Sólido platónico

En geometría, un sólido platónico es un poliedro regular convexo en un espacio euclidiano tridimensional. Ser un poliedro regular significa que las caras son congruentes (idénticas en forma y tamaño) polígonos regulares (todos los ángulos congruentes y todas las aristas congruentes), y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Solo hay cinco de estos poliedros:

Tetraedro	Cube	Octahedron	Dodecahedron	Icosahedron
Cuatro caras	Seis caras	Ocho caras	Doce caras	Veinte rostros
(Animación, modelo 3D)	(Animación, modelo 3D)	(Animación, modelo 3D)	(Animación, modelo 3D)	(Animación, modelo 3D)

Los geómetras han estudiado los sólidos platónicos durante miles de años. Reciben su nombre del antiguo filósofo griego Platón, quien planteó la hipótesis en uno de sus diálogos, el Timeo, que los elementos clásicos estaban hechos de estos sólidos regulares.

Historia

Modelo sólido platónico de Kepler del Sistema Solar Mysterium Cosmographicum (1596)

Asignación a los elementos de Kepler Mysterium Cosmographicum

Los sólidos platónicos se conocen desde la antigüedad. Se ha sugerido que ciertas bolas de piedra tallada creadas por los últimos neolíticos de Escocia representan estas formas; sin embargo, estas bolas tienen protuberancias redondeadas en lugar de ser poliédricas, el número de protuberancias con frecuencia difiere del número de vértices de los sólidos platónicos, no hay ninguna bola cuyas protuberancias coincidan con los 20 vértices del dodecaedro, y la disposición de las protuberancias no fue siempre simétrica.

Los antiguos griegos estudiaron extensamente los sólidos platónicos. Algunas fuentes (como Proclo) dan crédito a Pitágoras por su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que es posible que solo haya estado familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teetetus, un contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos ocupan un lugar destacado en la filosofía de Platón, su homónimo. Platón escribió sobre ellos en el diálogo Timeo c. 360 a.C. en el que asoció cada uno de los cuatro elementos clásicos (tierra, aire, agua y fuego) con un sólido regular. La tierra estaba asociada con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro. Había una justificación intuitiva para estas asociaciones: el calor del fuego se siente agudo y punzante (como pequeños tetraedros). El aire está hecho del octaedro; sus minúsculos componentes son tan suaves que apenas se pueden sentir. El agua, el icosaedro, sale de la mano cuando se la levanta, como si estuviera hecha de bolitas diminutas. Por el contrario, un sólido altamente no esférico, el hexaedro (cubo) representa la "tierra". Estos pequeños sólidos torpes hacen que la suciedad se desmorone y se rompa cuando se recogen en una marcada diferencia con el flujo suave del agua. Además, se creía que el hecho de que el cubo fuera el único sólido regular que forma un mosaico en el espacio euclidiano causaba la solidez de la Tierra.

Sobre el quinto sólido platónico, el dodecaedro, Platón comentó oscuramente, "...el dios [lo] usó para organizar las constelaciones en todo el cielo". Aristóteles añadió un quinto elemento, aithēr (éter en latín, "ether" en inglés) y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no tenía interés en emparejarlo con el quinto sólido de Platón..

Euclides describió completamente matemáticamente los sólidos platónicos en los Elementos, cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13 a 17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. En la Proposición 18 argumenta que no hay más poliedros regulares convexos. Andreas Speiser ha defendido la opinión de que la construcción de los cinco sólidos regulares es el principal objetivo del sistema deductivo canonizado en los Elementos. Gran parte de la información del Libro XIII probablemente se deriva del trabajo de Teeteto.

En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler intentó relacionar los cinco planetas extraterrestres conocidos en ese momento con los cinco sólidos platónicos. En Mysterium Cosmographicum, publicado en 1596, Kepler propuso un modelo del Sistema Solar en el que los cinco sólidos estaban colocados uno dentro de otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Kepler propuso que las relaciones de distancia entre los seis planetas conocidos en ese momento podrían entenderse en términos de los cinco sólidos platónicos encerrados dentro de una esfera que representaba la órbita de Saturno. Cada una de las seis esferas correspondía a uno de los planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno). Los sólidos se ordenaron siendo el más interno el octaedro, seguido por el icosaedro, el dodecaedro, el tetraedro y finalmente el cubo, dictando así la estructura del sistema solar y las relaciones de distancia entre los planetas por los sólidos platónicos. Al final, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero de su investigación surgieron sus tres leyes de la dinámica orbital, la primera de las cuales fue que las órbitas de los planetas son elipses en lugar de círculos, cambiando el curso de la física. y astronomía. También descubrió los sólidos de Kepler, que son dos poliedros regulares no convexos.

