Subconjunto

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Conjunto cuyos elementos pertenecen a otro conjunto

Diagrama de Euler
A es un subconjunto de B,A⊆B, y a la inversa B es un superset de A,B⊇A.

En matemáticas, el conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A también son elementos de B; B es entonces un superconjunto de A. Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B. La relación de un conjunto que es un subconjunto de otro se denomina inclusión (oa veces contención). A es un subconjunto de B también puede expresarse como B incluye (o contiene) A o A está incluido (o contenido) en B. Un subconjunto k es un subconjunto con elementos k.

La relación de subconjunto define un orden parcial en los conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra booleana bajo la relación de subconjunto, en la que la unión y el encuentro están dados por la intersección y la unión, y la relación de subconjunto en sí misma es la relación de inclusión booleana.

Definición

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B, entonces:

A es un subset de B, denotado por $Asubseteq B$ , o equivalentemente,
B es un superset de A, denotado por $Bsupseteq A.$

Si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A), entonces:

A es un apropiado (o estricto) subset de B, denotado por $Asubsetneq B$ , o equivalentemente,
B es un apropiado (o estricto) superset de A, denotado por ${displaystyle Bsupsetneq A}$ .

El conjunto vacío, escrito ${displaystyle {}}$ o ${displaystyle varnothing}$ es un subconjunto de cualquier conjunto X y un subconjunto adecuado de cualquier conjunto excepto en sí mismo, la relación de inclusión $subseteq$ es una orden parcial en el conjunto ${mathcal {P}}(S)$ (el conjunto de poder S—el conjunto de todos los subconjuntos de S) definido por ${displaystyle Aleq Biff Asubseteq B}$ . También podemos ordenar parcialmente ${mathcal {P}}(S)$ by reverse set inclusion by defining ${displaystyle Aleq B{text{ if and only if }}Bsubseteq A.}$

Cuando se cuantifica, $Asubseteq B$ está representado ${displaystyle forall xleft(xin Aimplies xin Bright).}$

Podemos probar la declaración. $Asubseteq B$ aplicando una técnica de prueba conocida como el argumento del elemento:

Let sets A y B se da. Para demostrarlo ${displaystyle Asubseteq B,}$
Supongo que a es un elemento particular pero arbitrariamente elegido de A
show que a es un elemento B.

La validez de esta técnica se puede ver como consecuencia de la generalización universal: la técnica muestra ${displaystyle cin Aimplies cin B}$ para un elemento elegido arbitrariamente c. La generalización universal implica entonces ${displaystyle forall xleft(xin Aimplies xin Bright),}$ que equivale a ${displaystyle Asubseteq B,}$ como se indicó anteriormente.

El conjunto de todos los subconjuntos $A$ es llamado su poder, y es denotado por ${mathcal {P}}(A)$ . El conjunto de todos $k$ - Subconjuntos de $A$ es denotado por ${displaystyle {tbinom {A}{k}}}$ , en analogía con la notación de coeficientes binomiales, que cuenta el número de $k$ - Subconjuntos de un $n$ -Element set. En la teoría del conjunto, la notación ${displaystyle [A]^{k}}$ es también común, especialmente cuando $k$ es un número cardenal transfinito.

Propiedades

Un juego A es un subset de B si y sólo si su intersección es igual a A.

Formally:

{displaystyle Asubseteq B{text{ if and only if }}Acap B=A.}

Un juego A es un subset de B si y sólo si su sindicato es igual a B.

Formally:

{displaystyle Asubseteq B{text{ if and only if }}Acup B=B.}

A finito set A es un subset de B, si y sólo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A.

Formally:

{displaystyle Asubseteq B{text{ if and only if }}|Acap B|=|A|.}

Símbolos ⊂ y ⊃

Algunos autores utilizan los símbolos $subset$ y $supset$ indicar subset y superset respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos $subseteq$ y ${displaystyle supseteq.}$ Por ejemplo, para estos autores, es verdad de cada conjunto A que ${displaystyle Asubset A.}$

Otros autores prefieren utilizar los símbolos $subset$ y $supset$ indicar apropiado (también llamado estricto) subconjunto y apropiado superset respectivamente; es decir, con el mismo significado y en lugar de los símbolos $subsetneq$ y ${displaystyle supsetneq.}$ Este uso hace $subseteq$ y $subset$ análogo a los símbolos de desigualdad $leq$ y $<math alttext="{displaystyle ..{displaystyle } <img alt="{displaystyle$ Por ejemplo, si ${displaystyle xleq y,}$ entonces x puede ser o no igual Sí., pero si $<math alttext="{displaystyle xx.Sí.,{displaystyle xtraducido,} <img alt="{displaystyle x$ entonces x definitivamente no es igual Sí., y es menos que Sí.. Del mismo modo, utilizando la convención que $subset$ es subconjunto adecuado, si ${displaystyle Asubseteq B,}$ entonces A puede ser o no igual B, pero si ${displaystyle Asubset B,}$ entonces A definitivamente no es igual B.

Ejemplos de subconjuntos

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos

El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto adecuado de B = {1, 2, 3}, así ambas expresiones $Asubseteq B$ y $Asubsetneq B$ son verdad.
El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no a proper subset) of E = {1, 2, 3}, thus ${displaystyle Dsubseteq E}$ es verdad, y ${displaystyle Dsubsetneq E}$ no es cierto (falso).
Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, pero no un subconjunto adecuado. () ${displaystyle Xsubseteq X}$ es verdad, y ${displaystyle Xsubsetneq X}$ es falso para cualquier juego X.)
El set {x: x es un número primo mayor de 10} es un subconjunto apropiado de {x: x es un número extraño mayor que 10}
El conjunto de números naturales es un subconjunto adecuado del conjunto de números racionales; igualmente, el conjunto de puntos en un segmento de línea es un subconjunto adecuado del conjunto de puntos en una línea. Estos son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como todo el conjunto son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, el número de elementos, de un conjunto finito) en su conjunto; tales casos pueden ser contrarios a la intuición inicial de uno.
El conjunto de números racionales es un subconjunto adecuado del conjunto de números reales. En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero este último conjunto tiene una mayor cardinalidad (o poder) que el anterior set.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler:

A es un subconjunto adecuado de B
C es un subconjunto pero no un subconjunto adecuado de B

Otras propiedades de la inclusión

Asubseteq B

{displaystyle Bsubseteq C}

implicación

{displaystyle Asubseteq C.}

La inclusión es el orden parcial canónico, en el sentido de que cada conjunto parcialmente ordenado ${displaystyle (X,preceq)}$ es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinal son un ejemplo simple: si cada ordinal n se identifica con el conjunto $[n]$ de todos los ordinales menos o igual a n, entonces $aleq b$ si ${displaystyle [a]subseteq [b].}$

Para el sistema de poder ${displaystyle operatorname {mathcal {P}} (S)}$ de un conjunto S, el orden parcial de inclusión es —hasta un isomorfismo de orden— el producto cartesiano de ${displaystyle k=|S|}$ (el cardenalismo S) copias de la orden parcial en ${0,1}$ para la cual $<math alttext="{displaystyle 00.1.{displaystyle 0 realizadas1.} <img alt="{displaystyle 0$ Esto puede ilustrarse mediante la enumeración ${displaystyle S=left{s_{1},s_{2},ldotss_{k}right},}$ , y asociarse con cada subconjunto ${displaystyle Tsubseteq S}$ (es decir, cada elemento de $2^{S}$ ) k-tuple de ${displaystyle {0,1}^{k},}$ de los cuales ila coordinación es 1 si y sólo si $s_{i}$ es miembro de T.