Subespacio lineal

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En matemáticas, subespacial vectorial

Subespacios unidimensionales en el espacio vectorial bidimensional sobre el campo finito F₅. El origen (0, 0), marcado con círculos verdes, pertenece a cualquiera de seis subespaciales, mientras que cada uno de los 24 puntos restantes pertenece exactamente a uno; una propiedad que tiene para 1-subespaciales sobre cualquier campo y en todas las dimensiones. Todos F₅² (es decir, un 5 × 5 cuadrado) se representa cuatro veces para una mejor visualización

En matemáticas, y más específicamente en álgebra lineal, un subespacio lineal, también conocido como subespacio vectorial, es un espacio vectorial que es un subconjunto de un espacio vectorial más grande. Un subespacio lineal generalmente se denomina simplemente subespacio cuando el contexto sirve para distinguirlo de otros tipos de subespacios.

Definición

Si V es un espacio vectorial sobre un campo K y si W es un subconjunto de V, entonces W es un subespacio lineal de V si bajo las operaciones de V, W es un espacio vectorial sobre K. De manera equivalente, un subconjunto no vacío W es un subespacio de V si, siempre que $w 1, w 2$ son elementos de W y $α, β$ son elementos de K, se sigue que $αw 1 + βw 2$ está en W.

Como corolario, todos los espacios vectoriales están equipados con al menos dos (posiblemente diferentes) subespacios lineales: el espacio vectorial cero que consta del vector cero solo y el espacio vectorial completo en sí. Estos se llaman los subespacios triviales del espacio vectorial.

Ejemplos

Ejemplo I

Sea el campo K el conjunto R de números reales, y sea el espacio vectorial V el espacio real de coordenadas R³. Tome W como el conjunto de todos los vectores en V cuya última componente es 0. Entonces W es un subespacio de V.

Prueba:

Dado u y v dentro W, entonces se pueden expresar como u =u₁, u₂, 0) y v =v₁, v₂, 0). Entonces... u + v =u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0). Así, u + v es un elemento W, también.
Dado u dentro W y un cuero cabelludo c dentro R, si u =u₁, u₂, 0) otra vez, entonces cu =#₁, #₂, c0) = (#₁, #₂,0). Así, cu es un elemento W también.

Ejemplo II

Deje que el campo sea R nuevamente, pero ahora deje que el espacio vectorial V sea el plano cartesiano R². Toma W como el conjunto de puntos (x, y) de R² tal que x = y. Entonces W es un subespacio de R².

Ejemplo II

Prueba:

Vamos p =p₁, p₂) y q =q₁, q₂) ser elementos de W, es decir, puntos en el plano tal que p₁ = p₂ y q₁ = q₂. Entonces... p + q =p₁+q₁, p₂+q₂); desde p₁ = p₂ y q₁ = q₂, entonces p₁ + q₁ = p₂ + q₂Así que p + q es un elemento W.
Vamos p =p₁, p₂) ser un elemento de W, es decir, un punto en el plano tal que p₁ = p₂, y dejar c ser un scalar en R. Entonces... cp =cp₁, cp₂); desde p₁ = p₂, entonces cp₁ = cp₂Así que cp es un elemento W.

En general, cualquier subconjunto del espacio real de coordenadas Rⁿ que está definido por un sistema de ecuaciones lineales homogéneas producirá un subespacio. (La ecuación del ejemplo I era z = 0, y la ecuación del ejemplo II era x = y).

Ejemplo III

Tome de nuevo el campo como R, pero ahora permita que el espacio vectorial V sea el conjunto R^R de todas las funciones de R a R. Sea C(R) el subconjunto formado por funciones continuas. Entonces C(R) es un subespacio de R^R.

Prueba:

Sabemos de cálculo que 0 ¬R⊂ R^R.
Sabemos de cálculo que la suma de funciones continuas es continua.
De nuevo, sabemos de cálculo que el producto de una función continua y un número es continuo.