Coordenadas cartesianas

Para los sólidos platónicos centrados en el origen, a continuación se proporcionan las coordenadas cartesianas simples de los vértices. La letra griega φ se usa para representar la proporción áurea 1 + √5/2 ≈ 1,6180.

Las coordenadas para el tetraedro, el dodecaedro y el icosaedro se dan en dos posiciones, de modo que cada uno puede deducirse del otro: en el caso del tetraedro, cambiando todas las coordenadas de signo (simetría central) o, en el otros casos, intercambiando dos coordenadas (reflexión respecto a cualquiera de los tres planos diagonales).

Estas coordenadas revelan ciertas relaciones entre los sólidos platónicos: los vértices del tetraedro representan la mitad de los del cubo, como {4,3} o , uno de dos conjuntos de 4 vértices en posiciones duales, como h{4,3} o . Ambas posiciones tetraedral hacen el compuesto octaedro estelar.

Las coordenadas del icosahedron están relacionadas con dos conjuntos alternos de coordenadas de un octaedro truncado no uniforme, t{3,4} o , también llamado a snub octahedron, como s{3,4} o , y visto en el compuesto de dos icosahedra.

Ocho de los vértices del dodecaedro se comparten con el cubo. Completar todas las orientaciones conduce al compuesto de cinco cubos.

Propiedades combinatorias

Un poliedro convexo es un sólido platónico si y solo si

1. todas sus caras son polígonos regulares convexos congruentes,
2. ninguno de sus rostros se intercaló excepto en sus bordes, y
3. el mismo número de caras se encuentran en cada uno de sus vértices.

Por lo tanto, cada sólido platónico se puede denotar con un símbolo {p, q} donde

p es el número de bordes (o, equivalentemente, vértices) de cada cara, y

q es el número de caras (o, equivalentemente, bordes) que se encuentran en cada vértice.

El símbolo {p, q}, llamado símbolo de Schläfli, da una descripción combinatoria del poliedro. Los símbolos de Schläfli de los cinco sólidos platónicos se dan en la siguiente tabla.

Polyhedron		Vertices	Edges	Caras	Símbolo Schläfli	Configuración de Vertex
tetrahedron		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
cube		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
octaedro		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dodecahedron		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
icosahedron		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Toda otra información combinatoria sobre estos sólidos, como el número total de vértices (V), aristas (E) y caras (F), se puede determinar a partir de p y q. Como toda arista une dos vértices y tiene dos caras adyacentes debemos tener:

pF=2E=qV.{displaystyle pF=2E=qV.}

La otra relación entre estos valores viene dada por la fórmula de Euler:

V− − E+F=2.{displaystyle V-E+F=2.}

Esto se puede probar de muchas maneras. Juntas, estas tres relaciones determinan por completo V, E y F:

V=4p4− − ()p− − 2)()q− − 2),E=2pq4− − ()p− − 2)()q− − 2),F=4q4− − ()p− − 2)()q− − 2).{displaystyle V={frac {4p}{4-(p-2)}},quad E={frac {2pq}{4-(p-2)}}},quad F={frac {4q}{4-(p-2)}}}}}}}}

Al intercambiar p y q se intercambian F y V mientras se deja E sin cambios. Para una interpretación geométrica de esta propiedad, ver § Poliedros duales.

Como configuración

Los elementos de un poliedro se pueden expresar en una matriz de configuración. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en todo el poliedro. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en o en el elemento de la fila. Los pares duales de poliedros tienen sus matrices de configuración giradas 180 grados entre sí.

Clasificación

El resultado clásico es que solo existen cinco poliedros regulares convexos. Dos argumentos comunes a continuación demuestran que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar positivamente la existencia de cualquier sólido dado es una pregunta separada, que requiere una construcción explícita.

Prueba geométrica

Redes de polígonos alrededor de un vértice

{3,3} Defecto 180°	{3,4} Defecto 120°	{3,5} Defecto 60°	{3,6} Defecto 0°
{4,3} Defecto 90°	{4,4} Defecto 0°	{5,3} Defecto 36°	{6,3} Defecto 0°
Un vértice necesita al menos 3 caras, y un defecto de ángulo. Un defecto de ángulo de 0° llenará el plano Euclideano con un nivel regular. Por el teorema de Descartes, el número de vértices es de 720°/defecto.

