Srinivasa Ramanujan

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matemático indio (1887-1920)

Srinivasa Ramanujan FRS (nacido Srinivasa Ramanujan Aiyangar, IPA: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 de diciembre de 1887 - 26 de abril de 1920) fue un matemático indio. Aunque casi no tenía una formación formal en matemáticas puras, hizo contribuciones sustanciales al análisis matemático, la teoría de números, las series infinitas y las fracciones continuas, incluidas las soluciones a problemas matemáticos que entonces se consideraban irresolubles.

Ramanujan inicialmente desarrolló su propia investigación matemática de forma aislada. Según Hans Eysenck, “trató de interesar a los principales matemáticos profesionales en su trabajo, pero fracasó en su mayor parte. Lo que tenía que mostrarles era demasiado novedoso, demasiado desconocido y, además, presentado de formas inusuales; no podían ser molestados". Buscando matemáticos que pudieran comprender mejor su trabajo, en 1913 inició una correspondencia postal con el matemático inglés G. H. Hardy en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Reconociendo el trabajo de Ramanujan como extraordinario, Hardy hizo los arreglos para que viajara a Cambridge. En sus notas, Hardy comentó que Ramanujan había producido nuevos teoremas innovadores, incluidos algunos que “me derrotaron por completo; Nunca antes había visto nada parecido a ellos & #34;, y algunos resultados recientemente probados pero muy avanzados.

Durante su corta vida, Ramanujan compiló de forma independiente casi 3900 resultados (principalmente identidades y ecuaciones). Muchos eran completamente nuevos; sus resultados originales y muy poco convencionales, como el número primo de Ramanujan, la función theta de Ramanujan, las fórmulas de partición y las funciones theta simuladas, han abierto áreas de trabajo completamente nuevas e inspirado una gran cantidad de investigaciones adicionales. De sus miles de resultados, todos menos una docena o dos ahora han demostrado ser correctos. The Ramanujan Journal, una revista científica, se estableció para publicar trabajos en todas las áreas de las matemáticas influenciadas por Ramanujan, y sus cuadernos, que contienen resúmenes de sus resultados publicados y no publicados, se han analizado y estudiado durante décadas desde su muerte como fuente de nuevas ideas matemáticas. Todavía en 2012, los investigadores continuaron descubriendo que los meros comentarios en sus escritos sobre "propiedades simples" y "salidas similares" porque ciertos descubrimientos eran en sí mismos profundos y sutiles resultados de la teoría de números que permanecieron insospechados hasta casi un siglo después de su muerte. Se convirtió en uno de los miembros más jóvenes de la Royal Society y solo el segundo miembro indio, y el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College, Cambridge. De sus cartas originales, Hardy afirmó que una sola mirada era suficiente para demostrar que solo podían haber sido escritas por un matemático del más alto calibre, comparando a Ramanujan con genios matemáticos como Euler y Jacobi.

En 1919, la mala salud, que ahora se cree que fue amebiasis hepática (una complicación de episodios de disentería muchos años antes), obligó a Ramanujan a regresar a la India, donde murió en 1920 a la edad de 32 años. Las últimas cartas a Hardy, escritas en enero de 1920, muestran que todavía continuaba produciendo nuevas ideas y teoremas matemáticos. Su 'cuaderno perdido', que contenía descubrimientos del último año de su vida, causó gran revuelo entre los matemáticos cuando fue redescubierto en 1976.

Primeros años

Ramanujan's birthplace on 18 Alahiri Street, Erode, now in Tamil Nadu

Casa de Ramanujan en la calle Sarangapani Sannidhi, Kumbakonam

Ramanujan (literalmente, "hermano menor de Rama", una deidad hindú) nació el 22 de diciembre de 1887 en una familia tamil brahmán Iyengar en Erode, en la actual Tamil Nadu. Su padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distrito de Thanjavur, trabajaba como empleado en una tienda de saris. Su madre, Komalatammal, era ama de casa y cantaba en un templo local. Vivían en una pequeña casa tradicional en la calle Sarangapani Sannidhi en la ciudad de Kumbakonam. La casa familiar es ahora un museo. Cuando Ramanujan tenía un año y medio, su madre dio a luz un hijo, Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan contrajo viruela, pero se recuperó, a diferencia de los otros 4.000 que murieron en un mal año en el distrito de Thanjavur por esta época. Se mudó con su madre a casa de sus padres' casa en Kanchipuram, cerca de Madras (ahora Chennai). Su madre dio a luz a dos hijos más, en 1891 y 1894, quienes murieron antes de cumplir un año.

El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local. Después de que su abuelo materno perdiera su trabajo como funcionario judicial en Kanchipuram, Ramanujan y su madre regresaron a Kumbakonam y él se inscribió en la escuela primaria de Kangayan. Cuando murió su abuelo paterno, lo enviaron de regreso con sus abuelos maternos, que entonces vivían en Madrás. No le gustaba la escuela en Madrás y trató de evitar asistir. Su familia reclutó a un policía local para asegurarse de que asistiera a la escuela. En seis meses, Ramanujan estaba de vuelta en Kumbakonam.

Como el padre de Ramanujan estaba en el trabajo la mayor parte del día, su madre se hizo cargo del niño y tenían una relación cercana. De ella, aprendió sobre la tradición y los puranas, a cantar canciones religiosas, a asistir a pujas en el templo ya mantener hábitos alimenticios particulares, todo parte de la cultura brahmán. En la Escuela Primaria Kangayan, Ramanujan se desempeñó bien. Justo antes de cumplir 10 años, en noviembre de 1897, aprobó sus exámenes primarios de inglés, tamil, geografía y aritmética con las mejores calificaciones del distrito. Ese año, Ramanujan ingresó a la escuela secundaria superior de la ciudad, donde se encontró con las matemáticas formales por primera vez.

Un niño prodigio a los 11 años, había agotado los conocimientos matemáticos de dos estudiantes universitarios que se hospedaban en su casa. Más tarde le prestaron un libro escrito por S. L. Loney sobre trigonometría avanzada. Dominó esto a la edad de 13 años mientras descubría teoremas sofisticados por su cuenta. A los 14, recibió certificados de mérito y premios académicos que continuaron a lo largo de su carrera escolar, y ayudó a la escuela en la logística de asignar sus 1200 estudiantes (cada uno con diferentes necesidades) a sus aproximadamente 35 maestros. Completó los exámenes de matemáticas en la mitad del tiempo asignado y mostró familiaridad con la geometría y las series infinitas. A Ramanujan se le mostró cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902. Más tarde desarrollaría su propio método para resolver el cuártico. En 1903, trató de resolver la quíntica, sin saber que era imposible de resolver con radicales.

