Subespacio relativamente compacto

En matemáticas, un subespacio relativamente compacto (o un subconjunto relativamente compacto, o un subconjunto precompacto) de estilo Y de un espacio topológico X es un subconjunto cuyo cierre es compacto.

Propiedades

Cada subconjunto de un espacio topológico compacto es relativamente compacto (ya que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto). Y en un espacio topológico arbitrario cada subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto.

Cada subconjunto compacto de un espacio Hausdorff es relativamente compacto. En un espacio no-Hausdorff, como la topología puntual en un conjunto infinito, el cierre de un subconjunto compacto es no necesariamente compacto; dicho de manera diferente, un subconjunto compacto de un espacio no-Hausdorff no es necesariamente relativamente compacto.

Cada subconjunto compacto de un (posiblemente no-Hausdorff) espacio vectorial topológico es completo y relativamente compacto.

En el caso de una topología métrica, o más generalmente cuando se pueden usar secuencias para probar la compacidad, el criterio de compacidad relativa es que cualquier secuencia en Y tiene una subsecuencia convergente en X.

Algunos teoremas importantes caracterizan subconjuntos relativamente compactos, en particular en espacios funcionales. Un ejemplo es el teorema de Arzelà-Ascoli. Otros casos de interés se relacionan con la integrabilidad uniforme y el concepto de familia normal en el análisis complejo. El teorema de compacidad de Mahler en la geometría de números caracteriza subconjuntos relativamente compactos en ciertos espacios homogéneos no compactos (específicamente espacios de celosías).

Contraejemplo

Como contraejemplo, tomemos cualquier vecindad del punto particular de un espacio de puntos particular infinito. El barrio en sí puede ser compacto, pero no es relativamente compacto porque su cierre es todo el espacio no compacto.

Funciones casi periódicas

La definición de una función casi periódica F a nivel conceptual tiene que ver con las traducciones de F es un conjunto relativamente compacto. Esto debe precisarse en términos de la topología utilizada, en una teoría particular.