Subgrupo

En la teoría de grupos, una rama de las matemáticas, dado un grupo G bajo una operación binaria ∗, un subconjunto H de G se llama un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo en H. Esto a menudo se denota H ≤ G, se lee como "H es un subgrupo de G".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consta únicamente del elemento de identidad.

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, H ≠ G). Esto a menudo se representa mediante notación H < G, leído como "H es un subgrupo propio de G". Algunos autores también excluyen el grupo trivial de ser propio (es decir, H ≠ {e}).

Si H es un subgrupo de G, entonces G a veces se denomina sobregrupo de H.

Las mismas definiciones se aplican de manera más general cuando G es un semigrupo arbitrario, pero este artículo solo tratará con subgrupos de grupos.

Pruebas de subgrupos

Supongamos que G es un grupo y H es un subconjunto de G. Por ahora, suponga que la operación de grupo de G se escribe multiplicativamente, denotada por yuxtaposición.

• Entonces... H es un subgrupo G si H es no vacío y cerrado bajo productos e inversos. Cerrado en productos significa que para todos a y b dentro H, el producto ab está dentro H. Cerrado bajo inversos significa que para todos a dentro H, el inverso a⁻¹ está dentro H. Estas dos condiciones se pueden combinar en una, que por cada a y b dentro H, el elemento ab⁻¹ está dentro H, pero es más natural y por lo general tan fácil de probar las dos condiciones de cierre por separado.
• Cuando H es finito, la prueba se puede simplificar: H es un subgrupo si y sólo si es no vacío y cerrado bajo productos. Estas condiciones solo implican que cada elemento a de H genera un subgrupo cíclico finito H, digamos de orden n, y luego el inverso de a es aⁿ⁻¹.

Si la operación de grupo se denota por adición, entonces cerrado bajo productos debe ser reemplazado por cerrado bajo adición, que es la condición de que para cada a y b en H, la suma a+b está en H, y closed under inverses deben editarse para decir que para cada a en H, la inversa −a está en H.

Propiedades básicas de los subgrupos

• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad e_G, y H es un subgrupo G con identidad e_H, entonces e_H = e_G.
• El inverso de un elemento en un subgrupo es el inverso del elemento en el grupo: si H es un subgrupo de un grupo G, y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e_H, entonces ab = ba = e_G.
• Si H es un subgrupo G, entonces el mapa de inclusión H → G enviar cada elemento a de H a sí mismo es un homomorfismo.
• La intersección de subgrupos A y B de G es otra vez un subgrupo G. Por ejemplo, la intersección de la x-eje y Sí.-eje en R² bajo adición es el subgrupo trivial. Más generalmente, la intersección de una colección arbitraria de subgrupos G es un subgrupo G.
• La unión de subgrupos A y B es un subgrupo si y sólo si A ⊆ B o B ⊆ A. Un no-ejemplo: 2Z ∪ 3Z no es un subgrupo Z, porque 2 y 3 son elementos de este subconjunto cuya suma, 5, no está en el subconjunto. Del mismo modo, la unión del eje x y el eje y en R² no es un subgrupo R².
• Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo más pequeño que contiene S, a saber, la intersección de todos los subgrupos que contienen S; es denotado porSSe llama subgrupo generado por S. Un elemento G está enSSi es un producto finito de elementos S y sus inversos, posiblemente repetidos.
• Cada elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclicoa. Sia"Es isomorfo" Z/nZ (los enteros mod n) para algunos enteros positivos n, entonces n es el entero positivo más pequeño para el cual aⁿ = e, y n se llama orden de a. Sia"Es isomorfo" Z, entonces a se dice que Orden infinito.
• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman una celosa completa bajo la inclusión, llamada la celosía de subgrupos. (Mientras que el infimum aquí es la intersección teórica habitual, el supremum de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generados por la unión ficticia de los subgrupos, no la unión filosófica misma.) Si e es la identidad de G, entonces el grupo trivial {e} es el subgrupo mínimo de G, mientras que el subgrupo máximo es el grupo G en sí mismo.

