Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

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Las Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espacio-tiempo que resultan de resolver las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) de la relatividad general. Al resolver las ecuaciones de campo se obtiene una variedad de Lorentz. Las soluciones se clasifican en términos generales como exactas o no exactas.

Las ecuaciones de campo de Einstein son

{displaystyle G_{mu nu }+Lambda g_{mu nu },=kappa T_{mu nu },}

Donde ${displaystyle G_{mu nu }}$ es el tensor de Einstein, ${displaystyle Lambda }$ es la constante cosmológica (a veces tomada como cero para la simplicidad), ${displaystyle g_{mu nu }}$ es el tensor métrico, ${displaystyle kappa }$ es una constante, y ${displaystyle T_{mu nu }}$ es el tensor de la energía.

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Einstein con el tensor de tensión-energía, que representa la distribución de energía, momento y tensión en la variedad espacio-temporal. El tensor de Einstein se construye a partir del tensor métrico y sus derivadas parciales; por tanto, dado el tensor tensión-energía, las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales en las que se puede resolver el tensor métrico.

Cuando sea apropiado, este artículo utilizará la notación de índice abstracto.

Resolver las ecuaciones

Es importante darse cuenta de que las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no son suficientes para determinar la evolución de un sistema gravitatorio en muchos casos. Dependen del tensor del estrés-energía, que depende de la dinámica de la materia y la energía (como trayectorias de partículas móviles), que a su vez depende del campo gravitacional. Si uno solo está interesado en el límite de campo débil de la teoría, la dinámica de la materia puede ser calculada usando métodos especiales de relatividad y/o leyes Newtonianas de gravedad y luego el tensor de energía resultante puede conectarse a las ecuaciones de campo de Einstein. Pero si se requiere la solución exacta o una solución que describa campos fuertes, la evolución de la métrica y el tensor de energía estresante deben ser resueltos juntos.

Para obtener soluciones, las ecuaciones relevantes son la EFE citada anteriormente (en cualquier forma) más la ecuación de continuidad (para determinar la evolución del tensor tensión-energía):

{displaystyle T^{ab}{}_{;b},=0,.}

Esto claramente no es suficiente, ya que solo hay 14 ecuaciones (10 de las ecuaciones de campo y 4 de la ecuación de continuidad) para 20 incógnitas (10 componentes métricos y 10 componentes tensoriales de tensión-energía). Faltan ecuaciones de estado. En el caso más general, es fácil ver que se requieren al menos 6 ecuaciones más, posiblemente más si hay grados de libertad internos (como la temperatura) que pueden variar a lo largo del espacio-tiempo.

En la práctica, normalmente es posible simplificar el problema reemplazando el conjunto completo de ecuaciones de estado con una aproximación simple. Algunas aproximaciones comunes son:

Vacuo:

{displaystyle T_{ab},=0}

Fluido perfecto:

{displaystyle T_{ab},=(rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}

Donde

{displaystyle u^{a}u_{a}=-1}

Aquí. ${displaystyle rho }$ es la densidad de masa-energía medida en un marco de movimiento co momentáneo, ${displaystyle u_{a}}$ es el campo vectorial de 4 velocidades del fluido, y ${displaystyle p}$ es la presión.

Polvo de no intervención (un caso especial de fluido perfecto):

{displaystyle T_{ab},=rho u_{a}u_{b}}

Para un fluido perfecto, otra ecuación de densidad relativa del estado ${displaystyle rho }$ y presión ${displaystyle p}$ debe añadirse. Esta ecuación dependerá a menudo de la temperatura, por lo que se requiere una ecuación de transferencia de calor o el postulado de que la transferencia de calor puede ser descuidada.

A continuación, note que sólo 10 de las 14 ecuaciones originales son independientes, porque la ecuación de continuidad ${displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$ es una consecuencia de las ecuaciones de Einstein. Esto refleja el hecho de que el sistema es invariante (en general, ausente alguna simetría, cualquier opción de una red de coordenadas curvilinear en el mismo sistema correspondería a una solución numéricamente diferente). Para obtener resultados inequívocos es necesario un "ajuste de calibres", es decir, que debemos imponer 4 restricciones (arbitrarias) al sistema de coordenadas. Estas limitaciones se conocen como condiciones de coordinación.

Una opción popular de calibre es el llamado "medidor De Donder", también conocido como condición armónica o calibre armónico.

{displaystyle g^{mu nu }Gamma ^{sigma }{}_{mu nu }=0,.}

En relatividad numérica, el indicador preferido es la llamada "descomposición 3+1", basada en el formalismo ADM. En esta descomposición, la métrica se escribe en la forma

{displaystyle ds^{2},=(-N+N^{i}N^{j}gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}gamma _{ij}dtdx^{j}+gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}

, donde

{displaystyle i,j=1dots 3,.}

${displaystyle N}$ y ${displaystyle N^{i}}$ son funciones de coordenadas de tiempo espacial y pueden ser elegidos arbitrariamente en cada punto. Los grados físicos restantes de la libertad figuran en ${displaystyle gamma _{ij}}$ , que representa la métrica Riemanniana en 3-hipersuperficies con constante ${displaystyle t}$ . Por ejemplo, una elección ingenua ${displaystyle N=1}$ , ${displaystyle N_{i}=0}$ , correspondería a un llamado sistema de coordenadas sincrónicas: uno en el que la coordinación t coincide con el tiempo adecuado para cualquier observador en movimiento (partícula que se mueve a lo largo de un fijo ${displaystyle x^{i}}$ trayectoria.)

Una vez que se eligen las ecuaciones de estado y se fija el calibre, se puede resolver el conjunto completo de ecuaciones. Desafortunadamente, incluso en el caso más simple de un campo gravitacional en el vacío (tensor de energía-tensión evanescente), el problema es demasiado complejo para tener solución exacta. Para obtener resultados físicos, podemos recurrir a métodos numéricos, intentar encontrar soluciones exactas imponiendo simetrías o probar enfoques intermedios, como métodos de perturbación o aproximaciones lineales del tensor de Einstein.

Soluciones exactas

Las soluciones exactas son métricas de Lorentz que se ajustan a un tensor de tensión-energía físicamente realista y que se obtienen resolviendo el EFE exactamente en forma cerrada.

Referencia externa

Artículo de Scholarpedia sobre el tema escrito por Malcolm MacCallum

Soluciones no exactas

Las soluciones que no son exactas se denominan soluciones no exactas. Estas soluciones surgen principalmente debido a la dificultad de resolver el EFE en forma cerrada y, a menudo, toman la forma de aproximaciones a sistemas ideales. Muchas soluciones no exactas pueden carecer de contenido físico, pero sirven como contraejemplos útiles para conjeturas teóricas.

Al Momin sostiene que las soluciones de Kurt Gödel a estas ecuaciones no describen nuestro universo y, por lo tanto, son aproximaciones.

Aplicaciones

Existen razones prácticas y teóricas para estudiar las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

Desde un punto de vista puramente matemático, es interesante conocer el conjunto de soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. Algunas de estas soluciones están parametrizadas por uno o más parámetros. Desde un punto de vista físico, conocer las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein permite modelar con alta precisión fenómenos astrofísicos, incluidos agujeros negros, estrellas de neutrones y sistemas estelares. Se pueden hacer predicciones analíticamente sobre el sistema analizado; tales predicciones incluyen la precesión del perihelio de Mercurio, la existencia de una región co-rotativa dentro de los agujeros negros que giran y las órbitas de objetos alrededor de cuerpos masivos.

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