Ejemplo IV

Mantenga el mismo campo y espacio vectorial que antes, pero ahora considere el conjunto Diff(R) de todas las funciones diferenciables. El mismo tipo de argumento que antes muestra que este también es un subespacio.

Los ejemplos que amplían estos temas son comunes en el análisis funcional.

Propiedades de los subespacios

De la definición de espacios vectoriales, se deduce que los subespacios no son vacíos y están cerrados bajo sumas y múltiplos escalares. De manera equivalente, los subespacios se pueden caracterizar por la propiedad de ser cerrados bajo combinaciones lineales. Es decir, un conjunto no vacío W es un subespacio si y solo si cada combinación lineal de un número finito de elementos de W también pertenece a W. La definición equivalente establece que también es equivalente considerar combinaciones lineales de dos elementos a la vez.

En un espacio vectorial topológico X, no es necesario que un subespacio W esté topológicamente cerrado, pero un subespacio de dimensión finita siempre está cerrado. Lo mismo es cierto para los subespacios de codimensión finita (es decir, subespacios determinados por un número finito de funcionales lineales continuos).

Descripciones

Las descripciones de los subespacios incluyen el conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, el subconjunto del espacio euclidiano descrito por un sistema de ecuaciones paramétricas lineales homogéneas, el lapso de una colección de vectores y el espacio nulo, el espacio columna y espacio renglón de una matriz. Geométricamente (especialmente en el campo de los números reales y sus subcampos), un subespacio es un plano en un espacio n que pasa por el origen.

Una descripción natural de un subespacio 1 es la multiplicación escalar de un vector distinto de cero v a todos los valores escalares posibles. 1-subespacios especificados por dos vectores son iguales si y solo si un vector se puede obtener de otro con multiplicación escalar:

exists cin K:mathbf {v} '=cmathbf {v} {text{ (or }}mathbf {v} ={frac {1}{c}}mathbf {v} '{text{)}}

Esta idea se generaliza para dimensiones más altas con tramos lineales, pero los criterios para la igualdad de espacios k especificados por conjuntos de vectores k no son tan simples.

Se proporciona una descripción dual con funciones lineales (generalmente implementadas como ecuaciones lineales). Un funcional lineal distinto de cero F especifica su subespacio kernel F = 0 de codimensión 1. Los subespacios de codimensión 1 especificados por dos funcionales lineales son iguales, si y solo si un funcional se puede obtener de otro con multiplicación escalar (en el espacio dual):

exists cin K:mathbf {F} '=cmathbf {F} {text{ (or }}mathbf {F} ={frac {1}{c}}mathbf {F} '{text{)}}

Se generaliza para codimensiones superiores con un sistema de ecuaciones. Las siguientes dos subsecciones presentarán esta última descripción en detalle, y las cuatro subsecciones restantes describen más detalladamente la idea de tramo lineal.

Sistemas de ecuaciones lineales

El conjunto solución de cualquier sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n variables es un subespacio en el espacio de coordenadas Kⁿ:

{displaystyle left{left[!!{begin{array}{c}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{n}end{array}}!!right]in K^{n}:{begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&;+;&&a_{12}x_{2}&&;+cdots +;&&a_{1n}x_{n}&&;=0&\a_{21}x_{1}&&;+;&&a_{22}x_{2}&&;+cdots +;&&a_{2n}x_{n}&&;=0&\&&&&&&&&&&vdots quad &\a_{m1}x_{1}&&;+;&&a_{m2}x_{2}&&;+cdots +;&&a_{mn}x_{n}&&;=0&end{alignedat}}right}.}

Por ejemplo, el conjunto de todos los vectores $(x, y, z)$ (sobre números reales o racionales) que satisfacen las ecuaciones

{displaystyle x+3y+2z=0quad {text{and}}quad 2x-4y+5z=0}

nK^kAn

Espacio nulo de una matriz

En un espacio de dimensión finita, un sistema homogéneo de ecuaciones lineales se puede escribir como una sola ecuación matricial:

Amathbf {x} =mathbf {0}.