G es el grupo Z/8Z{displaystyle mathbb {Z} {Z}, los enteros mod 8 bajo adición. El subgrupo H contiene sólo 0 y 4, y es isomorfo a Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} {Z}. Hay cuatro cosets izquierdos de H: H en sí, 1+H, 2+H y 3+H (escrito con notación aditiva ya que es un grupo aditivo). Juntos particionan todo el grupo G en conjuntos de tamaño igual y sin superposición. El índice [G: H] es 4.

Cosetas y teorema de Lagrange

Dado un subgrupo H y alguna a en G, definimos la coseleta izquierda aH = {ah: h en H}. Debido a que a es invertible, el mapa φ: H → aH dado por φ(h) = ah es una biyección. Además, cada elemento de G está contenido precisamente en una clase lateral izquierda de H; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a₁ ~ a₂ si y solo si a₁⁻¹a₂ está en H. El número de clases laterales izquierdas de H se denomina índice de H en G y se denota por [G: H].

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H,

[G:H]=SilencioGSilencioSilencioHSilencio{displaystyle [G:H]={Principe insistente sobre la vida

donde |G| y |H| denote los órdenes de G y H, respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G) debe ser un divisor de |G|.

Las clases laterales derechas se definen de manera análoga: Ha = {ha: h en H}. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [G: H].

Si aH = Ha por cada a en G, entonces H se dice que es un subgrupo normal. Todo subgrupo de índice 2 es normal: las clases laterales izquierdas y también las clases laterales derechas son simplemente el subgrupo y su complemento. Más generalmente, si p es el número primo más bajo que divide el orden de un grupo finito G, entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Ejemplo: Subgrupos de Z8

Sea G el grupo cíclico Z₈ cuyos elementos son

G={}0,4,2,6,1,5,3,7}{displaystyle G=left{0,4,2,6,1,5,3,7right}

y cuya operación de grupo es suma módulo 8. Su tabla de Cayley es

Este grupo tiene dos subgrupos no triviales: ■ J = {0, 4} y ■ H = {0, 4, 2, 6} , donde J es también un subgrupo de H. La tabla Cayley para H es el cuadrante superior izquierdo de la tabla Cayley para G; La tabla Cayley para J es el cuadrante superior izquierdo de la tabla Cayley para H. El grupo G es cíclico, al igual que sus subgrupos. En general, los subgrupos de grupos cíclicos también son cíclicos.

Ejemplo: Subgrupos de S4

Sea S₄ el grupo simétrico de 4 elementos. A continuación se muestran todos los subgrupos de S₄, enumerados según el número de elementos, en orden decreciente.

24 elementos

Todo el grupo S₄ es un subgrupo de S₄, de orden 24. Su tabla Cayley es

El grupo simétrico S4 mostrando todas las permutaciones de 4 elementos

Todos los 30 subgrupos Simplificado Diagramas de Hasse de la celosía de subgrupos de S4

12 elementos

El grupo alterna A₄ mostrando sólo las permutaciones

Subgrupos:

8 elementos

Dihedral group of order 8 Subgrupos:

Dihedral group of order 8 Subgrupos:

Dihedral group of order 8 Subgrupos:

6 elementos

Grupo simétrico S3 Subgrupo:

Grupo simétrico S3 Subgrupo:

Grupo simétrico S3 Subgrupo:

Grupo simétrico S3 Subgrupo:

4 elementos

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Grupo cíclico Z4

Grupo cíclico Z4

Grupo cíclico Z4

3 elementos

Grupo cíclico Z3

Grupo cíclico Z3

Grupo cíclico Z3

Grupo cíclico Z3

2 elementos

Cada elemento s de orden 2 en S₄ genera un subgrupo {1}s} del orden 2. Existen 9 elementos de este tipo: ()42)=6{fnK}=6} transposiciones (2 ciclos) y los tres elementos (12)(34), (13)(24), (14)(23).

1 elemento

El subgrupo trivial es el único subgrupo de orden 1 en S₄.

Otros ejemplos

• Los enteros incluso forman un subgrupo 2Z del anillo entero Z: la suma de dos enteros es incluso, y el negativo de un entero es incluso.
• Un ideal en un anillo R{displaystyle R. es un subgrupo del grupo aditivo R{displaystyle R..
• Un subespacio lineal de un espacio vectorial es un subgrupo del grupo aditivo de vectores.
• En un grupo abeliano, los elementos del orden finito forman un subgrupo llamado subgrupo de torsión.