $H$ necesita no ser normal en $G.$
Si $M$ y $N$ son subgrupos normales de un grupo aditivo $G$ tales que ${displaystyle G=M+N}$ y ${displaystyle Mcap N={0}}$ , entonces ${displaystyle G=Moplus N.}$
La normalidad se conserva bajo los homomorfismos subjetivos; es decir, si $Gto H$ es un grupo subjetivo homomorfismo y $N$ es normal en $G,$ entonces la imagen ${displaystyle f(N)}$ es normal en $H.$
La normalidad se conserva tomando imágenes inversas; es decir, si $Gto H$ es un grupo homomorfismo y $N$ es normal en $H,$ entonces la imagen inversa ${displaystyle f^{-1}(N)}$ es normal en $G.$
La normalidad se conserva al tomar productos directos; es decir, si ${displaystyle N_{1}triangleleft G_{1}}$ y ${displaystyle N_{2}triangleleft G_{2},}$ entonces ${displaystyle N_{1}times N_{2};triangleleft ;G_{1}times G_{2}.}$
Cada subgrupo del índice 2 es normal. Más generalmente, un subgrupo, $H,$ de índice finito, ${displaystyle n,}$ dentro $G$ contiene un subgrupo, $K,$ normal en $G$ y de la división de índices $n!$ llamado núcleo normal. En particular, si $p$ es el primo más pequeño que divide el orden $G,$ entonces cada subgrupo de índice $p$ es normal.
El hecho de que subgrupos normales de $G$ son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo definidos en $G$ representa parte de la importancia de los subgrupos normales; son una manera de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito no-identitario es simple si y sólo si es isomorfo a todas sus imágenes homomórficas no-identitarias, un grupo finito es perfecto si y sólo si no tiene subgrupos normales de índice primario, y un grupo es imperfecto si y sólo si el subgrupo derivado no es complementado por cualquier subgrupo normal adecuado.

Enrejado de subgrupos normales

Dados dos subgrupos normales, $N$ y ${displaystyle M,}$ de $G,$ su intersección ${displaystyle Ncap M}$ y su producto ${displaystyle NM={nm:nin N;{text{ and }};min M}}$ son también subgrupos normales de $G.$

Los subgrupos normales de $G$ form a lattice under subset inclusion with least element, ${displaystyle {e},}$ y mayor elemento, $G.$ El encuentro de dos subgrupos normales, $N$ y ${displaystyle M,}$ en esta celo es su intersección y la unión es su producto.

La celosía es completa y modular.

Subgrupos normales, grupos cocientes y homomorfismos

Si $N$ es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación en los cosets como sigue:

{displaystyle left(a_{1}Nright)left(a_{2}Nright):=left(a_{1}a_{2}right)N.}

{displaystyle G/Ntimes G/Nto G/N.}

a_{1},a_{2}

{displaystyle a_{1}'in a_{1}N,a_{2}'in a_{2}N.}

{displaystyle n_{1},n_{2}in N}

{displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}

{displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}

N

normal

{displaystyle n_{1}'in N}

{displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}

Con esta operación, el conjunto de cosets es en sí mismo un grupo, llamado el grupo cociente y denotado con ${displaystyle G/N.}$ Hay un homomorfismo natural, ${displaystyle f:Gto G/N,}$ dado por ${displaystyle f(a)=aN.}$ Este homomorfismo mapea $N$ en el elemento de identidad ${displaystyle G/N,}$ que es el conjunto ${displaystyle eN=N,}$ es decir, ${displaystyle ker(f)=N.}$

En general, un grupo de homomorfismo, $f:Gto H$ envía subgrupos de $G$ a subgrupos de $H.$ Además, el preimage de cualquier subgrupo de $H$ es un subgrupo $G.$ Llamamos la preimage del grupo trivial ${displaystyle {e}}$ dentro $H$ el kernel del homomorfismo y denotarlo ${displaystyle ker f.}$ Como resulta, el núcleo es siempre normal y la imagen de ${displaystyle G,f(G),}$ es siempre isomorfo a ${displaystyle G/ker f}$ (el primer teorema isomorfismo). De hecho, esta correspondencia es una bijeción entre el conjunto de todos los grupos cocientes de ${displaystyle G,G/N,}$ y el conjunto de todas las imágenes homomórficas $G$ (hasta el isomorfismo). También es fácil ver que el núcleo del mapa cociente, ${displaystyle f:Gto G/N,}$ es $N$ en sí mismo, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio $G.$

Subgrupos normales y Teorema de Sylow

El segundo flujo Theorem states: Si $P$ y $K$ son los subgrupos Sylow de un grupo $G$ , entonces existe $xin G$ tales que ${displaystyle P=x^{-1}Kx.}$

Hay un corolario directo del teorema arriba: Vamos $G$ ser un grupo finito y $K$ un subgrupo de Sylow para algunos primeros $p$ . Entonces... $K$ es normal en $G$ si $K$ es el único subgrupo de Sylow en $G$ .

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