El conjunto de soluciones de esta ecuación se conoce como el espacio nulo de la matriz. Por ejemplo, el subespacio descrito arriba es el espacio nulo de la matriz

{displaystyle A={begin{bmatrix}1&3&2\2&-4&5end{bmatrix}}.}

Cada subespacio de Kⁿ se puede describir como el espacio nulo de alguna matriz (consulte § Algoritmos a continuación para obtener más información).

Ecuaciones paramétricas lineales

El subconjunto de Kⁿ descrito por un sistema de ecuaciones paramétricas lineales homogéneas es un subespacio:

{displaystyle left{left[!!{begin{array}{c}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{n}end{array}}!!right]in K^{n}:{begin{alignedat}{7}x_{1}&&;=;&&a_{11}t_{1}&&;+;&&a_{12}t_{2}&&;+cdots +;&&a_{1m}t_{m}&\x_{2}&&;=;&&a_{21}t_{1}&&;+;&&a_{22}t_{2}&&;+cdots +;&&a_{2m}t_{m}&\&&vdots ;;&&&&&&&&&&&\x_{n}&&;=;&&a_{n1}t_{1}&&;+;&&a_{n2}t_{2}&&;+cdots +;&&a_{nm}t_{m}&\end{alignedat}}{text{ for some }}t_{1},ldotst_{m}in Kright}.}

Por ejemplo, el conjunto de todos los vectores (x, y, z) parametrizados por las ecuaciones

x=2t_{1}+3t_{2},;;;;y=5t_{1}-4t_{2},;;;;{text{and}};;;;z=-t_{1}+2t_{2}

es un subespacio bidimensional de K³, si K es un cuerpo numérico (como números reales o racionales).

Intervalo de vectores

En álgebra lineal, el sistema de ecuaciones paramétricas se puede escribir como una sola ecuación vectorial:

{displaystyle {begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}};=;t_{1}!{begin{bmatrix}2\5\-1end{bmatrix}}+t_{2}!{begin{bmatrix}3\-4\2end{bmatrix}}.}

La expresión de la derecha se llama combinación lineal de los vectores (2, 5, −1) y (3, −4, 2). Se dice que estos dos vectores abarcan el subespacio resultante.

En general, una combinación lineal de vectores v₁, v₂,..., v_k es cualquier vector de la forma

t_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +t_{k}mathbf {v} _{k}.

El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles se denomina span:

{text{Span}}{mathbf {v} _{1},ldotsmathbf {v} _{k}}=left{t_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +t_{k}mathbf {v} _{k}:t_{1},ldotst_{k}in Kright}.

Si los vectores v₁,..., v_k tienen n componentes, entonces su intervalo es un subespacio de Kⁿ. Geométricamente, el tramo es el plano que pasa por el origen en un espacio n-dimensional determinado por los puntos v₁,..., v_k.

Ejemplo

El xz- Avión R³ puede ser parametizada por las ecuaciones

x=t_{1},;;;y=0,;;;z=t_{2}.

Como subespacial, xz-plano es azotado por los vectores (1, 0, 0) y (0, 0, 1). Cada vector en el xz-plano se puede escribir como una combinación lineal de estos dos:

{displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){text{.}}}

Geométricamente, esto corresponde al hecho de que cada punto en el xz- plano se puede llegar desde el origen moviendo primero cierta distancia en la dirección de (1, 0, 0) y luego moviendo cierta distancia en la dirección de (0, 0, 1).

Espacio de columna y espacio de fila

Un sistema de ecuaciones paramétricas lineales en un espacio de dimensión finita también se puede escribir como una sola ecuación matricial:

mathbf {x} =Amathbf {t} ;;;;{text{where}};;;;A=left[{begin{alignedat}{2}2&&3&\5&&;;-4&\-1&&2&end{alignedat}},right]{text{.}}

En este caso, el subespacio consta de todos los valores posibles del vector x. En álgebra lineal, este subespacio se conoce como espacio columna (o imagen) de la matriz A. Es precisamente el subespacio de Kⁿ atravesado por los vectores columna de A.