El siguiente argumento geométrico es muy similar al dado por Euclides en los Elementos:

Prueba topológica

Se puede hacer una prueba puramente topológica usando solo información combinatoria sobre los sólidos. La clave es la observación de Euler de que V − E + F = 2, y el hecho de que pF = 2E = qV, donde p representa el número de aristas de cada cara y q la número de aristas que se encuentran en cada vértice. Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación

Proyecciones ortográficas y diagramas Schlegel con ciclos Hamiltonianos de los vértices de los cinco sólidos platónicos – sólo el octaedro tiene un camino o ciclo eulerio, extendiendo su camino con el puntado uno

• v
• t
• e

2Eq− − E+2Ep=2.{displaystyle {frac {2E} {f} {f} {f}}=2.}}

La manipulación algebraica simple da

1q+1p=12+1E.{displaystyle {1 over q}+{1 over p}={1 over 2}+{1 over E}

Dado que E es estrictamente positivo, debemos tener

{frac {1}{2}}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">1q+1p■12.{displaystyle {frac} {fnK}+{frac} {1} {p} {fnMicroc} {1}{2}}{frac {1}{2}}." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179b11d04806df402acfd4325a351a4f76c15b5f" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.588ex; height:5.676ex;"/>

Usando el hecho de que p y q deben ser al menos 3, uno puede ver fácilmente que solo hay cinco posibilidades para {p, q}:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Propiedades geométricas

Ángulos

Hay una serie de ángulos asociados con cada sólido platónico. El ángulo diedro es el ángulo interior entre dos planos frontales cualesquiera. El ángulo diedro, θ, del sólido {p,q} viene dado por la fórmula

pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)=#⁡ ⁡ ()π π q)pecado⁡ ⁡ ()π π p).{displaystyle sin left({frac {theta }{2}right)={frac {cos left({frac {pi }{}right)}{sin left({frac {pi }right)}}}}}}}}}}}}}}} {

Esto a veces se expresa más convenientemente en términos de la tangente por

#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)=#⁡ ⁡ ()π π q)pecado⁡ ⁡ ()π π h).{displaystyle tan left({frac {theta }{2}}right)={frac {cos left({frac {pi }{}right)}{sin left({frac {pi }right)}}}}}}}}}}}}}} {

La cantidad h (llamada número de Coxeter) es 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, respectivamente.

La deficiencia angular en el vértice de un poliedro es la diferencia entre la suma de los ángulos de las caras en ese vértice y 2π. El defecto, δ, en cualquier vértice de los sólidos platónicos {p,q} es

δ δ =2π π − − qπ π ()1− − 2p).{displaystyle delta =2pi -qpileft(1-{2 over p}right). }

Según un teorema de Descartes, esto es igual a 4π dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total en todos los vértices son 4π).

El análogo tridimensional de un ángulo plano es un ángulo sólido. El ángulo sólido, Ω, en el vértice de un sólido platónico se da en términos del ángulo diedro por

Ω Ω =qSilencio Silencio − − ()q− − 2)π π .{displaystyle Omega =qtheta -(q-2)pi.,}

Esto se sigue de la fórmula de exceso esférico para un polígono esférico y del hecho de que la figura del vértice del poliedro {p,q} es un q regular -gon.

El ángulo sólido de una cara subtendida desde el centro de un sólido platónico es igual al ángulo sólido de una esfera completa (4π estereorradianes) dividido por el número de caras. Esto es igual a la deficiencia angular de su dual.

Los diversos ángulos asociados con los sólidos platónicos se tabulan a continuación. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradianes. La constante φ = 1 + √5/ 2 es la proporción áurea.

Polyhedron	Ángulo Dihedral ()Silencio)	#Silencio/2	Defecto ()δ)	Ángulo sólido de VertexΩ)	Cara sólido ángulo
tetrahedron	70,53°	12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}	π π {displaystyle pi}	arccos⁡ ⁡ ()2327).. 0,51286{displaystyle arccos left({frac {23}{27}right)quad approx 0.551286}	π π {displaystyle pi}
cube	90°	1{displaystyle 1}	π π 2{displaystyle pi over 2}	π π 2.. 1.57080{fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }{2}quad approx 1.57080}	2π π 3{displaystyle 2pi over 3}
octaedro	109.47°	2{displaystyle {sqrt {2}}	2π π 3{displaystyle {2pi} over 3}	4arcsin⁡ ⁡ ()13).. 1.35935{displaystyle 4arcsin left({1over 3}right)quad approx 1.35935}	π π 2{displaystyle pi over 2}
dodecahedron	116,57°	φ φ {displaystyle varphi }	π π 5{displaystyle pi over 5}	π π − − arctan⁡ ⁡ ()211).. 2.96174{displaystyle pi -arctan left({frac {2}right)quad approx 2.96174}	π π 3{displaystyle pi over 3}
icosahedron	138,19°	φ φ 2{displaystyle varphi ^{2}	π π 3{displaystyle pi over 3}	2π π − − 5arcsin⁡ ⁡ ()23).. 2.63455{displaystyle 2pi -5arcsin left({2over 3}right)quad approx 2.63455}	π π 5{displaystyle pi over 5}

Radios, área y volumen

Otra virtud de la regularidad es que todos los sólidos platónicos poseen tres esferas concéntricas:

• la esfera circunscrita que pasa por todos los vértices,
• la esfera media que es tangente a cada borde en el punto medio del borde, y
• la esfera inscrita que es tangente a cada cara en el centro de la cara.

