Subgrupo de torsión

En la teoría de grupos abelianos, el subgrupo de torsión A_T de un grupo abeliano A es el subgrupo de A formado por todos los elementos que tienen un orden finito (los elementos de torsión de A). Un grupo abeliano A se llama grupo de torsión (o grupo periódico) si cada elemento de A tiene un orden finito y se llama libre de torsión si cada elemento de A excepto que la identidad es de orden infinito.

La prueba de que A_T es cerrado bajo la operación de grupo se basa en la conmutatividad de la operación (ver la sección de ejemplos).

Si A es abeliano, entonces el subgrupo de torsión T es un subgrupo totalmente característico de A y el grupo de factores A/T está libre de torsión. Existe un funtor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos de torsión que envía cada grupo a su subgrupo de torsión y cada homomorfismo a su restricción al subgrupo de torsión. Hay otro funtor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos libres de torsión que envía cada grupo a su cociente por su subgrupo de torsión, y envía cada homomorfismo al homomorfismo inducido obvio (que se ve fácilmente que está bien definido).

Si A es finitamente generado y abeliano, entonces puede escribirse como la suma directa de su subgrupo de torsión T y un subgrupo libre de torsión (pero esto no es cierto para todos los grupos abelianos infinitamente generados). En cualquier descomposición de A como suma directa de un subgrupo de torsión S y un subgrupo libre de torsión, S debe ser igual a T (pero el subgrupo libre de torsión no está determinado de manera única). Este es un paso clave en la clasificación de grupos abelianos finitamente generados.

Subgrupos de torsión de potencia P

Para cualquier grupo abeliano ${displaystyle (A,+)}$ y cualquier número primo p el conjunto A_Tp de elementos de A que tienen un poder de p es un subgrupo llamado p- Power Torsion subgroup o, más suelto, el p- Subgrupo de tortura:

${displaystyle A_{T_{p}={ain A; paciencia;exists nin mathbb {N} ;,p^{n}a=0}$

El subgrupo de torsión A_T es isomorfo a la suma directa de sus subgrupos de torsión de potencia p sobre todos los números primos p :

${displaystyle A_{T}cong bigoplus _{pin P}A_{T_{p}.$

Cuando A es un grupo abeliano finito, A_Tp coincide con el único subgrupo p de Sylow de A.

Cada subgrupo de torsión de potencia p de A es un subgrupo completamente característico. Más fuertemente, cualquier homomorfismo entre grupos abelianos envía cada subgrupo de torsión de potencia p al subgrupo de torsión de potencia p correspondiente.

Para cada número primo p, esto proporciona un functor de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos de torsión de potencia p que envía cada grupo a su p-power, y restringe todo homomorfismo a los subgrupos de torsión p. El producto sobre el conjunto de todos los números primos de la restricción de estos funtores a la categoría de los grupos de torsión, es un funtor fiel de la categoría de los grupos de torsión al producto sobre todos los números primos de las categorías de p-grupos de torsión. En cierto sentido, esto significa que estudiar los grupos de torsión p de forma aislada nos dice todo sobre los grupos de torsión en general.

Ejemplos y otros resultados

El subgrupo de 4-torsión del grupo cociente de los números complejos bajo adición por una celosía.

• El subconjunto de torsión de un grupo no abeliano no es, en general, un subgrupo. Por ejemplo, en el grupo dihedral infinito, que tiene presentación:

. x, Sí. Silencio x2 = Sí.2 = 1

el elemento xy es un producto de dos elementos de torsión, pero tiene orden infinito.

• Los elementos de torsión en un grupo nilpotent forman un subgrupo normal.
• Cada grupo abeliano finito es un grupo de torsión. No todos los grupos de torsión son finitos sin embargo: considerar la suma directa de un número contable de copias del grupo cíclico C₂; este es un grupo de torsión ya que cada elemento tiene orden 2. Tampoco es necesario que haya un límite superior sobre las órdenes de elementos en un grupo de torsión si no se genera finitamente, como ejemplo del grupo factorial Q/Z espectáculos.
• Cada grupo abeliano libre de torsión, pero el converso no es verdadero, como lo muestra el grupo aditivo de los números racionales Q.
• Incluso si A no se genera finitamente, el tamaño de su parte libre de torsión se determina únicamente, como se explica en más detalle en el artículo sobre rango de un grupo abeliano.
• Un grupo abeliano A es libre de torsión si y sólo si es plana como Z- módulo, lo que significa que cuando C es un subgrupo de algún grupo abeliano B, entonces el mapa natural del producto tensor C ⊗ A a B ⊗ A es inyectable.
• Tensoring an abelian group A con Q (o cualquier grupo divisible) mata la torsión. Eso es, si T es un grupo de torsión entonces T ⊗ Q 0. Para un grupo abeliano general A con subgrupo de torsión T uno tiene A ⊗ Q. A/T ⊗ Q.
• Tomar el subgrupo de torsión hace que los grupos abelianos de torsión se conviertan en una subcategoría de grupos abelianos, mientras que tomar el cociente por el subgrupo de torsión hace que los grupos abelianos libres de torsión se conviertan en una subcategoría reflectante.