Solitón
En matemáticas y física, un solitón u onda solitaria es un paquete de ondas que se refuerza a sí mismo y mantiene su forma mientras se propaga a una velocidad constante. Los solitones son causados por una cancelación de efectos no lineales y dispersivos en el medio. (Los efectos dispersivos son una propiedad de ciertos sistemas en los que la velocidad de una onda depende de su frecuencia). Los solitones son las soluciones de una clase muy extendida de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas débilmente no lineales que describen sistemas físicos.
El fenómeno del solitón fue descrito por primera vez en 1834 por John Scott Russell (1808–1882), quien observó una ola solitaria en el Union Canal en Escocia. Reprodujo el fenómeno en un tanque de ondas y lo llamó 'Ola de traducción'.
Definición
Es difícil encontrar una única definición consensuada de solitón. Drazin &erio; Johnson (1989, p. 15) atribuye tres propiedades a los solitones:
- Son de forma permanente;
- Se localizan en una región;
- Pueden interactuar con otros solitones y emerger de la colisión sin cambios, excepto por un cambio de fase.
Existen definiciones más formales, pero requieren matemáticas sustanciales. Además, algunos científicos usan el término solitón para fenómenos que no tienen estas tres propiedades (por ejemplo, las "balas de luz" de la óptica no lineal a menudo se denominan solitones a pesar de perder energía durante interacción).
Explicación
La dispersión y la no linealidad pueden interactuar para producir formas de onda permanentes y localizadas. Considere un pulso de luz que viaja en un vidrio. Se puede pensar que este pulso consiste en luz de varias frecuencias diferentes. Dado que el vidrio muestra dispersión, estas diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades y, por lo tanto, la forma del pulso cambia con el tiempo. Sin embargo, también se produce el efecto Kerr no lineal; el índice de refracción de un material a una frecuencia dada depende de la amplitud o fuerza de la luz. Si el pulso tiene la forma correcta, el efecto Kerr cancela exactamente el efecto de dispersión y la forma del pulso no cambia con el tiempo. Así, el pulso es un solitón. Ver solitón (óptica) para una descripción más detallada.
Muchos modelos con solución exacta tienen soluciones de solitón, incluida la ecuación de Korteweg-de Vries, la ecuación de Schrödinger no lineal, la ecuación de Schrödinger no lineal acoplada y la ecuación de seno-Gordon. Las soluciones de los solitones se obtienen típicamente por medio de la transformada de dispersión inversa y deben su estabilidad a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. La teoría matemática de estas ecuaciones es un campo amplio y muy activo de investigación matemática.
Algunos tipos de mareas, un fenómeno de olas de algunos ríos, incluido el río Severn, son "ondulares": un frente de onda seguido de un tren de solitones. Otros solitones ocurren como ondas internas submarinas, iniciadas por la topografía del lecho marino, que se propagan en la picnoclina oceánica. También existen solitones atmosféricos, como la nube de gloria matutina del golfo de Carpentaria, donde los solitones de presión que viajan en una capa de inversión de temperatura producen vastas nubes de rollo lineal. El modelo de solitón reciente y no ampliamente aceptado en neurociencia propone explicar la conducción de señales dentro de las neuronas como solitones de presión.
Un solitón topológico, también llamado defecto topológico, es cualquier solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que es estable frente al decaimiento a la "solución trivial". La estabilidad del solitón se debe a restricciones topológicas, más que a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. Las restricciones surgen casi siempre porque las ecuaciones diferenciales deben obedecer un conjunto de condiciones de contorno, y el contorno tiene un grupo de homotopía no trivial, preservado por las ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, las soluciones de ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en clases de homotopía.
Ninguna transformación continua mapea una solución en una clase de homotopía a otra. Las soluciones son verdaderamente distintas y mantienen su integridad, incluso frente a fuerzas extremadamente poderosas. Los ejemplos de solitones topológicos incluyen la dislocación del tornillo en una red cristalina, la cuerda de Dirac y el monopolo magnético en el electromagnetismo, el modelo Skyrmion y Wess-Zumino-Witten en la teoría cuántica de campos, el skyrmion magnético en la física de la materia condensada y las cuerdas cósmicas y paredes de dominio en cosmología.