Los radios de estas esferas se denominan circumradius, midradius y inradius. Estas son las distancias desde el centro del poliedro hasta los vértices, los puntos medios de las aristas y los centros de las caras, respectivamente. El circunradio R y el inradio r del sólido {p, q} con longitud de arista a están dadas por

R=a2#⁡ ⁡ ()π π q)#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)r=a2cot⁡ ⁡ ()π π p)#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2){displaystyle {begin{aligned}Riéndose={frac {a}{2}tan left({frac {pi }{q}}right)tan left({frac {thetat {2}}derecha)[3pt]r ventaja={frac {a}{2}cot left({frac {pi}{p}}right)tan left({frac {theta }{2}derecha)end{aligned}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

donde θ es el ángulo diedro. El radio medio ρ está dado por

*** *** =a2#⁡ ⁡ ()π π p)csc()π π h){displaystyle rho ={frac {}{2}}cos left({frac {pi}{p}right),{csc}{biggl (}{frac {pi }{h}{biggr)}}}} {fnK}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

donde h es la cantidad utilizada anteriormente en la definición del ángulo diedro (h = 4, 6, 6, 10 o 10). La relación entre el circunradio y el inradio es simétrica en p y q:

Rr=#⁡ ⁡ ()π π p)#⁡ ⁡ ()π π q)=csc2()Silencio Silencio 2)− − #2()α α 2)pecado⁡ ⁡ ()α α 2).{displaystyle {frac {R}{r}}=tan left({frac {pi }{p}right)tan left({frac {pi }}right)={frac {sqrt {cscsc ^{2}}}{c}}{c}}}} {f} {f}}}f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnun}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}fnh}fnfnf}fnfnfnh}fnfnun}fnh}fnhnh}fnhnh}fnfnh}f}fn Grande. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Grande. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}} {b} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicros}}} {b}} {b}}}}}} {b}}}}} {b}}}} {b}}}} {b}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {Bigr] {b}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {b}}}}} {b}} {b}}}}} {bb}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}} - Sí.

El área de la superficie, A, de un sólido platónico {p, q} se calcula fácilmente como el área de un regular p-gon por el número de caras F. Esto es:

A=()a2)2Fpcot⁡ ⁡ ()π π p).{displaystyle A={biggl (}{frac {}{2}{biggr)}{2}Fpcot left({frac {pi }right).}

El volumen se calcula como F veces el volumen de la pirámide cuya base es un p-ágono regular y cuya altura es el inradio r. Es decir,

V=13rA.{displaystyle V={frac {1} {3}rA.}

La siguiente tabla enumera los diversos radios de los sólidos platónicos junto con su área de superficie y volumen. El tamaño total se fija tomando la longitud del borde, a, igual a 2.

Polyhedron, a= 2	Radius			Superficie, A	Volumen
	En... r	Media, ***	Circum... R		V	Borde de unidad
tetrahedron	16{displaystyle 1 over {sqrt {6}}	12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}	32{displaystyle {sqrt {3 over 2}}}	43{displaystyle 4{sqrt {3}}	83.. 0,942809{displaystyle {frac {sqrt {8}{3}approx 0.942809}	.. 0.117851{displaystyle approx 0.117851}
cube	1{displaystyle 1,}	2{displaystyle {sqrt {2}}	3{displaystyle {sqrt {3}}	24{displaystyle 24,}	8{displaystyle 8,}	1{displaystyle 1,}
octaedro	23{displaystyle {sqrt {2 over 3}}}	1{displaystyle 1,}	2{displaystyle {sqrt {2}}	83{displaystyle 8{sqrt {3}}	1283.. 3.771236{displaystyle {frac {sqrt {128}{3}approx 3.771236}	.. 0.471404{displaystyle approx 0.471404}
dodecahedron	φ φ 2.. {displaystyle {frac {varphi }{2}{xi }	φ φ 2{displaystyle varphi ^{2}	3φ φ {displaystyle {sqrt {3},varphi }	1225+105{displaystyle 12{sqrt {25+10{sqrt {}}}	20φ φ 3.. 2.. 61.304952{displaystyle {frac {20varphi }{3}{xi ^{2}approx 61.304952}	.. 7.663119{displaystyle approx 7.663119}
icosahedron	φ φ 23{displaystyle {frac {varphi }{2}{sqrt {3}}} {fn}} {fn}}}	φ φ {displaystyle varphi }	.. φ φ {displaystyle xi varphi }	203{displaystyle 20{sqrt {3}}	20φ φ 23.. 17.453560{displaystyle {frac {20varphi }{3}approx 17.453560}	.. 2.181695{displaystyle approx 2.181695}