En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de la biblioteca de A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, la colección de 5000 teoremas de G. S. Carr. Según los informes, Ramanujan estudió en detalle el contenido del libro. Al año siguiente, Ramanujan desarrolló e investigó de forma independiente los números de Bernoulli y calculó la constante de Euler-Mascheroni hasta 15 decimales. Sus compañeros en ese momento dijeron que "rara vez lo entendían" y "se paró con respeto reverencial" de él.

Cuando se graduó de la escuela secundaria superior de la ciudad en 1904, el director de la escuela, Krishnaswami Iyer, le otorgó a Ramanujan el premio K. Ranganatha Rao de matemáticas. Iyer presentó a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía puntajes superiores al máximo. Recibió una beca para estudiar en Government Arts College, Kumbakonam, pero estaba tan concentrado en las matemáticas que no pudo concentrarse en ninguna otra materia y reprobó la mayoría de ellas, perdiendo su beca en el proceso. En agosto de 1905, Ramanujan se escapó de su casa, se dirigió a Visakhapatnam y permaneció en Rajahmundry durante aproximadamente un mes. Más tarde se matriculó en el Pachaiyappa's College en Madrás. Allí, aprobó matemáticas, eligiendo solo intentar preguntas que le atraían y dejando el resto sin respuesta, pero se desempeñó mal en otras materias, como inglés, fisiología y sánscrito. Ramanujan reprobó su examen de Fellow of Arts en diciembre de 1906 y nuevamente un año después. Sin un título de FA, dejó la universidad y continuó realizando una investigación independiente en matemáticas, viviendo en la pobreza extrema y, a menudo, al borde de la inanición.

En 1910, después de una reunión entre Ramanujan, de 23 años, y el fundador de la Sociedad Matemática India, V. Ramaswamy Aiyer, Ramanujan comenzó a obtener reconocimiento en los círculos matemáticos de Madrás, lo que llevó a su inclusión como investigador de la Universidad de Madrás.

La edad adulta en la India

El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con Janaki (Janakiammal; 21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994), una niña que su madre había seleccionado para él un año antes y que tenía diez años cuando se casaron. Entonces no era inusual que los matrimonios se arreglaran con niñas a una edad temprana. Janaki era de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de tren de Marudur (distrito de Karur). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia de matrimonio. Como era común en ese momento, Janaki continuó permaneciendo en su hogar materno durante tres años después del matrimonio, hasta que alcanzó la pubertad. En 1912, ella y la madre de Ramanujan se unieron a Ramanujan en Madrás.

Después del matrimonio, Ramanujan desarrolló hidrocele testicular. La condición podría tratarse con una operación quirúrgica de rutina que liberaría el líquido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia no podía pagar la operación. En enero de 1910, un médico se ofreció como voluntario para realizar la cirugía sin costo alguno.

Después de su exitosa cirugía, Ramanujan buscó trabajo. Se quedó en la casa de un amigo mientras iba de puerta en puerta por Madrás en busca de un puesto administrativo. Para ganar dinero, fue tutor de estudiantes en Presidency College que se estaban preparando para su examen de Fellow of Arts.

A finales de 1910, Ramanujan volvió a enfermar. Temía por su salud y le dijo a su amigo R. Radakrishna Iyer que "le entregara [sus cuadernos] al profesor Singaravelu Mudaliar [el profesor de matemáticas en el Pachaiyappa's College] o al profesor británico Edward B. Ross"., del Madras Christian College." Después de que Ramanujan se recuperó y recuperó sus cuadernos de Iyer, tomó un tren de Kumbakonam a Villupuram, una ciudad bajo control francés. En 1912, Ramanujan se mudó con su esposa y su madre a una casa en la calle Saiva Muthaiah Mudali, George Town, Madrás, donde vivieron durante unos meses. En mayo de 1913, tras conseguir un puesto de investigador en la Universidad de Madrás, Ramanujan se mudó con su familia a Triplicane.

Curso de la carrera de matemáticas

En 1910, Ramanujan conoció al subcoleccionista V. Ramaswamy Aiyer, quien fundó la Sociedad Matemática India. Deseando un trabajo en el departamento de ingresos donde trabajaba Aiyer, Ramanujan le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como recordaría Aiyer más tarde:

Me sorprendió los extraordinarios resultados matemáticos contenidos en [los cuadernos]. No tenía la mente de ahogar a su genio con una cita en los escalones más bajos del departamento de ingresos.

Aiyer envió a Ramanujan, con cartas de presentación, a sus amigos matemáticos de Madrás. Algunos de ellos miraron su trabajo y le dieron cartas de presentación para R. Ramachandra Rao, el recaudador del distrito de Nellore y el secretario de la Sociedad Matemática India. Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba que fuera su propio trabajo. Ramanujan mencionó una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un notable matemático de Bombay, en la que Saldhana expresó su falta de comprensión de su trabajo, pero concluyó que no era un fraude. El amigo de Ramanujan, C. V. Rajagopalachari, trató de calmar las dudas de Rao sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao accedió a darle otra oportunidad y escuchó mientras Ramanujan discutía las integrales elípticas, las series hipergeométricas y su teoría de las series divergentes, que según Rao finalmente lo convencieron de la brillantez de Ramanujan. Cuando Rao le preguntó qué quería, Ramanujan respondió que necesitaba trabajo y apoyo financiero. Rao accedió y lo envió a Madrás. Continuó su investigación con la ayuda financiera de Rao. Con la ayuda de Aiyer, Ramanujan publicó su trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society.

Uno de los primeros problemas que planteó en el diario fue encontrar el valor de:

{sqrt {1+2{sqrt {1+3{sqrt {1+cdots }}}}}}.

Esperó a que se le ofreciera una solución en tres números, durante seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan proporcionó él mismo una solución incompleta al problema. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que podría usarse para resolver el problema de los radicales infinitamente anidados.

x+n+a={sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){sqrt {cdots }}}}}}

Usando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en el Journal fue simplemente 3, obtenida al establecer $x = 2$ , $n = 1$ y $a = 0$ . Ramanujan escribió su primer artículo formal para el Journal sobre las propiedades de los números de Bernoulli. Una propiedad que descubrió fue que los denominadores (secuencia A027642 en el OEIS) de las fracciones de los números de Bernoulli siempre son divisibles por seis. También ideó un método para calcular $B n$ basado en números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos sigue:

Se observará que si n es par pero no igual a cero,

$B n$ es una fracción y el numerador de $B n / n$ en sus términos más bajos es un número primo,
el denominador $B n$ contiene cada uno de los factores 2 y 3 una vez,
$2 n (22) n -1) B n / n$ es un entero y $2(2) n -1) B n$ consecuentemente es un extraño entero.