Historia
En 1834, John Scott Russell describe su ola de traducción. El descubrimiento se describe aquí en las propias palabras de Scott Russell:
Estaba observando el movimiento de un barco que fue rápidamente dibujado a lo largo de un canal estrecho por un par de caballos, cuando el barco de repente se detuvo - no así la masa de agua en el canal que había puesto en movimiento; se acumula alrededor de la proa del buque en un estado de agitación violenta, luego de repente dejarla atrás, rodó hacia adelante con gran velocidad, asumiendo la forma de una gran elevación solitaria, un canal redondeado, lento y bien definido su velocidad de agua Lo seguí a caballo, y lo superé todavía rodando a una velocidad de unos ocho o nueve millas por hora, preservando su figura original de unos treinta pies de largo y un pie a un pie y medio de altura. Su altura disminuyó poco a poco, y después de una o dos millas lo perdí en los vientos del canal. Tal, en el mes de agosto de 1834, fue mi primera entrevista casual con ese fenómeno singular y hermoso que he llamado la Ola de Traducción.
Scott Russell dedicó algún tiempo a realizar investigaciones prácticas y teóricas de estas ondas. Construyó tanques de olas en su casa y notó algunas propiedades clave:
- Las ondas son estables, y pueden viajar a distancias muy grandes (las ondas normales tienden a aplanarse, o a empinarse y superar)
- La velocidad depende del tamaño de la ola, y su anchura de la profundidad del agua.
- A diferencia de las ondas normales nunca se fusionarán – por lo que una onda pequeña es superada por una grande, en lugar de las dos que combinan.
- Si una ola es demasiado grande para la profundidad del agua, se divide en dos, uno grande y uno pequeño.
El trabajo experimental de Scott Russell parecía estar en desacuerdo con las teorías hidrodinámicas de Isaac Newton y Daniel Bernoulli. George Biddell Airy y George Gabriel Stokes tuvieron dificultades para aceptar las observaciones experimentales de Scott Russell porque no podían explicarse con las teorías de ondas de agua existentes. Sus contemporáneos dedicaron algún tiempo a intentar ampliar la teoría, pero pasó hasta la década de 1870 antes de que Joseph Boussinesq y Lord Rayleigh publicaran un tratamiento teórico y soluciones. En 1895, Diederik Korteweg y Gustav de Vries proporcionaron lo que ahora se conoce como la ecuación de Korteweg-de Vries, que incluye soluciones de ondas solitarias y ondas cnoidales periódicas.
En 1965, Norman Zabusky de Bell Labs y Martin Kruskal de la Universidad de Princeton demostraron por primera vez el comportamiento de los solitones en medios sujetos a la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) en una investigación computacional utilizando un enfoque de diferencias finitas. También mostraron cómo este comportamiento explicaba el desconcertante trabajo anterior de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou.
En 1967, Gardner, Greene, Kruskal y Miura descubrieron una transformada de dispersión inversa que permitía la solución analítica de la ecuación KdV. Desde entonces, el trabajo de Peter Lax sobre los pares de Lax y la ecuación de Lax lo ha extendido a la solución de muchos sistemas generadores de solitones relacionados.
Tenga en cuenta que los solitones son, por definición, inalterables en forma y velocidad por una colisión con otros solitones. Entonces, las ondas solitarias en una superficie de agua son casi-solitones, pero no exactamente: después de la interacción de dos ondas solitarias (que chocan o se adelantan), han cambiado un poco en amplitud y queda un residuo oscilatorio..
Los solitones también se estudian en la mecánica cuántica, gracias al hecho de que podrían proporcionar una nueva base a través del programa inacabado de De Broglie, conocido como "Teoría de la solución doble" o "Mecánica ondulatoria no lineal". Esta teoría, desarrollada por de Broglie en 1927 y revivida en la década de 1950, es la continuación natural de sus ideas desarrolladas entre 1923 y 1926, que extendían la dualidad onda-partícula introducida por Albert Einstein para los cuantos de luz, a todas las partículas de materia.. En 2019, investigadores de la Universidad de Tel-Aviv midieron un solitón de onda de agua de gravedad superficial acelerada mediante el uso de un potencial lineal hidrodinámico externo. También consiguieron excitar solitones balísticos y medir sus correspondientes fases.
En fibra óptica
Se ha realizado mucha experimentación con solitones en aplicaciones de fibra óptica. Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov. Solitones' la estabilidad inherente hace posible la transmisión a larga distancia sin el uso de repetidores, y también podría duplicar potencialmente la capacidad de transmisión.
