Solución singular

a Solución singular y _s ( x ) de una ecuación diferencial ordinaria es una solución singular o uno para el cual el problema de valor inicial (también llamado problema de Cauchy por algunos autores) no tiene una solución única en algún momento de la solución. El conjunto en el que una solución es singular puede ser tan pequeña como un solo punto o tan grande como la línea real completa. Las soluciones que son singulares en el sentido de que el problema del valor inicial no puede tener una solución única no necesitan ser funciones singulares.

En algunos casos, el término solución singular se usa para significar una solución en la que hay una falla de singularidad en el problema del valor inicial en cada punto de la curva. Una solución singular en este sentido más fuerte a menudo se da como tangente a cada solución de una familia de soluciones. Por Tangent queremos decir que hay un punto x donde y _s ( x ) = y _c ( x ) y y ' _s (<< i> x ) = y ' _c ( x ) donde y _c es una solución en una familia de soluciones parametrizadas por C . Esto significa que la solución singular es la envoltura de la familia de soluciones.

Por lo general, las soluciones singulares aparecen en ecuaciones diferenciales cuando es necesario dividir en un término que podría ser igual a cero. Por lo tanto, cuando uno está resolviendo una ecuación diferencial y el uso de la División Uno debe verificar qué sucede si el término es igual a cero, y si conduce a una solución singular. El teorema Picard -Lindelöf, que ofrece condiciones suficientes para que existan soluciones únicas, se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones singulares. Otros teoremas, como el teorema de la existencia del Peano, dan condiciones suficientes para que existan soluciones sin ser necesariamente únicas, lo que puede permitir la existencia de soluciones singulares.

Una solución divergente

Considere la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea

${displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,,!}$

donde los primos denotan derivadas con respecto a x. La solución general de esta ecuación es

${displaystyle y(x)=Cx^{-2}.$

Para un dado ${displaystyle C}$, esta solución es suave excepto en ${displaystyle x=0}$ donde la solución es divergente. Además, para un determinado ${displaystyle xnot =0}$, esta es la solución única que atraviesa ${displaystyle (x,y(x)}$.

Falta de unicidad

Considere la ecuación diferencial

${displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).,!}$

Una familia de soluciones de un parámetro para esta ecuación está dada por

${displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2},!}$

Otra solución viene dada por

${displaystyle y_{s}(x)=0.,!}$

Puesto que la ecuación en estudio es una ecuación de primer orden, las condiciones iniciales son las iniciales x y Sí. valores. Al considerar los dos conjuntos de soluciones anteriores, se puede ver que la solución no es única cuando ${displaystyle y=0}$. (Se puede demostrar que para ${displaystyle y titulado0}$ si se elige una sola rama de la raíz cuadrada, entonces hay una solución local que es única utilizando el teorema Picard-Lindelöf.) Así, las soluciones anteriores son todas soluciones singulares, en el sentido de que la solución no es única en un barrio de uno o más puntos. (En común, decimos "la unidad falla" en estos puntos.) Para el primer conjunto de soluciones, la singularidad falla en un punto, ${displaystyle x=c}$, y para la segunda solución, la singularidad falla en cada valor de ${displaystyle x}$. Así, la solución ${displaystyle y_{s}$ es una solución singular en el sentido más fuerte que la singularidad falla en cada valor de x. Sin embargo, no es una función singular ya que ella y todos sus derivados son continuos.

En este ejemplo, la solución ${displaystyle y_{s}(x)=0}$ es el sobre de la familia de soluciones ${displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}$. La solución ${displaystyle y_{s}$ es tangente a cada curva ${displaystyle y_{c}(x)}$ en el punto ${displaystyle (c,0)}$.

El fracaso de la singularidad se puede utilizar para construir más soluciones. Estos se pueden encontrar tomando dos constantes ${displaystyle c_{1}$ y definición de una solución ${displaystyle y(x)}$ para ser ${displaystyle (x-c_{1} {2}}$ cuando ${displaystyle x sec_{1}$, para ser ${displaystyle 0}$ cuando ${displaystyle c_{1}leq xleq c_{2}$, y ser ${displaystyle (x-c_{2} {2}}$ cuando ${displaystyle x confianzac_{2}$. El cálculo directo muestra que esta es una solución de la ecuación diferencial en cada punto, incluyendo ${displaystyle x=c_{1}}$ y ${displaystyle x=c_{2}$. La unicidad falla para estas soluciones en el intervalo ${displaystyle c_{1}leq xleq c_{2}$, y las soluciones son singulares, en el sentido de que el segundo derivado no existe, en ${displaystyle x=c_{1}}$ y ${displaystyle x=c_{2}$.

Otro ejemplo de fallo de unicidad

El ejemplo anterior podría dar la impresión errónea de que el fracaso de la singularidad está directamente relacionado con ${displaystyle y(x)=0}$. El fracaso de la singularidad también se puede ver en el siguiente ejemplo de la ecuación de un Clairaut:

${displaystyle y(x)=xcdot y'+(y')^{2},!}$

Escribimos y' = p y luego

${displaystyle y(x)=xcdot p+(p)^{2}$

Ahora tomaremos el diferencial según x:

${displaystyle P=y'=p+xp'+2pp'}$

que por álgebra simple produce

${displaystyle 0=(2p+x)p'.}$

Esta condición se resuelve si 2p+x=0 o si p′=0.

Si p' = 0 significa que y' = p = c = constante, y la solución general de esta nueva ecuación es:

${displaystyle y_{c}(x)=ccdot x+c^{2}$

donde c está determinado por el valor inicial.

Si x + 2p = 0 entonces obtenemos que p = −½x y sustituyendo en la ODA da

${displaystyle y_{s}(x)=-{tfrac [1}{2}x^{2}+(-{tfrac {1}{2}x)} {2}=-{tfrac {1}}x^{2}$

Ahora comprobaremos cuándo estas soluciones son soluciones singulares. Si dos soluciones se cruzan, es decir, ambas pasan por el mismo punto (x,y), entonces hay una falla de unicidad para un sistema ordinario de primer orden. ecuación diferencial. Por tanto, habrá un fallo de unicidad si una solución de la primera forma intersecta a la segunda solución.

La condición de intersección es: y_s(x) = y_c(x). Solucionamos

${displaystyle ccdot x+c^{2}=y_{c}=y_{s}(x)=-{tfrac {1}{4}}x}{2}$

para encontrar el punto de intersección, que es ${displaystyle (-2c,-c^{2})}$.

Podemos comprobar que las curvas son tangentes en este punto y'_s(x) = y'_c(x). Calculamos las derivadas:

${displaystyle y_{c}'(-2c)=c,!}$

${displaystyle y_{s}'(-2c)=-{tfrac [1}{2}x...$

Por lo tanto,

${displaystyle y_{s}(x)=-{tfrac {1}{4}cdot x^{2},!$

es tangente a cada miembro de la familia de soluciones de un parámetro

${displaystyle y_{c}(x)=ccdot x+c^{2},!}$

de esta ecuación de Clairaut:

${displaystyle y(x)=xcdot y'+(y')^{2}.,!}$