En su artículo de 17 páginas "Algunas propiedades de los números de Bernoulli" (1911), Ramanujan dio tres demostraciones, dos corolarios y tres conjeturas. Su escritura inicialmente tenía muchos defectos. Como señaló el editor de Journal M. T. Narayana Iyengar:

Los métodos del Sr. Ramanujan eran tan aburridos y novedosos y su presentación carente de claridad y precisión, que el ordinario [lector matemático], no acostumbrado a tal gimnasia intelectual, apenas podía seguirlo.

Ramanujan luego escribió otro artículo y también continuó proporcionando problemas en el Journal. A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina del Contador General de Madrás, con un salario mensual de 20 rupias. Duró sólo unas pocas semanas. Hacia el final de esa asignación, solicitó un puesto bajo la dirección de Contador Jefe del Madras Port Trust.

En una carta fechada el 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:

Señor,
Entiendo que hay un empleado vacante en su oficina, y ruego que solicite lo mismo. He aprobado el Examen de Matriculación y he estudiado hasta el F.A. pero se me impidió seguir mis estudios debido a varias circunstancias indecibles. Sin embargo, he estado dedicando todo mi tiempo a las matemáticas y desarrollando el tema. Puedo decir que estoy bastante seguro de que puedo hacer justicia a mi trabajo si soy nombrado para el puesto. Por lo tanto, pido que usted será lo suficientemente bueno para conferir la cita a mí.

Adjunto a su solicitud había una recomendación de E. W. Middlemast, profesor de matemáticas en el Presidency College, quien escribió que Ramanujan era "un joven con una capacidad bastante excepcional en matemáticas". Tres semanas después de presentar la solicitud, el 1 de marzo, Ramanujan se enteró de que había sido aceptado como empleado de contabilidad de Clase III, Grado IV, ganando 30 rupias por mes. En su oficina, Ramanujan completaba fácil y rápidamente el trabajo que le encomendaban y dedicaba su tiempo libre a la investigación matemática. El jefe de Ramanujan, Sir Francis Spring, y S. Narayana Iyer, un colega que también fue tesorero de la Sociedad Matemática India, alentaron a Ramanujan en sus actividades matemáticas.

Contacto con matemáticos británicos

En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y E. W. Middlemast intentaron presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. M. J. M. Hill, del University College London, comentó que los trabajos de Ramanujan estaban llenos de agujeros. Dijo que aunque Ramanujan tenía 'gusto por las matemáticas y cierta habilidad', carecía de la formación y los cimientos necesarios para ser aceptado por los matemáticos. Aunque Hill no se ofreció a tomar a Ramanujan como estudiante, brindó un asesoramiento profesional completo y serio sobre su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas para destacados matemáticos de la Universidad de Cambridge.

Los dos primeros profesores, H. F. Baker y E. W. Hobson, devolvieron los trabajos de Ramanujan sin comentarios. El 16 de enero de 1913, Ramanujan le escribió a G. H. Hardy. Viniendo de un matemático desconocido, las nueve páginas de matemáticas hicieron que Hardy inicialmente viera los manuscritos de Ramanujan como un posible fraude. Hardy reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras "parecían apenas posibles de creer". Uno de los teoremas que Hardy encontró sorprendentes estaba en la parte inferior de la página tres (válido para $0 < a < b + 1 / 2):$

{displaystyle int limits _{0}^{infty }{frac {1+{dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}times {frac {1+{dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}times cdots ,dx={frac {sqrt {pi }}{2}}times {frac {Gamma left(a+{frac {1}{2}}right)Gamma (b+1)Gamma (b-a+1)}{Gamma (a)Gamma left(b+{frac {1}{2}}right)Gamma left(b-a+{frac {1}{2}}right)}}.}

Hardy también quedó impresionado por algunos de los otros trabajos de Ramanujan relacionados con series infinitas:

{displaystyle 1-5left({frac {1}{2}}right)^{3}+9left({frac {1times 3}{2times 4}}right)^{3}-13left({frac {1times 3times 5}{2times 4times 6}}right)^{3}+cdots ={frac {2}{pi }}}

{displaystyle 1+9left({frac {1}{4}}right)^{4}+17left({frac {1times 5}{4times 8}}right)^{4}+25left({frac {1times 5times 9}{4times 8times 12}}right)^{4}+cdots ={frac {2{sqrt {2}}}{{sqrt {pi }},Gamma ^{2}left({frac {3}{4}}right)}}.}

El primer resultado ya lo había determinado G. Bauer en 1859. El segundo era nuevo para Hardy y se derivó de una clase de funciones llamadas series hipergeométricas, que habían sido investigadas por primera vez por Euler y Gauss. Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes" que el trabajo de Gauss sobre integrales. Después de ver los teoremas de Ramanujan sobre fracciones continuas en la última página de los manuscritos, Hardy dijo que los teoremas “me derrotaron por completo; Nunca antes había visto nada parecido a ellos", y que "deben ser ciertos, porque, si no fueran ciertos, nadie tendría imaginación para inventarlos". Hardy le pidió a un colega, J. E. Littlewood, que echara un vistazo a los papeles. Littlewood quedó asombrado por el genio de Ramanujan. Después de discutir los documentos con Littlewood, Hardy concluyó que las cartas eran "ciertamente las más notables que he recibido". y que Ramanujan era 'un matemático de la más alta calidad, un hombre de una originalidad y un poder totalmente excepcionales'. Un colega, E. H. Neville, comentó más tarde que "ningún [teorema] podría haberse establecido en el examen matemático más avanzado del mundo".

El 8 de febrero de 1913, Hardy le escribió a Ramanujan una carta en la que expresaba interés en su trabajo y agregaba que era "esencial que yo viera pruebas de algunas de sus afirmaciones". Antes de que su carta llegara a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. El secretario Arthur Davies del Comité Asesor para Estudiantes Indios se reunió con Ramanujan para hablar sobre el viaje al extranjero. De acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó a dejar su país para 'ir a una tierra extranjera'. Mientras tanto, le envió a Hardy una carta llena de teoremas, escribiendo: "He encontrado en ti un amigo que ve mi trabajo con simpatía".