| Año | Discovery |
|---|---|
| 1973 | Akira Hasegawa of AT plagaT Bell Labs fue el primero en sugerir que los solitones podrían existir en fibras ópticas, debido a un equilibrio entre la modulación autofase y la dispersión anómala. También en 1973 Robin Bullough hizo el primer informe matemático de la existencia de solitones ópticos. También propuso la idea de un sistema de transmisión basado en soliton para aumentar el rendimiento de las telecomunicaciones ópticas. |
| 1987 | Emplit et al. (1987) – de las Universidades de Bruselas y Limoges – hicieron la primera observación experimental de la propagación de un solitón oscuro, en una fibra óptica. |
| 1988 | Linn F. Mollenauer y su equipo transmitieron pulsos de solitón de más de 4.000 kilómetros utilizando un fenómeno llamado el efecto Raman, nombrado por Sir C. V. Raman que lo describió por primera vez en los años veinte, para proporcionar ganancia óptica en la fibra. |
| 1991 | Un equipo de investigación de Bell Labs transmitió solitons libres de errores en 2,5 gigabits por segundo más de 14.000 kilómetros, utilizando amplificadores de fibra óptica de erbium (spliced-in segmentos de fibra óptica que contienen el elemento de tierra raro erbium). Los láseres de bomba, unidos a los amplificadores ópticos, activan el erbium, que energiza los pulsos de luz. |
| 1998 | Thierry Georges y su equipo en France Telecom R plagaD Center, combinando solitones ópticos de diferentes longitudes de onda (multigrafía de longitud de onda), demostraron un composite transmisión de datos de 1 terabit por segundo (1,000,000 unidades de información por segundo), para no confundirse con Terabit-Ethernet.
Sin embargo, los experimentos impresionantes anteriores no se han traducido al despliegue real del sistema de solitones comerciales, en sistemas terrestres o submarinos, principalmente debido al rompecabezas Gordon-Haus (GH). El jinete GH requiere soluciones sofisticadas y costosas compensatorias que, en última instancia, hacen que la transmisión de solitón de longitud de onda densa (DWDM) no sea atractiva, en comparación con el paradigma convencional de no retorno a cero/retorno a cero. Además, la probable adopción futura de los formatos más eficientes para el cambio de fase/QAM de mayor eficacia hace que la transmisión de solitón sea aún menos viable, debido al efecto Gordon-Mollenauer. En consecuencia, el solitón de transmisión de fibra óptica de larga distancia ha permanecido como una curiosidad de laboratorio. |
| 2000 | Steven Cundiff predijo la existencia de un solitón vectorial en un modo de cavidad de fibra de birrefringencia atracado pasivamente a través de un espejo absorbente esaturable semiconductor (SESAM). El estado de polarización de un solitón vectorial podría girar o bloquearse dependiendo de los parámetros de cavidad. |
| 2008 | D. Y. Tang et al. observó una nueva forma de solitón vectorial de alto orden desde las perspectivas de experimentos y simulaciones numéricas. Diferentes tipos de solitones vectoriales y el estado de polarización de solitones vectoriales han sido investigados por su grupo. |
En Artes
El visionario artista estadounidense Paul Laffoley pintó "The Solitron" (1997), en el que describió la onda del solitón como una forma neoalquímica de lograr la quietud perpetua.
En biología
Los solitones pueden ocurrir en proteínas y ADN. Los solitones están relacionados con el movimiento colectivo de baja frecuencia en proteínas y ADN.
Un modelo desarrollado recientemente en neurociencia propone que las señales, en forma de ondas de densidad, se conducen dentro de las neuronas en forma de solitones. Los solitones se pueden describir como una transferencia de energía casi sin pérdidas en cadenas biomoleculares o redes como propagaciones ondulatorias de perturbaciones electrónicas y conformacionales acopladas.
En física de materiales
Los solitones pueden aparecer en materiales, como los ferroeléctricos, en forma de paredes de dominio. Los materiales ferroeléctricos presentan polarización espontánea, o dipolos eléctricos, que se acoplan a las configuraciones de la estructura del material. Los dominios de polarizaciones de polos opuestos pueden estar presentes dentro de un solo material ya que las configuraciones estructurales correspondientes a polarizaciones opuestas son igualmente favorables sin presencia de fuerzas externas. Los límites de dominio, o "paredes", que separan estas configuraciones estructurales locales son regiones de dislocaciones de celosía. Las paredes del dominio pueden propagarse como las polarizaciones y, por lo tanto, las configuraciones estructurales locales pueden cambiar dentro de un dominio con fuerzas aplicadas como polarización eléctrica o tensión mecánica. En consecuencia, las paredes del dominio se pueden describir como solitones, regiones discretas de dislocaciones que pueden deslizarse o propagarse y mantener su forma en ancho y largo.
En la literatura reciente, se ha observado ferroelectricidad en bicapas retorcidas de materiales de van der Waal como MoS2 y grafeno. La superred moiré que surge del ángulo de giro relativo entre las monocapas de van der Waal genera regiones de diferentes órdenes de apilamiento de los átomos dentro de las capas. Estas regiones exhiben configuraciones estructurales que rompen la simetría de inversión que permiten la ferroelectricidad en la interfaz de estas monocapas. Las paredes de dominio que separan estas regiones están compuestas de dislocaciones parciales donde la red experimenta diferentes tipos de tensiones y, por lo tanto, deformaciones. Se ha observado que la propagación de la pared del dominio o del solitón a lo largo de una longitud moderada de la muestra (del orden de nanómetros a micrómetros) se puede iniciar aplicando tensión desde una punta de AFM en una región fija. La propagación del solitón transporta la perturbación mecánica con poca pérdida de energía a través del material, lo que permite el cambio de dominio como si fuera un dominó.