Las constantes φ y ξ de arriba están dadas por

φ φ =2#⁡ ⁡ π π 5=1+52,.. =2pecado⁡ ⁡ π π 5=5− − 52=3− − φ φ .{displaystyle varphi =2cos {piover 5}={frac {1+{sqrt {5}}{2}}qquad xi =2sin {pipfnfnfncH00\cH00\cH00\\cH00\\cH00\\cH00\\\\\c\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 5}={sqrt {frac {5-{sqrt {}} {2}}={sqrt {3-varphi }}

Entre los sólidos platónicos, el dodecaedro o el icosaedro pueden verse como la mejor aproximación a la esfera. El icosaedro tiene el mayor número de caras y el ángulo diedro más grande, abraza su esfera inscrita con más fuerza y su relación de área de superficie a volumen es más cercana a la de una esfera del mismo tamaño (es decir, la misma área de superficie o el mismo volumen.) El dodecaedro, por otro lado, tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido de vértice más grande, y llena su esfera circunscrita al máximo.

Punto en el espacio

Para un punto arbitrario en el espacio de un sólido platónico con circunradio R, cuyas distancias al centroide del sólido platónico y sus vértices n son L y d_i respectivamente, y

S[n]()2m)=1n.. i=1ndi2m{displaystyle S_{[n]}{(2m)}={frac {1}{n}sum ¿Qué?,

tenemos

S[4]()2)=S[6]()2)=S[8]()2)=S[12]()2)=S[20]()2)=R2+L2,S[4]()4)=S[6]()4)=S[8]()4)=S[12]()4)=S[20]()4)=()R2+L2)2+43R2L2,S[6]()6)=S[8]()6)=S[12]()6)=S[20]()6)=()R2+L2)3+4R2L2()R2+L2),S[12]()8)=S[20]()8)=()R2+L2)4+8R2L2()R2+L2)2+165R4L4,S[12]()10)=S[20]()10)=()R2+L2)5+403R2L2()R2+L2)3+16R4L4()R2+L2).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fn] {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {f} {f} {fn0} {fnMicrosoft ]} {fnMientras] {fn0} {fnMientras]} {fnMientras]} {fnMienentras no me dijo:f}fnMienentras me dijo:fnMienentras me dijo:fnMientras me dijo: 'soy] (R^{2}+L^{2}right)^{2}+{4}{3}R^{2}L^{2},\[4px]S_{[6]}{(6)}=S_{[8]}=S_{(6)}=S_{[12]}}=S_{(6)}=S_{[20]}} {============}}}}}}}}}}}}}========================================================================================================================================= (R^{2}+L^{2}right)^{3}+4R^{2}L^{2}left(R^{2}+L^{2}right),[4px]S_{[12]}=S_{[20]}{(8)}}}}}}}}} {===0}}}}=== (R^{2}+L^{2}right)^{4}+8R^{2}L^{2}left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+{frac {5}R^{4}L^{4}4}[4px]S_{12}{2}{0}{0}=0}=0}=0}=0}=0}=0}=0}}=0}=0}=0}=0}=0}=0}=0}=0}=0}}=0}=0}=0}=0}=0}=0} (R^{2}+L^{2}right)^{5}+{2}{3}R^{2}L^{2}left(R^{2}+L^{2}right)}{3}+16R^{4}left(R^{2}+L^{2}right)end{2}end{aligned}right).

Para los cinco sólidos platónicos, tenemos

S[n]()4)+169R4=()S[n]()2)+23R2)2.{displaystyle S_{[n]}{=4)}+{frac {16}{9}R^{4}=left(S_{[n]}{(2)}+{frac {2}{3}}R^{2}right)}{2}}}}}

Si d_i son las distancias desde los n vértices del sólido platónico a cualquier punto de su esfera circunscrita, entonces

4().. i=1ndi2)2=3n.. i=1ndi4.{displaystyle 4left(sum) ¿Por qué? ¿Qué?