Para complementar el respaldo de Hardy, Gilbert Walker, exprofesor de matemáticas en el Trinity College de Cambridge, miró el trabajo de Ramanujan y expresó asombro, instando al joven a pasar un tiempo en Cambridge. Como resultado del respaldo de Walker, B. Hanumantha Rao, profesor de matemáticas en una facultad de ingeniería, invitó al colega de Ramanujan, Narayana Iyer, a una reunión de la Junta de Estudios de Matemáticas para discutir "qué podemos hacer por S. Ramanujan". La junta acordó otorgar a Ramanujan una beca de investigación mensual de 75 rupias para los próximos dos años en la Universidad de Madrás.

Mientras estaba comprometido como estudiante de investigación, Ramanujan continuó enviando artículos al Journal of the Indian Mathematical Society. En un caso, Iyer envió algunos de los teoremas de Ramanujan sobre la suma de serie a la revista, agregando: "El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, el estudiante de matemáticas de la Universidad de Madras." Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross de Madras Christian College, a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con los ojos brillantes y preguntó a sus alumnos: '¿Ranujan sabe polaco?' 34; La razón fue que en un artículo, Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuyo artículo acababa de llegar en el correo del día. En sus artículos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para hacer que las integrales definidas sean más fáciles de resolver. Trabajando a partir del teorema integral de Giuliano Frullani de 1821, Ramanujan formuló generalizaciones que podrían hacerse para evaluar integrales anteriormente inflexibles.

La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negara a venir a Inglaterra. Hardy reclutó a un colega que daba conferencias en Madrás, E. H. Neville, para guiar y traer a Ramanujan a Inglaterra. Neville le preguntó a Ramanujan por qué no iría a Cambridge. Aparentemente, Ramanujan ahora había aceptado la propuesta; Neville dijo: 'Ramanujan no necesitaba conversión'. y "sus padres' se había retirado la oposición". Aparentemente, la madre de Ramanujan tuvo un vívido sueño en el que la diosa de la familia, la deidad de Namagiri, le ordenó "no interponerse más entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida".. El 17 de marzo de 1914, Ramanujan viajó a Inglaterra en barco, dejando a su esposa para quedarse con sus padres en la India.

La vida en Inglaterra

Ramanujan (centro) y su colega G. H. Hardy (derecha), con otros científicos, fuera de la Cámara del Senado, Cambridge, c.1914-19

Corte de Whewell, Trinity College, Cambridge

Ramanujan partió de Madrás a bordo del S.S. Nevasa el 17 de marzo de 1914. Cuando desembarcó en Londres el 14 de abril, Neville lo estaba esperando con un automóvil. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road en Cambridge. Ramanujan inmediatamente comenzó su trabajo con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, Ramanujan se mudó de la casa de Neville y se instaló en Whewell's Court, a cinco minutos a pie de la habitación de Hardy.

Hardy y Littlewood comenzaron a mirar los cuadernos de Ramanujan. Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras cartas, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Hardy vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos y el resto eran nuevos avances. Ramanujan dejó una profunda impresión en Hardy y Littlewood. Littlewood comentó: "Puedo creer que es al menos un Jacobi", mientras que Hardy dijo que "solo puedo compararlo con Euler o Jacobi".

Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó allí parte de sus hallazgos. Hardy y Ramanujan tenían personalidades muy contrastantes. Su colaboración fue un choque de diferentes culturas, creencias y estilos de trabajo. En las décadas anteriores, se cuestionaron los fundamentos de las matemáticas y se reconoció la necesidad de pruebas matemáticamente rigurosas. Hardy era ateo y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso que confiaba mucho en su intuición y perspicacia. Hardy hizo todo lo posible para llenar los vacíos en la educación de Ramanujan y guiarlo en la necesidad de pruebas formales para respaldar sus resultados, sin obstaculizar su inspiración, un conflicto que a ninguno de los dos le resultó fácil.

Ramanujan obtuvo un título de Bachelor of Arts by Research (el predecesor del doctorado) en marzo de 1916 por su trabajo sobre números altamente compuestos, cuyas secciones de la primera parte se habían publicado el año anterior en las Proceedings of the London Mathematical Society. El artículo tenía más de 50 páginas y demostraba varias propiedades de tales números. A Hardy no le gustó esta área temática, pero comentó que aunque se relacionaba con lo que él llamó el "remanso de las matemáticas", Ramanujan mostró en ella un "dominio extraordinario sobre el álgebra de las desigualdades".

El 6 de diciembre de 1917, Ramanujan fue elegido miembro de la London Mathematical Society. El 2 de mayo de 1918, fue elegido miembro de la Royal Society, el segundo indio admitido, después de Ardaseer Cursetjee en 1841. A los 31 años, Ramanujan era uno de los miembros más jóvenes en la historia de la Royal Society. Fue elegido "por su investigación en funciones elípticas y la Teoría de Números". El 13 de octubre de 1918, fue el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College de Cambridge.

Enfermedad y muerte

Ramanujan tuvo numerosos problemas de salud a lo largo de su vida. Su salud empeoró en Inglaterra; posiblemente también fue menos resistente debido a la dificultad de cumplir con los estrictos requisitos dietéticos de su religión allí y debido al racionamiento durante la guerra en 1914-18. Le diagnosticaron tuberculosis y una deficiencia vitamínica severa, y lo recluyeron en un sanatorio. En 1919, regresó a Kumbakonam, presidencia de Madrás, y en 1920 murió a la edad de 32 años. Después de su muerte, su hermano Tirunarayanan compiló las notas manuscritas restantes de Ramanujan, que consistían en fórmulas sobre módulos singulares, series hipergeométricas y continuación. fracciones

La viuda de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, se mudó a Bombay. En 1931, regresó a Madrás y se instaló en Triplicane, donde se mantuvo con una pensión de la Universidad de Madrás y los ingresos de la sastrería. En 1950, adoptó a un hijo, W. Narayanan, quien finalmente se convirtió en funcionario del Banco Estatal de la India y formó una familia. En sus últimos años, recibió una pensión vitalicia del antiguo empleador de Ramanujan, Madras Port Trust, y pensiones de, entre otros, la Academia Nacional de Ciencias de la India y los gobiernos estatales de Tamil Nadu, Andhra Pradesh y Bengala Occidental.. Continuó atesorando la memoria de Ramanujan y participó activamente en los esfuerzos para aumentar su reconocimiento público; prominentes matemáticos, incluidos George Andrews, Bruce C. Berndt y Béla Bollobás, se aseguraron de visitarla durante su estancia en la India. Murió en su residencia de Triplicane en 1994.