El espacio fila de una matriz es el subespacio generado por sus vectores fila. El espacio fila es interesante porque es el complemento ortogonal del espacio nulo (ver más abajo).

Independencia, base y dimensión

Los vectores u y v son una base para este subespacio bidimensional de R³.

En general, un subespacio de Kⁿ determinado por k parámetros (o abarcado por k vectores) tiene dimensión k. Sin embargo, hay excepciones para esta regla. Por ejemplo, el subespacio de K³ dividido por los tres vectores (1, 0, 0), (0, 0, 1) y (2, 0, 3) es solo el plano xz, con cada punto en el plano descrito por infinitos valores diferentes de t₁, t₂, t₃.

En general, los vectores v₁,..., v_k se llaman linealmente independientes si

{displaystyle t_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +t_{k}mathbf {v} _{k};neq ;u_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +u_{k}mathbf {v} _{k}}

para (t₁, t₂,..., t_k) ≠ (u₁, u₂,..., u _k). Si v₁,..., v_k son linealmente independientes, entonces las coordenadas t₁,..., t_k para un vector en el intervalo se determinan de forma única.

Una base para un subespacio S es un conjunto de vectores linealmente independientes cuyo lapso es S. El número de elementos en una base siempre es igual a la dimensión geométrica del subespacio. Cualquier conjunto de expansión para un subespacio se puede convertir en una base eliminando vectores redundantes (consulte § Algoritmos a continuación para obtener más información).

Ejemplo

Vamos S ser el subespacio R⁴ definido por las ecuaciones

x_{1}=2x_{2};;;;{text{and}};;;;x_{3}=5x_{4}.

Entonces los vectores (2, 1, 0, 0) y (0, 0, 5, 1) son una base para S. En particular, cada vector que satisface las ecuaciones anteriores puede ser escrito únicamente como una combinación lineal de los dos vectores base:

{displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}

El subespacio S es bidimensional. Geométricamente, es el avión en R⁴ pasando por los puntos (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0), y (0, 0, 5, 1).

Operaciones y relaciones sobre subespacios

Inclusión

La relación binaria de inclusión teórica de conjuntos especifica un orden parcial en el conjunto de todos los subespacios (de cualquier dimensión).

Un subespacio no puede estar en ningún subespacio de menor dimensión. Si dim U = k, un número finito, y U ⊂ W, entonces dim W = k si y solo si U = W.

Intersección

In R³, la intersección de dos subespacios bidimensionales distintos es unidimensional

Dados los subespacios U y W de un espacio vectorial V, entonces su intersección U ∩ W:= {v ∈ V: v es un elemento tanto de U como de W} también es un subespacio de V.

Prueba:

Vamos v y w ser elementos de U∩W. Entonces... v y w pertenecer a ambos U y W. Porque... U es un subespacio, entonces v+w pertenece U. Del mismo modo, desde W es un subespacio, entonces v+w pertenece W. Así, v+w pertenece U∩W.
Vamos v pertenecer a U∩W, y dejar c Sé un escalar. Entonces... v pertenece a ambos U y W. Desde U y W son subespacios, cv pertenece a ambos U yW.
Desde U y W son espacios vectoriales, entonces 0 pertenece a ambos sets. Así, 0 pertenece U∩W.

Para todo espacio vectorial V, el conjunto {0} y el propio V son subespacios de V.

Suma

Si U y W son subespacios, su suma es el subespacio

{displaystyle U+W=left{mathbf {u} +mathbf {w} colon mathbf {u} in U,mathbf {w} in Wright}.}

Por ejemplo, la suma de dos rectas es el plano que las contiene a ambas. La dimensión de la suma satisface la desigualdad

{displaystyle max(dim U,dim W)leq dim(U+W)leq dim(U)+dim(W).}

Aquí, el mínimo solo ocurre si un subespacio está contenido en el otro, mientras que el máximo es el caso más general. La dimensión de la intersección y la suma están relacionadas por la siguiente ecuación:

{displaystyle dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W).}

Un conjunto de subespacios es independiente cuando la única intersección entre cualquier par de subespaciales es el subespacial trivial. El suma directa es la suma de subespacios independientes, escritos como ${displaystyle Uoplus W}$ . Un remanente equivalente es que una suma directa es una suma subespacial bajo la condición de que cada subespacial contribuya al lapso de la suma.