Propiedad de Ruperto

Se dice que un poliedro P tiene la propiedad Rupert si un poliedro del mismo o mayor tamaño y la misma forma que P puede pasar a través de un agujero en P. Los cinco sólidos platónicos tienen esta propiedad.

Simetría

Doble poliedro

Compuestos duales

Todo poliedro tiene un poliedro dual (o "polar") con caras y vértices intercambiados. El dual de cada sólido platónico es otro sólido platónico, por lo que podemos ordenar los cinco sólidos en pares duales.

• El tetraedro es auto-dual (es decir, su dual es otro tetraedro).
• El cubo y el octaedro forman un doble par.
• El dodecaedro y el icosahedro forman un doble par.

Si un poliedro tiene el símbolo de Schläfli {p, q}, entonces su dual tiene el símbolo {q, p}. De hecho, cada propiedad combinatoria de un sólido platónico puede interpretarse como otra propiedad combinatoria del dual.

Uno puede construir el poliedro dual tomando los vértices del dual como los centros de las caras de la figura original. Conectar los centros de caras adyacentes en el original forma los bordes del dual y, por lo tanto, intercambia el número de caras y vértices mientras mantiene el número de bordes.

De manera más general, se puede dualizar un sólido platónico con respecto a una esfera de radio d concéntrica con el sólido. Los radios (R, ρ, r) de un sólido y los de su dual (R*, ρ*, r*) están relacionados por

d2=RAlternativa Alternativa r=rAlternativa Alternativa R=*** *** Alternativa Alternativa *** *** .{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

La dualización con respecto a la esfera media (d = ρ) suele ser conveniente porque la esfera media tiene la misma relación con ambos poliedros. Tomando d² = Rr se obtiene un sólido dual con el mismo circunradio e inradio (es decir, R* = R y r* = r).

Grupos de simetría

En matemáticas, el concepto de simetría se estudia con la noción de grupo matemático. Cada poliedro tiene un grupo de simetría asociado, que es el conjunto de todas las transformaciones (isometrías euclidianas) que dejan invariante al poliedro. El orden del grupo de simetría es el número de simetrías del poliedro. A menudo se distingue entre el grupo de simetría completa, que incluye reflejos, y el grupo de simetría propia, que incluye solo rotaciones.

Los grupos de simetría de los sólidos platónicos son una clase especial de grupos puntuales tridimensionales conocidos como grupos poliédricos. El alto grado de simetría de los sólidos platónicos se puede interpretar de varias maneras. Lo que es más importante, los vértices de cada sólido son todos equivalentes bajo la acción del grupo de simetría, al igual que las aristas y las caras. Se dice que la acción del grupo de simetría es transitiva sobre los vértices, aristas y caras. De hecho, esta es otra forma de definir la regularidad de un poliedro: un poliedro es regular si y solo si es uniforme en los vértices, las aristas y las caras.

Solo hay tres grupos de simetría asociados con los sólidos platónicos en lugar de cinco, ya que el grupo de simetría de cualquier poliedro coincide con el de su dual. Esto se ve fácilmente examinando la construcción del poliedro dual. Cualquier simetría del original debe ser una simetría del dual y viceversa. Los tres grupos poliédricos son:

• el grupo tetraedral T,
• el grupo octadral O (que es también el grupo de simetría del cubo), y
• el grupo icosahedral I (que es también el grupo de simetría del dodecaedro).

Los órdenes de los grupos (de rotación) adecuados son 12, 24 y 60 respectivamente, exactamente el doble del número de aristas en los poliedros respectivos. Los órdenes de los grupos de simetría completa son el doble de nuevo (24, 48 y 120). Ver (Coxeter 1973) para una derivación de estos hechos. Todos los sólidos platónicos, excepto el tetraedro, son centralmente simétricos, lo que significa que se conservan bajo reflexión a través del origen.

La siguiente tabla enumera las diversas propiedades de simetría de los sólidos platónicos. Los grupos de simetría enumerados son los grupos completos con los subgrupos de rotación entre paréntesis (lo mismo ocurre con el número de simetrías). La construcción del caleidoscopio de Wythoff es un método para construir poliedros directamente a partir de sus grupos de simetría. Se enumeran como referencia el símbolo de Wythoff para cada uno de los sólidos platónicos.