Un análisis de 1994 de los registros médicos y síntomas de Ramanujan realizado por el Dr. D. A. B. Young concluyó que sus síntomas médicos, incluidas sus recaídas pasadas, fiebres y afecciones hepáticas, eran mucho más parecidos a los resultantes de la amebiasis hepática, una enfermedad luego difundido en Madrás, que la tuberculosis. Tuvo dos episodios de disentería antes de salir de la India. Cuando no se trata adecuadamente, la disentería amebiana puede permanecer latente durante años y provocar amebiasis hepática, cuyo diagnóstico no estaba bien establecido en ese momento. En ese momento, si se diagnosticaba correctamente, la amebiasis era una enfermedad tratable y, a menudo, curable; Los soldados británicos que la contrajeron durante la Primera Guerra Mundial se estaban curando con éxito de la amebiasis en la época en que Ramanujan abandonó Inglaterra.

Personalidad y vida espiritual

Ramanujan ha sido descrito como una persona de disposición un tanto tímida y tranquila, un hombre digno y de modales agradables. Vivió una vida sencilla en Cambridge. Los primeros biógrafos indios de Ramanujan lo describen como un hindú rigurosamente ortodoxo. Atribuyó su perspicacia a la diosa de su familia, Namagiri Thayar (Diosa Mahalakshmi) de Namakkal. La miró en busca de inspiración para su trabajo y dijo que soñaba con gotas de sangre que simbolizaban a su consorte, Narasimha. Más tarde tuvo visiones de pergaminos de contenido matemático complejo desplegándose ante sus ojos. A menudo decía: "Una ecuación para mí no tiene significado a menos que exprese un pensamiento de Dios".

Hardy cita a Ramanujan diciendo que todas las religiones le parecían igualmente verdaderas. Hardy argumentó además que la creencia religiosa de Ramanujan había sido romantizada por los occidentales y exagerada, en referencia a su creencia, no a la práctica, por los biógrafos indios. Al mismo tiempo, comentó sobre el estricto vegetarianismo de Ramanujan.

Del mismo modo, en una entrevista con Frontline, Berndt dijo: "Muchas personas promulgan falsamente poderes místicos para el pensamiento matemático de Ramanujan". No es cierto. Ha registrado meticulosamente cada resultado en sus tres cuadernos," especulando además que Ramanujan elaboró resultados intermedios en la pizarra que no podía permitirse el lujo de grabar en papel de forma más permanente.

Logros matemáticos

En matemáticas, existe una distinción entre intuición y formulación o elaboración de una prueba. Ramanujan propuso una gran cantidad de fórmulas que podrían investigarse más adelante en profundidad. G. H. Hardy dijo que los descubrimientos de Ramanujan son inusualmente ricos y que a menudo hay más en ellos de lo que parece inicialmente. Como subproducto de su trabajo, se abrieron nuevas direcciones de investigación. Ejemplos de las más intrigantes de estas fórmulas incluyen series infinitas para π, una de las cuales se da a continuación:

{displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {2{sqrt {2}}}{9801}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}

Este resultado se basa en el discriminante fundamental negativo $d$ = −4 × 58 = −232 con número de clase $h (d)$ = 2. Además, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 y 16 × 9801 = 396², lo cual está relacionado con el hecho de que

{textstyle e^{pi {sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177dots.}

Esto podría compararse con los números de Heegner, que tienen el número de clase 1 y generan fórmulas similares.

La serie de Ramanujan para $π$ converge extraordinariamente rápido y constituye la base de algunos de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular $π$ . Truncar la suma al primer término también da la aproximación 9801√2/4412 para $π$ , que es correcto con seis decimales; truncándolo a los dos primeros términos da un valor correcto con 14 decimales. Véase también la serie Ramanujan-Sato más general.

Una de las capacidades notables de Ramanujan fue la solución rápida de problemas, ilustrada por la siguiente anécdota sobre un incidente en el que P. C. Mahalanobis planteó un problema:

Imagina que estás en una calle con casas marcadas 1 a $n$ . Hay una casa entre $x$ ) tal que la suma de los números de la casa a la izquierda de ella iguala la suma de los números de la casa a su derecha. Si $n$ es entre 50 y 500, lo que son $n$ y $x$ ? Este es un problema bivariado con múltiples soluciones. Ramanujan pensó en ello y dio la respuesta con un giro: Él dio una fracción continua. La parte inusual era que era la solución a toda la clase de problemas. Mahalanobis estaba asombrado y preguntó cómo lo hizo. Es simple. En cuanto escuché el problema, supe que la respuesta era una fracción continua. Que fracción continua, me pregunté. Entonces la respuesta vino a mi mente, contestó Ramanujan."

Su intuición también lo llevó a derivar algunas identidades previamente desconocidas, como

{displaystyle {begin{aligned}&left(1+2sum _{n=1}^{infty }{frac {cos(ntheta)}{cosh(npi)}}right)^{-2}+left(1+2sum _{n=1}^{infty }{frac {cosh(ntheta)}{cosh(npi)}}right)^{-2}\[6pt]={}&{frac {2Gamma ^{4}left({frac {3}{4}}right)}{pi }}={frac {8pi ^{3}}{Gamma ^{4}left({frac {1}{4}}right)}}end{aligned}}}

para todos $Silencio$ tales que $<math alttext="{displaystyle |Re (theta)|SilencioR R ()Silencio Silencio )Silencio.π π {displaystyle SilencioRe (theta) <img alt="{displaystyle |Re (theta)|$ y $<math alttext="{displaystyle |Im (theta)|SilencioI I ()Silencio Silencio )Silencio.π π {displaystyle SilencioIm (theta) <img alt="{displaystyle |Im (theta)|$ , donde $. z)$ es la función gamma, y se relaciona con un valor especial de la función Dedekind eta. Ampliación en serie de poderes y coeficientes equivalentes de $Silencio 0$ , $Silencio 4$ , y $Silencio 8$ da algunas identidades profundas para el secant hiperbólico.

En 1918, Hardy y Ramanujan estudiaron extensamente la función de partición $P (n)$ . Dieron una serie asintótica no convergente que permite el cálculo exacto del número de particiones de un número entero. En 1937, Hans Rademacher refinó su fórmula para encontrar una solución de serie convergente exacta a este problema. El trabajo de Ramanujan y Hardy en esta área dio lugar a un método nuevo y poderoso para encontrar fórmulas asintóticas llamado método del círculo.