También se ha observado que el tipo de dislocaciones encontradas en las paredes puede afectar los parámetros de propagación como la dirección. Por ejemplo, las mediciones de STM mostraron cuatro tipos de deformaciones de diversos grados de corte, compresión y tensión en las paredes del dominio según el tipo de orden de apilamiento localizado en el grafeno bicapa torcido. Se logran diferentes direcciones de deslizamiento de las paredes con diferentes tipos de tensiones encontradas en los dominios, lo que influye en la dirección de propagación de la red de solitones.
Los no ideales, como las interrupciones en la red de solitones y las impurezas de la superficie, también pueden influir en la propagación de los solitones. Las paredes de los dominios pueden encontrarse en los nodos y fijarse de manera efectiva, formando dominios triangulares, que se han observado fácilmente en varios sistemas de bicapa retorcida ferroeléctrica. Además, los bucles cerrados de paredes de dominio que encierran múltiples dominios de polarización pueden inhibir la propagación del solitón y, por lo tanto, el cambio de polarizaciones a través de él. Además, las paredes del dominio pueden propagarse y encontrarse en las arrugas y las faltas de homogeneidad de la superficie dentro de las capas de van der Waal, que pueden actuar como obstáculos que obstruyen la propagación.
En imanes
En los imanes también existen diferentes tipos de solitones y otras ondas no lineales. Estos solitones magnéticos son una solución exacta de las ecuaciones diferenciales no lineales clásicas: ecuaciones magnéticas, p. la ecuación de Landau-Lifshitz, el modelo continuo de Heisenberg, la ecuación de Ishimori, la ecuación no lineal de Schrödinger y otras.
En física nuclear
Los núcleos atómicos pueden exhibir un comportamiento solitónico. Aquí se predice que toda la función de onda nuclear existe como un solitón bajo ciertas condiciones de temperatura y energía. Se sugiere que tales condiciones existen en los núcleos de algunas estrellas en las que los núcleos no reaccionarían sino que pasarían entre sí sin cambios, reteniendo sus ondas de solitón a través de una colisión entre los núcleos.
El modelo Skyrme es un modelo de núcleos en el que cada núcleo se considera una solución de solitón topológicamente estable de una teoría de campos con un número bariónico conservado.
Biones
El estado ligado de dos solitones se conoce como bion, o en sistemas donde el estado ligado oscila periódicamente, un respirador. Las fuerzas de tipo interferencia entre solitones podrían utilizarse para fabricar biones. Sin embargo, estas fuerzas son muy sensibles a sus fases relativas. Alternativamente, el estado unido de los solitones podría formarse revistiendo átomos con niveles de Rydberg altamente excitados. El perfil de potencial autogenerado resultante presenta un atractivo núcleo blando interno que soporta el solitón autoatrapado en 3D, una capa repulsiva intermedia (barrera) que evita la fusión de los solitones y una capa externa atractiva (pozo) que se usa para completar el estado enlazado que resulta en moléculas de solitón estables gigantes. En este esquema, la distancia y el tamaño de los solitones individuales en la molécula pueden controlarse dinámicamente con el ajuste del láser.
En la teoría de campos, bion generalmente se refiere a la solución del modelo de Born-Infeld. El nombre parece haber sido acuñado por G. W. Gibbons para distinguir esta solución del solitón convencional, entendido como una solución regular de energía finita (y generalmente estable) de una ecuación diferencial que describe algún sistema físico.. La palabra regular significa una solución fluida que no lleva ninguna fuente. Sin embargo, la solución del modelo de Born-Infeld todavía tiene una fuente en forma de función Dirac-delta en el origen. Como consecuencia presenta una singularidad en este punto (aunque el campo eléctrico es regular en todas partes). En algunos contextos físicos (por ejemplo, la teoría de cuerdas) esta característica puede ser importante, lo que motivó la introducción de un nombre especial para esta clase de solitones.
Por otro lado, cuando se suma la gravedad (es decir, cuando se considera el acoplamiento del modelo de Born-Infeld a la relatividad general), la solución correspondiente se llama EBIon, donde "E" significa Einstein.
En coche de Alcubierre
Erik Lentz, físico de la Universidad de Göttingen, ha teorizado que los solitones podrían permitir la generación de burbujas warp de Alcubierre en el espacio-tiempo sin necesidad de materia exótica, es decir, materia con masa negativa.
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