Polyhedron	Schläflisymbol	Wythoffsymbol	Dualpolyhedron	Grupo de simetría (reflexión, rotación)
				Polyhedral	Schön.	Cox.	Orb.	Orden
tetrahedron	{3, 3}	3 Silencio 2 3	tetrahedron	Tetraedral	Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
cube	{4, 3}	3 Silencio 2 4	octaedro	Octahedral	Oh O	[4,3] [4,3]+	*432 432	48 24
octaedro	{3, 4}	4 Silencio 2 3	cube
dodecahedron	{5, 3}	3 Silencio 2 5	icosahedron	Icosahedral	Ih I	[5,3] [5,3]+	*532 532	120 60
icosahedron	{3, 5}	5 Silencio 2 3	dodecahedron

En naturaleza y tecnología

El tetraedro, el cubo y el octaedro ocurren naturalmente en estructuras cristalinas. Estos de ninguna manera agotan el número de posibles formas de cristales. Sin embargo, ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellos. Una de las formas, llamada piritoedro (llamado así por el grupo de minerales del que es típico) tiene doce caras pentagonales, dispuestas en el mismo patrón que las caras del dodecaedro regular. Sin embargo, las caras del piritoedro no son regulares, por lo que el piritoedro tampoco es regular. Los alótropos del boro y muchos compuestos de boro, como el carburo de boro, incluyen icosaedros B₁₂ discretos dentro de sus estructuras cristalinas. Los ácidos de carborano también tienen estructuras moleculares que se aproximan a los icosaedros regulares.

Circogonia icosahedra, una especie de radiolaria, formada como un icosahedro regular.

A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió (Haeckel, 1904) varias especies de Radiolaria, algunos de cuyos esqueletos tienen la forma de varios poliedros regulares. Los ejemplos incluyen Circoporus octaedro, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra. Las formas de estas criaturas deberían ser obvias por sus nombres.

Muchos virus, como el virus del herpes, tienen la forma de un icosaedro regular. Las estructuras virales están formadas por subunidades de proteínas idénticas repetidas y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar utilizando estas subunidades. Se usa un poliedro regular porque se puede construir a partir de una sola unidad básica de proteína que se usa una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral.

En meteorología y climatología, los modelos numéricos globales del flujo atmosférico son de creciente interés y emplean cuadrículas geodésicas que se basan en un icosaedro (refinado por triangulación) en lugar de la cuadrícula de longitud/latitud más utilizada. Esto tiene la ventaja de una resolución espacial uniformemente distribuida sin singularidades (es decir, los polos) a expensas de una dificultad numérica algo mayor.

Icosahedron como parte del monumento de Spinoza en Amsterdam

La geometría de los marcos espaciales a menudo se basa en sólidos platónicos. En el sistema MERO, los sólidos platónicos se utilizan para nombrar convenciones de varias configuraciones de estructuras espaciales. Por ejemplo, 1/2O+T se refiere a una configuración formada por la mitad de un octaedro y un tetraedro.

Se han sintetizado varios hidrocarburos platónicos, incluidos el cubano y el dodecaedrano y no el tetraedrano.

• 

  Tetrahedrane

• 

  Cubane

• 

  Dodecahedrane

Un conjunto de dador polifacético.

Los sólidos platónicos se usan a menudo para hacer dados, porque los dados de estas formas se pueden hacer justos. Los dados de 6 caras son muy comunes, pero los otros números se usan comúnmente en los juegos de rol. Dichos dados se conocen comúnmente como dn donde n es el número de caras (d8, d20, etc.); consulte la notación de dados para obtener más detalles.

Estas formas aparecen con frecuencia en otros juegos o rompecabezas. Los rompecabezas similares a un cubo de Rubik vienen en las cinco formas: vea poliedros mágicos.

Cristales líquidos con simetrías de sólidos platónicos

Para la fase material intermedia llamada cristales líquidos, la existencia de tales simetrías fue propuesta por primera vez en 1981 por H. Kleinert y K. Maki. En el aluminio, la estructura icosaédrica fue descubierta tres años después por Dan Shechtman, lo que le valió el Premio Nobel de Química en 2011.

Polítopos y poliedros relacionados

Poliedros uniformes

Existen cuatro poliedros regulares que no son convexos, llamados poliedros de Kepler-Poinsot. Todos estos tienen simetría icosaédrica y pueden obtenerse como estelaciones del dodecaedro y el icosaedro.

cuboctahedron

icosidodecahedron

Los siguientes poliedros convexos más regulares después de los sólidos platónicos son el cuboctaedro, que es una rectificación del cubo y el octaedro, y el icosidodecaedro, que es una rectificación del dodecaedro y el icosaedro (la rectificación del autodual tetraedro es un octaedro regular). Ambos son cuasi-regulares, lo que significa que tienen vértices y aristas uniformes y tienen caras regulares, pero no todas las caras son congruentes (pertenecen a dos clases diferentes). Forman dos de los trece sólidos de Arquímedes, que son los poliedros uniformes convexos con simetría poliédrica. Sus duales, el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico, son de aristas y caras transitivas, pero sus caras no son regulares y sus vértices son de dos tipos cada uno; son dos de los trece sólidos catalanes.