En el último año de su vida, Ramanujan descubrió funciones theta ficticias. Durante muchos años, estas funciones fueron un misterio, pero ahora se sabe que son las partes holomorfas de formas armónicas débiles de Maass.

La conjetura de Ramanujan

Aunque hay numerosas declaraciones que podrían haber llevado el nombre de conjetura de Ramanujan, una fue muy influyente en el trabajo posterior. En particular, la conexión de esta conjetura con las conjeturas de André Weil en geometría algebraica abrió nuevas áreas de investigación. Esa conjetura de Ramanujan es una afirmación sobre el tamaño de la función tau, que tiene como función generadora la forma modular discriminante Δ(q), una forma de cúspide típica en la teoría de formas modulares. Finalmente se demostró en 1973, como consecuencia de la demostración de las conjeturas de Weil de Pierre Deligne. La etapa de reducción involucrada es complicada. Deligne ganó una Medalla Fields en 1978 por ese trabajo.

En su artículo "Sobre ciertas funciones aritméticas", Ramanujan definió la llamada función delta, cuyos coeficientes se denominan $τ (n)$ (la función tau de Ramanujan). Demostró muchas congruencias para estos números, como $τ (p) \equiv 1 + p 11 mod 691$ para números primos $p$ . Esta congruencia (y otras similares que demostró Ramanujan) inspiró a Jean-Pierre Serre (Medallista Fields de 1954) a conjeturar que existe una teoría de las representaciones de Galois que "explica" estas congruencias y más generalmente todas las formas modulares. $Δ(z)$ es el primer ejemplo de una forma modular que se estudia de esta manera. Deligne (en su trabajo ganador de la Medalla Fields) demostró la conjetura de Serre. La prueba del último teorema de Fermat procede reinterpretando primero las curvas elípticas y las formas modulares en términos de estas representaciones de Galois. Sin esta teoría, no habría demostración del último teorema de Fermat.

Cuadernos de Ramanujan

Mientras aún estaba en Madrás, Ramanujan anotó la mayor parte de sus resultados en cuatro cuadernos de hojas sueltas. En su mayoría fueron escritos sin ninguna derivación. Este es probablemente el origen del malentendido de que Ramanujan no pudo probar sus resultados y simplemente pensó directamente en el resultado final. El matemático Bruce C. Berndt, en su revisión de estos cuadernos y el trabajo de Ramanujan, dice que Ramanujan ciertamente pudo probar la mayoría de sus resultados, pero decidió no registrar las pruebas en sus notas.

Esto puede deberse a varias razones. Dado que el papel era muy caro, Ramanujan hizo la mayor parte de su trabajo y quizás sus pruebas en pizarra, después de lo cual transfirió los resultados finales al papel. En ese momento, los estudiantes de matemáticas en la presidencia de Madrás usaban comúnmente pizarras. También es muy probable que haya sido influenciado por el estilo del libro de G. S. Carr, que establece resultados sin pruebas. También es posible que Ramanujan considerara que su trabajo era solo para su interés personal y, por lo tanto, registró solo los resultados.

El primer cuaderno tiene 351 páginas con 16 capítulos algo organizados y algo de material no organizado. El segundo tiene 256 páginas en 21 capítulos y 100 páginas desordenadas, y el tercero 33 páginas desordenadas. Los resultados de sus cuadernos inspiraron numerosos artículos de matemáticos posteriores que intentaban probar lo que había encontrado. El mismo Hardy escribió artículos explorando material del trabajo de Ramanujan, al igual que G. N. Watson, B. M. Wilson y Bruce Berndt.

En 1976, George Andrews redescubrió un cuarto cuaderno con 87 páginas desordenadas, el llamado "cuaderno perdido".

Hardy–Ramanujan número 1729

El número 1729 se conoce como el número de Hardy-Ramanujan después de una famosa visita de Hardy para ver a Ramanujan en un hospital. En palabras de Hardy:

Recuerdo que una vez iba a verlo cuando estaba enfermo en Putney. Había montado en taxi número 1729 y remarcado que el número me parecía bastante aburrido, y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", contestó, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresible como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes."

Inmediatamente antes de esta anécdota, Hardy citó a Littlewood diciendo: "Cada entero positivo era uno de los amigos personales [de Ramanujan]".

Las dos formas diferentes son:

{displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}

Las generalizaciones de esta idea han creado la noción de "números de taxis".

Matemáticos N.º 39; vistas de Ramanujan

En su obituario de Ramanujan, escrito para Nature en 1920, Hardy observó que el trabajo de Ramanujan involucraba principalmente campos menos conocidos incluso entre otros matemáticos puros, y concluyó:

Su visión de las fórmulas fue increíble, y más allá de todo lo que he conocido en cualquier matemático europeo. Es quizás inútil especular sobre su historia si hubiera sido introducido a las ideas y métodos modernos a los dieciséis en lugar de a los veintiséis. No es extravagante suponer que podría haberse convertido en el mayor matemático de su tiempo. Lo que realmente hizo es lo suficientemente maravilloso... cuando se hayan completado las investigaciones que su trabajo ha sugerido, probablemente parecerá una buena cosa más maravillosa de lo que hace hoy.

Hardy dijo además:

Combinaba un poder de generalización, un sentimiento de forma y una capacidad de rápida modificación de sus hipótesis, que a menudo eran realmente sorprendentes, y lo hacía, en su propio campo peculiar, sin un rival en su día. Las limitaciones de su conocimiento eran tan sorprendentes como su profundidad. Aquí estaba un hombre que podía resolver ecuaciones modulares y teoremas... a órdenes insensatas, cuyo dominio de fracciones continuas era... más allá de la de cualquier matemático en el mundo, que había encontrado para sí la ecuación funcional de la función zeta y los términos dominantes de muchos de los problemas más famosos en la teoría analítica de los números; y sin embargo nunca había oído de una función doblemente periódica o de la idea complejo de Cauchy

Cuando se le preguntó acerca de los métodos que Ramanujan empleó para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que "se llegó a ellos mediante un proceso de argumentación, intuición e inducción combinados, de los cuales no pudo dar ninguna explicación coherente". " También dijo que "nunca había conocido a un igual, y solo puede compararlo con Euler o Jacobi".