La dimensión de una suma directa ${displaystyle Uoplus W}$ es igual que la suma de subespacios, pero puede ser acortada porque la dimensión del subespacio trivial es cero.

{displaystyle dim(Uoplus W)=dim(U)+dim(W)}

Enrejado de subespacios

La intersección de las operaciones y la suma hacen que el conjunto de todos los subespacios sea una red modular acotada, donde el subespacio {0}, el elemento mínimo, es un elemento de identidad de la operación suma, y el subespacio idéntico V, el elemento mayor, es un elemento de identidad de la operación de intersección.

Complementos ortogonales

Si $V$ es un espacio interior de producto y $N$ es un subconjunto de $V$ , entonces el complemento ortogonal de $N$ , denotado ${displaystyle N^{perp }}$ , es otra vez un subespacio. Si $V$ es finito-dimensional y $N$ es un subespacio, luego las dimensiones $N$ y ${displaystyle N^{perp }}$ satisfacer la relación complementaria ${displaystyle dim(N)+dim(N^{perp })=dim(V)}$ . Además, ningún vector es ortogonal a sí mismo, así que ${displaystyle Ncap N^{perp }={0}}$ y $V$ es la suma directa $N$ y ${displaystyle N^{perp }}$ . Aplicar complementos ortogonales devuelve dos veces el subespacio original: ${displaystyle (N^{perp })^{perp }=N}$ para cada subespacial $N$ .

Esta operación, entendida como negación ( $neg$ ), hace la celosía de los subespacios un (posiblemente infinito) ortocomplemented lattice (aunque no una celosía distributiva).

En espacios con otras formas bilineales, algunos pero no todos estos resultados todavía tienen. En espacios pseudo-euclidianos y espacios vectoriales simplécticos, por ejemplo, existen complementos ortogonales. Sin embargo, estos espacios pueden tener vectores nulos que son ortogonales para sí mismos, y por consiguiente existen subespacios $N$ tales que ${displaystyle Ncap N^{perp }neq {0}}$ . Como resultado, esta operación no convierte la celosía de los subespacios en un álgebra boo (ni un álgebra Heyting).

Algoritmos

La mayoría de los algoritmos para trabajar con subespacios implican la reducción de filas. Este es el proceso de aplicar operaciones de fila elementales a una matriz, hasta que alcanza la forma escalonada de fila o la forma escalonada de fila reducida. La reducción de filas tiene las siguientes propiedades importantes:

La matriz reducida tiene el mismo espacio nulo que el original.
La reducción de filas no cambia la extensión de los vectores de fila, es decir, la matriz reducida tiene el mismo espacio de fila que el original.
La reducción de filas no afecta la dependencia lineal de los vectores de columna.

Base para un espacio de fila

Input An m×n matriz A.

Producto Una base para el espacio de filas A.

Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero.
Las filas no cero de la forma de soltero son una base para el espacio de fila de A.

Consulte el artículo sobre espacio de fila para ver un ejemplo.

Si, en cambio, ponemos la matriz A en forma escalonada de fila reducida, entonces la base resultante para el espacio de fila se determina de manera única. Esto proporciona un algoritmo para verificar si dos espacios de fila son iguales y, por extensión, si dos subespacios de Kⁿ son iguales.

Membresía del subespacio

Input Una base {b₁, b₂,... b_k} para un subespacio S de Kⁿ, y un vector v con n componentes.

Producto Determina si v es un elemento S

Crear un (k+ 1) ×n matriz A cuyas filas son los vectores b₁,...,b_k y v.
Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero.
Si la forma de soltero tiene una fila de ceros, entonces los vectores {}b₁,... b_k, v} son dependientes linealmente, y por lo tanto v ▪ S.