Los poliedros uniformes forman una clase mucho más amplia de poliedros. Estas figuras son de vértice uniforme y tienen uno o más tipos de polígonos regulares o en estrella por caras. Estos incluyen todos los poliedros mencionados anteriormente junto con un conjunto infinito de prismas, un conjunto infinito de antiprismas y otras 53 formas no convexas.

Los sólidos de Johnson son poliedros convexos que tienen caras regulares pero no son uniformes. Entre ellos se encuentran cinco de los ocho deltaedros convexos, que tienen caras regulares idénticas (todos triángulos equiláteros) pero no son uniformes. (Los otros tres deltaedros convexos son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro platónicos).

Teselados regulares

Tilings esféricos regulares

Platonic
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Dihedral ordinario
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Hosohedral regular
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

Las tres teselaciones regulares del plano están estrechamente relacionadas con los sólidos platónicos. De hecho, uno puede ver los sólidos platónicos como mosaicos regulares de la esfera. Esto se hace proyectando cada sólido sobre una esfera concéntrica. Las caras se proyectan sobre polígonos esféricos regulares que cubren exactamente la esfera. Las teselaciones esféricas proporcionan dos conjuntos adicionales infinitos de teselaciones regulares, los hosoedros, {2,n} con 2 vértices en los polos, y caras lune, y los diedros duales, {n,2} con 2 caras hemisféricas y vértices regularmente espaciados en el ecuador. Tales teselaciones serían degeneradas en el verdadero espacio 3D como poliedros.

Se puede demostrar que cada mosaico regular de la esfera se caracteriza por un par de números enteros {p, q} con 1/p + 1/q > 1/ 2. Del mismo modo, una teselación regular del plano se caracteriza por la condición 1 //span>p + 1/q = 1/2. Hay tres posibilidades:

Los tres azulejos regulares del plano euclidiano

{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

De manera similar, se pueden considerar teselaciones regulares del plano hiperbólico. Estos se caracterizan por la condición 1/p + 1 /q < 1/ 2. Hay una familia infinita de tales teselaciones.

Ejemplo de revestimientos regulares del plano hiperbólico

{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

Dimensiones más altas

En más de tres dimensiones, los poliedros se generalizan a politopos, siendo los politopos regulares convexos de dimensiones superiores los equivalentes de los sólidos platónicos tridimensionales.

A mediados del siglo XIX, el matemático suizo Ludwig Schläfli descubrió los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos, llamados 4-politopos regulares convexos. Hay exactamente seis de estas figuras; cinco son análogos a los sólidos platónicos: 5 celdas como {3,3,3}, 16 celdas como {3,3,4}, 600 celdas como {3,3,5}, teseracto como {4,3,3}, y 120 celdas como {5,3,3}, y una sexta, la auto-dual de 24 celdas, {3,4,3}.

En todas las dimensiones superiores a cuatro, solo hay tres politopos regulares convexos: el símplex como {3,3,...,3}, el hipercubo como {4,3,...,3} y el politopo cruzado como {3,3,...,4}. En tres dimensiones, estos coinciden con el tetraedro como {3,3}, el cubo como {4,3} y el octaedro como {3,4}.

Fuentes generales y citadas

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• Boyer, Carl; Merzbach, Uta (1989). Una historia de la matemática (2a edición). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Coxeter, H. S. M. (1973). Polytopes regulares (3rd ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Euclid (1956). Heath, Thomas L. (ed.). Los 13 Libros de los Elementos de Euclides, Libros 10–13 (2 abr. ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
• Gardner, Martin (1987). El segundo libro científico americano de rompecabezas matemáticos " Diversiones, Universidad de Chicago Press, Capítulo 1: Los Cinco sólidos platónicos, ISBN 0226282538
• Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Disponible como Haeckel, E. (1998); Formas de arte en la naturalezaPrestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
• Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 papel de Kepler que discutió la razón de la forma de seis ángulos de los cristales de nieve y las formas y simetrías en la naturaleza. Habla de sólidos platónicos.
• Kleinert, Hagen & Maki, K. (1981). "Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals" (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K doi:10.1002/prop.19810290503.
• Lloyd, David Robert (2012). "¿Cuántos años tienen los sólidos platónicos?". BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. 27 (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845. S2CID 119544202.
• Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: Un enfoque visual. California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
• Weyl, Hermann (1952). Simmetría. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• Wildberg, Christian (1988). Criticismo de John Philoponus de la teoría de Aristóteles de Aether. Walter de Gruyter. pp. 11–12. ISBN 9783110104462.