K. Srinivasa Rao ha dicho: "En cuanto a su lugar en el mundo de las matemáticas, citamos a Bruce C. Berndt: 'Paul Erdős nos ha transmitido las calificaciones personales de los matemáticos de Hardy. Supongamos que calificamos a los matemáticos sobre la base del talento puro en una escala de 0 a 100. Hardy se dio a sí mismo una puntuación de 25, J. E. Littlewood 30, David Hilbert 80 y Ramanujan 100.'" Durante una conferencia de mayo de 2011 en IIT Madras, Berndt dijo que en los últimos 40 años, como casi todas las conjeturas de Ramanujan se habían probado, había habido una mayor apreciación del trabajo y la brillantez de Ramanujan, y que Ramanujan& El trabajo de #39 ahora estaba impregnando muchas áreas de las matemáticas y la física modernas.

Reconocimiento póstumo

Busto de Ramanujan en el jardín de Birla Museo Tecnológico Industrial en Kolkata, India

El año después de su muerte, Nature incluyó a Ramanujan entre otros científicos y matemáticos distinguidos en un "Calendario de pioneros científicos" que había alcanzado la eminencia. El estado natal de Ramanujan, Tamil Nadu, celebra el 22 de diciembre (el cumpleaños de Ramanujan) como el 'Día estatal de TI'. El gobierno de India emitió sellos que representan a Ramanujan en 1962, 2011, 2012 y 2016.

Desde el año del centenario de Ramanujan, su cumpleaños, el 22 de diciembre, ha sido celebrado anualmente como el Día de Ramanujan por el Government Arts College, Kumbakonam, donde estudió, y en el IIT Madras en Chennai. El Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) ha creado un premio en nombre de Ramanujan para jóvenes matemáticos de países en desarrollo en cooperación con la Unión Matemática Internacional, que nomina a los miembros del comité del premio. La Universidad SASTRA, una universidad privada con sede en Tamil Nadu, ha instituido el Premio SASTRA Ramanujan de 10 000 dólares estadounidenses que se entregará anualmente a un matemático que no supere los 32 años por contribuciones sobresalientes en un área de las matemáticas influenciada por Ramanujan.

En base a las recomendaciones de un comité designado por la Comisión de Becas Universitarias (UGC), Gobierno de la India, el Centro Srinivasa Ramanujan, establecido por SASTRA, ha sido declarado un centro fuera del campus bajo el ámbito de la Universidad SASTRA. House of Ramanujan Mathematics, un museo de la vida y obra de Ramanujan, también se encuentra en este campus. SASTRA compró y renovó la casa donde vivía Ramanujan en Kumabakonam.

En 2011, en el 125 aniversario de su nacimiento, el gobierno indio declaró que el 22 de diciembre se celebrará todos los años como Día Nacional de las Matemáticas. El entonces primer ministro indio, Manmohan Singh, también declaró que 2012 se celebraría como el Año Nacional de las Matemáticas y el 22 de diciembre como el Día Nacional de las Matemáticas de la India.

Ramanujan IT City es una zona económica especial (SEZ) de tecnología de la información (TI) en Chennai que se construyó en 2011. Situada junto al Tidel Park, incluye 25 acres (10 ha) con dos zonas, con un área total de 5,7 millones de pies cuadrados (530 000 m²), incluidos 4,5 millones de pies cuadrados (420 000 m²) de espacio para oficinas.

Sellos postales conmemorativos

Sellos conmemorativos emitidos por India Post (por año):

1962

2011

2012

2016

En la cultura popular

El hombre que amaba los números es un documental de 1988 PBS NOVA sobre Ramanujan (S15, E9).
El hombre que sabía infinito es una película 2015 basada en el libro de Kanigel del mismo nombre. El actor británico Dev Patel retrata a Ramanujan.
Ramanujan, una película de colaboración indobritánica que narra la vida de Ramanujan, fue publicada en 2014 por la compañía cinematográfica independiente Camphor Cinema. El reparto y la tripulación incluyen el director Gnana Rajasekaran, el cineasta Sunny Joseph y el editor B. Lenin. Las estrellas indias e inglesas Abhinay Vaddi, Suhasini Maniratnam, Bhama, Kevin McGowan y Michael Lieber tienen un papel fundamental.
Nandan Kudhyadi dirigió el documental indio El genio de la Srinivasa Ramanujan (2013) Srinivasa Ramanujan: El matemático y su legado (2016) sobre el matemático.
Ramanujan (El hombre que reforma las matemáticas del siglo XX), una película de docudrama india dirigida por Akashdeep lanzado en 2018.
La novela de M. N. Krish El tren esteradiano weaves Ramanujan y su descubrimiento accidental en su trama que conecta religión, matemáticas, finanzas y economía.
Partición, una obra de Ira Hauptman sobre Hardy y Ramanujan, fue realizada por primera vez en 2013.
La obra Hombre de primera clase por Alter Ego Productions se basó en David Freeman Hombre de primera clase. El juego se centra en Ramanujan y su compleja y disfuncional relación con Hardy. On 16 October 2011 it was announced that Roger Spottiswoode, best known for his James Bond film Mañana nunca muereEstá trabajando en la versión cinematográfica, protagonizada por Siddharth.
Un número desaparecido es una producción de escenario británica por la empresa Complicite que explora la relación entre Hardy y Ramanujan.
La novela de David Leavitt El secretario indio explora los eventos después de la carta de Ramanujan a Hardy.
Google honrado Ramanujan en su 125 aniversario de nacimiento sustituyendo su logotipo por un garabato en su página principal.
Ramanujan fue mencionado en la película de 1997 Buena voluntad cazando, en una escena donde el profesor Gerald Lambeau (Stellan Skarsgård) explica a Sean Maguire (Robin Williams) el genio de Will Hunting (Matt Damon) comparándolo con Ramanujan.