Base para un espacio columna

Input An m×n matriz A

Producto Una base para el espacio de la columna A

Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero.
Determinar qué columnas de la forma de soltero tienen pivotes. Las columnas correspondientes de la matriz original son una base para el espacio de la columna.

Consulte el artículo sobre el espacio de columnas para ver un ejemplo.

Esto produce una base para el espacio columna que es un subconjunto de los vectores columna originales. Funciona porque las columnas con pivotes son una base para el espacio de columnas de la forma escalonada y la reducción de filas no cambia las relaciones de dependencia lineal entre las columnas.

Coordenadas para un vector

Input Una base {b₁, b₂,... b_k} para un subespacio S de Kⁿ, y un vector v ▪ S

Producto Números t₁, t₂,... t_k tales que v = t₁b₁ + t_kb_k

Crear una matriz aumentada A cuyas columnas son b₁,...b_k con la última columna siendo v.
Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero de fila reducida.
Expresar la columna final de la forma de echelon reducida como una combinación lineal de la primera k columnas. Los coeficientes utilizados son los números deseados t₁, t₂,... t_k. (Estos deben ser precisamente los primeros k entradas en la columna final del formulario de echelon reducido.)

Si la columna final de la forma escalonada de fila reducida contiene un pivote, entonces el vector de entrada v no se encuentra en S.

Base para un espacio nulo

Input An m×n matriz A.

Producto Una base para el espacio nulo de A

Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero de fila reducida.
Usando la forma de echelon de fila reducida, determinar cuál de las variables x₁, x₂,... x_n son libres. Escribe ecuaciones para las variables dependientes en términos de las variables libres.
Para cada variable libre x_i, elegir un vector en el espacio nulo para el cual x_i = 1 y las variables libres restantes son cero. La colección resultante de vectores es una base para el espacio nulo de A.

Consulte el artículo sobre espacio nulo para ver un ejemplo.

Base para la suma e intersección de dos subespacios

Dados dos subespacios $U$ y $W$ de $V$ , base de la suma $U+W$ y la intersección $Ucap W$ se puede calcular utilizando el algoritmo Zassenhaus.

Ecuaciones para un subespacio

Input Una base {b₁, b₂,... b_k} para un subespacio S de Kⁿ

Producto Ann−k) ×n matriz cuyo espacio nulo es S.

Crear una matriz A cuyas filas son b₁, b₂,... b_k.
Usar operaciones de fila elemental para poner A en forma de soltero de fila reducida.
Vamos c₁, c₂,... c_n sean las columnas de la forma de echelon de fila reducida. Para cada columna sin pivote, escriba una ecuación expresando la columna como una combinación lineal de las columnas con pivotes.
Esto resulta en un sistema homogéneo de n − k ecuaciones lineales que implican las variables c₁,...c_n. El ()n − k) × n matriz correspondiente a este sistema es la matriz deseada con nullspace S.

Ejemplo: Si la forma de echelon de fila reducida A es

left[{begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\0&&1&&5&&0&&-1&&4\0&&0&&0&&1&&7&&-9\0&&;;;;;0&&;;;;;0&&;;;;;0&&;;;;;0&&;;;;;0end{alignedat}},right]

entonces los vectores de columna c₁,... c₆ satisfacer las ecuaciones

{begin{alignedat}{1}mathbf {c} _{3}&=-3mathbf {c} _{1}+5mathbf {c} _{2}\mathbf {c} _{5}&=2mathbf {c} _{1}-mathbf {c} _{2}+7mathbf {c} _{4}\mathbf {c} _{6}&=4mathbf {c} _{2}-9mathbf {c} _{4}end{alignedat}}

Sigue que los vectores de fila de A satisfacer las ecuaciones

{begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.end{alignedat}}

En particular, los vectores de fila de A son una base para el espacio nulo de la matriz correspondiente.

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