Solvencia

En lógica o, más precisamente, en razonamiento deductivo, un argumento es sólido si es válido en forma y sus premisas son verdaderas. La solidez también tiene un significado relacionado en la lógica matemática, en la que los sistemas lógicos son sólidos si y solo si cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema.

Definición

En el razonamiento deductivo, un argumento sólido es un argumento que es válido y todas sus premisas son verdaderas (y, como consecuencia, su conclusión también es verdadera). Un argumento es válido si, asumiendo que sus premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Un ejemplo de un argumento sólido es el siguiente silogismo bien conocido:

(premisos)

Todos los hombres son mortales.

Sócrates es un hombre.

(conclusión)

Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Debido a la necesidad lógica de la conclusión, este argumento es válido; y debido a que el argumento es válido y sus premisas son verdaderas, el argumento es sólido.

Sin embargo, un argumento puede ser válido sin ser sólido. Por ejemplo:

Todos los pájaros pueden volar.

Los pingüinos son pájaros.

Por lo tanto, los pingüinos pueden volar.

Este argumento es válido ya que la conclusión debe ser verdadera suponiendo que las premisas sean verdaderas. Sin embargo, la primera premisa es falsa. No todas las aves pueden volar (por ejemplo, los pingüinos). Para que un argumento sea sólido, el argumento debe ser válido y sus premisas deben ser verdaderas.

Uso en lógica matemática

Sistemas lógicos

En lógica matemática, un sistema lógico tiene la propiedad de solidez si cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema. En la mayoría de los casos, esto se reduce a que sus reglas tienen la propiedad de preservar la verdad. Lo contrario de solidez se conoce como integridad.

Un sistema lógico con implicación sintáctica ⊢ ⊢ {displaystyle vdash } y implicación semántica ⊨ ⊨ {displaystyle models } es sonido si para cualquier secuencia A1,A2,...,An{displaystyle A_{1},A_{2}, A_{n} en su idioma, si A1,A2,...,An⊢ ⊢ C{displaystyle A_{1},A_{2}, A_{n}vdash C}, entonces A1,A2,...,An⊨ ⊨ C{displaystyle A_{1},A_{2},.... En otras palabras, un sistema es sólido cuando todos sus teoremas son tautologies.

La solidez es una de las propiedades más fundamentales de la lógica matemática. La propiedad de solidez proporciona la razón inicial para contar un sistema lógico como deseable. La propiedad de completitud significa que toda validez (verdad) es demostrable. Juntos implican que todas y sólo las validezes son comprobables.

La mayoría de las pruebas de solidez son triviales. Por ejemplo, en un sistema axiomático, la prueba de solidez equivale a verificar la validez de los axiomas y que las reglas de inferencia preservan la validez (o la propiedad más débil, la verdad). Si el sistema permite la deducción al estilo de Hilbert, solo requiere verificar la validez de los axiomas y una regla de inferencia, a saber, modus ponens. (y a veces sustitución)

Las propiedades de solidez vienen en dos variedades principales: solidez débil y fuerte, de las cuales la primera es una forma restringida de la última.

Sólido

La solidez de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea comprobable en ese sistema deductivo también es verdadera en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica del lenguaje en el que se basa esa teoría. En símbolos, donde S es el sistema deductivo, L el lenguaje junto con su teoría semántica, y P una oración de L: si ⊢_S P, entonces también ⊨_L P.

Fuerte solidez

La solidez fuerte de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración P del lenguaje en el que se basa el sistema deductivo que se deriva de un conjunto Γ de oraciones de ese lenguaje es también una consecuencia lógica de ese conjunto, en el sentido de que cualquier modelo que haga verdaderos a todos los miembros de Γ también hará verdadero a P. En símbolos donde Γ es un conjunto de oraciones de L: si Γ ⊢_S P, entonces también Γ ⊨ _L P. Nótese que en el enunciado de solidez fuerte, cuando Γ está vacío, tenemos el enunciado de solidez débil.

Solidez aritmética

Si T es una teoría cuyos objetos de discurso pueden interpretarse como números naturales, decimos que T es aritméticamente correcto si todos los teoremas de T son realmente ciertas sobre los números enteros matemáticos estándar. Para obtener más información, consulte la teoría ω-consistente.

Relación con la integridad

Lo contrario de la propiedad de solidez es la propiedad de integridad semántica. Un sistema deductivo con una teoría semántica es fuertemente completo si cada oración P que es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones Γ puede derivarse en el sistema de deducción a partir de ese conjunto. En símbolos: siempre que Γ ⊨ P, entonces también Γ ⊢ P. La completitud de la lógica de primer orden fue establecida explícitamente por primera vez por Gödel, aunque algunos de los principales resultados estaban contenidos en trabajos anteriores de Skolem.

De manera informal, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las oraciones demostrables son verdaderas. La completitud establece que todas las oraciones verdaderas son demostrables.

El primer teorema de incompletitud de Gödel muestra que para los lenguajes suficientes para hacer una cierta cantidad de aritmética, no puede haber un sistema deductivo consistente y efectivo que sea completo con respecto a la interpretación prevista del simbolismo de ese lenguaje. Por lo tanto, no todos los sistemas deductivos sólidos son completos en este sentido especial de completud, en el que la clase de modelos (hasta el isomorfismo) se restringe al pretendido. La prueba de integridad original se aplica a todos los modelos clásicos, no a alguna subclase propia especial de los previstos.