Artículos seleccionados

Ramanujan, S. (1914). "Algunas integrales definidas". Mensajero de matemáticas. 44: 10-18.
Ramanujan, S. (1914). "Algunas integrales definidas conectadas con las sumas de Gauss". Mensajero de matemáticas. 44: 75-85.
Ramanujan, S. (1915). "En ciertas series infinitas". Mensajero de matemáticas. 45: 11–15.
Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos". Proceedings of the London Mathematical Society. 14 (1): 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347.
Ramanujan, S. (1915). "En el número de divisores de un número". The Journal of the Indian Mathematical Society. 7 (4): 131–133.
Ramanujan, S. (1915). "Nota corta: Sobre la suma de las raíces cuadradas de los primeros n números naturales". The Journal of the Indian Mathematical Society. 7 (5): 173-175.
Ramanujan, S. (1916). "Algunas fórmulas en la teoría analítica de los números". Mensajero de matemáticas. 45: 81-84.
Ramanujan, S. (1916). "A Series for Euler's Constant γ". Mensajero de matemáticas. 46: 73-80.
Ramanujan, S. (1917). "Sobre la expresión de números en la forma ax2 + by2 + cz2 + du2". Proceedings Matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge. 19: 11–21.
Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917). "Fórmula sintomática para la distribución de enteros de diversos tipos". Proceedings of the London Mathematical Society. 16 (1): 112–132. doi:10.1112/plms/s2-16.1.112.
Hardy, G. H.; Ramanujan, Srinivasa (1918). "Fórmula sintomática en Análisis Combinatorio". Proceedings of the London Mathematical Society. 17 (1): 75–115. doi:10.1112/plms/s2-17.1.75.
Hardy, G. H.; Ramanujan, Srinivasa (1918). "En los coeficientes en las expansiones de ciertas funciones modulares". Proc. R. Soc. A. 95 (667): 144–155. Bibcode:1918RSPSA..95..144H. doi:10.1098/rspa.1918.0056.
Ramanujan, Srinivasa (1919). "Algunas integrales definidas". The Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (2): 81-88.
Ramanujan, S. (1919). "Una prueba del postulado de Bertrand". The Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (5): 181–183.
Ramanujan, S. (1920). "Una clase de integrales definidos". Quart. J. Pure. Apl. Math. 48: 294–309. hdl:2027/uc1.$b417568.
Ramanujan, S. (1921). "Propiedades de congruencia de particiones". Matemáticas. Z. 9 (1–2): 147–153. doi:10.1007/BF01378341. S2CID 121753215. Extracto publicado póstumamente de un manuscrito más largo e inédito.

Otros trabajos de las matemáticas de Ramanujan

George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Libro de notas perdido de Ramanujan: Parte I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X)
George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Libro de notas perdido de Ramanujan: Parte II, (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8)
George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Libro de notas perdido de Ramanujan: Parte III(Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0)
George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Libro de notas perdido de Ramanujan: Parte IV, (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2)
George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Libro de notas perdido de Ramanujan: Parte V, (Springer, 2018, ISBN 978-319-77832-7)
M. P. Chaudhary, Una solución simple de algunas integrales dada por Srinivasa Ramanujan, (Resonancia: J. Sci. Educación - publicación de Indian Academy of Science, 2008)
M.P. Chaudhary, Mock theta funciona para burlar las conjeturas de theta, SCIENTIA, Serie A: Matemáticas. Sci., (22)(2012) 33–46.
M.P. Chaudhary, Sobre las relaciones modulares para las identidades tipo Roger-Ramanujan, Pacific J. Appl. Math., 7(3)(2016) 177–184.

Publicaciones seleccionadas sobre Ramanujan y su obra

Berndt, Bruce C. (1998). Butzer, P. L.; Oberschelp, W.; Jongen, H. Th. (eds.). Charlemagne y Su Patrimonio: 1200 años de civilización y ciencia en Europa (PDF). Turnhout, Bélgica: Brepols Verlag. pp. 119–146. ISBN 978-2-503-50673-9. Archivado (PDF) original el 9 de septiembre de 2004.
Berndt, Bruce C.; Rankin, Robert A. (1995). Ramanujan: Cartas y Comentario. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0287-8.
Berndt, Bruce C.; Rankin, Robert A. (2001). Ramanujan: Ensayos y encuestas. Vol. 22. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2624-9.
Berndt, Bruce C. (2006). Teoría Número en el Espíritu de Ramanujan. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4178-5.
Berndt, Bruce C. (1985). Libros de notas de Ramanujan: Parte I. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96110-1.
Berndt, Bruce C. (1999). Libros de notas de Ramanujan: Parte II. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96794-3.
Berndt, Bruce C. (2004). Libros de notas de Ramanujan: Parte III. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-97503-0.
Berndt, Bruce C. (1993). Libros de notas de Ramanujan: Parte IV. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94109-7.
Berndt, Bruce C. (2005). Libros de notas de Ramanujan: Parte V. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94941-3.
Hardy, G. H. (Marzo 1937). "El matemático indio Ramanujan". American Mathematical Monthly. 44 (3): 137–155. doi:10.2307/2301659. JSTOR 2301659.
Hardy, G. H. (1978). Ramanujan. Nueva York: Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0136-4.
Hardy, G. H. (1999). Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y trabajo. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2023-0.
Henderson, Harry (1995). Matemáticos modernos. New York: Facts on File Inc. ISBN 978-0-8160-3235-8.
Kanigel, Robert (1991). El hombre que sabía infinito: una vida del genius Ramanujan. Nueva York: Los Hijos de Charles Scribner. ISBN 978-0-684-19259-8.
Leavitt, David (2007). The Indian Clerk (paperback ed.). Bloomsbury. ISBN 978-0-7475-9370-6.
Narlikar, Jayant V. (2003). Scientific Edge: el científico indio de los tiempos védicos a modernos. Nueva Delhi, India: Libros de pingüinos. ISBN 978-0-14-303028-7.
Ono, Ken; Aczel, Amir D. (13 de abril de 2016). Mi búsqueda para Ramanujan: Cómo aprendí a contar. Springer. ISBN 978-3319255668.
Sankaran, T. M. (2005). "Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha" (en Malayalam). Kochi, India: Kerala Sastra Sahithya Parishath. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (Ayuda)

Publicaciones seleccionadas sobre obras de Ramanujan

Ramanujan, Srinivasa; Hardy, G. H.; Seshu Aiyar, P. V.; Wilson, B. M.; Berndt, Bruce C. (2000). Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan. AMS. ISBN 978-0-8218-2076-6.

Este libro fue publicado originalmente en 1927 después de la muerte de Ramanujan. Contiene los 37 artículos publicados en revistas profesionales por Ramanujan durante su vida. La tercera reimpresión contiene comentarios adicionales de Bruce C. Berndt.

S. Ramanujan (1957). Cuadernos (2 volúmenes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Estos libros contienen fotocopias de los cuadernos originales escritos por Ramanujan.

S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. Nueva Delhi: Narosa. ISBN 978-3-540-18726-4.

Este libro contiene copias de fotos de las páginas del "Nota Perdida".

Problemas planteados por Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society.
S. Ramanujan (2012). Cuadernos (2 volúmenes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Esto fue producido a partir de imágenes escaneadas y microfilmizadas de los manuscritos originales por los archivistas expertos de la Biblioteca de Investigación Roja Muthiah, Chennai.

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