Sólido de revolución

En geometría, un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene girando una figura plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución), que puede no intersectar a la generatriz (excepto en su límite). La superficie creada por esta revolución y que delimita el sólido es la superficie de revolución.

Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicado por el área de la figura (Pappus' segundo teorema del centroide).

Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea girando un segmento de línea (de longitud w) alrededor de algún eje (ubicado r unidades), de modo que un volumen cilíndrico de πr²w unidades.

Encontrar el volumen

Dos métodos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el método del disco y el método de integración de la capa. Para aplicar estos métodos, lo más fácil es dibujar el gráfico en cuestión; identifique el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determine el volumen de una rebanada del sólido en forma de disco, con un grosor δx, o una capa cilíndrica de ancho δx; y luego encuentre la suma límite de estos volúmenes cuando δx se acerque a 0, un valor que se puede encontrar evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa intentando evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes de integración diferentes.

Método del disco

El método del disco se usa cuando el corte que se dibujó es perpendicular al eje de revolución; es decir, al integrar paralelo al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f(y) y g(y) y las líneas y = a y y = b sobre el y-eje está dado por

V=π π ∫ ∫ abSilenciof()Sí.)2− − g()Sí.)2SilenciodSí..{displaystyle V=pi int _{a}b}left foreverf(y)^{2}-g(y)^{2}right WordPress,dy,}

If g(y) = 0 (e.g. revolving an area between the curve and the y-axis), this reduces to:

V=π π ∫ ∫ abf()Sí.)2dSí..{displaystyle V=pi int _{b}f(y)^{2},dy,}

El método se puede visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado en y entre f(y) arriba y g(y) en la parte inferior y girándolo sobre el eje y; forma un anillo (o disco en el caso de que g(y) = 0), con radio exterior f(y) y radio interior g(y). El área de un anillo es π(R² − r²) , donde R es el radio exterior (en este caso f (y)), y r es el radio interior (en este caso g(y)). Por lo tanto, el volumen de cada disco infinitesimal es πf(y)² dy. El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre a y b se convierte en integral (1).

Assuming the applicability of Fubini 's theorem and the multivariate change of variables formula, the disk method may be derived in a straightforward manner by (denoting the solid as D):

V=∫ ∫ DdV=∫ ∫ ab∫ ∫ g()z)f()z)∫ ∫ 02π π rdSilencio Silencio drdz=2π π ∫ ∫ ab∫ ∫ g()z)f()z)rdrdz=2π π ∫ ∫ ab12r2.. g()z)f()z)dz=π π ∫ ∫ abf()z)2− − g()z)2dz{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}cf}f}cf}cfnMicrosoft} {ccHFF}cccH0}cccH0}}ccccccccccccH00ccccccccccccccH00cH0ccH00cH00cH00ccccccccH00ccH00cccccH00cccH00cH00cH00cH0}ccH00ccH0}ccH00ccccH {1}{2}r^{2}Vert _{g(z)}{f(z)},dz=pi int _{a}{b}f(z)^{2}-g(z)^{2},dz}

Método del cilindro

The cylinder method is used when the slice that was drawn is parallel to the axis of revolution; i.s. when integrating perpendicular to the axis of revolution.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f(x) y g(x) y las líneas x = a y x = b sobre el y-eje está dado por

V=2π π ∫ ∫ abxSilenciof()x)− − g()x)Silenciodx.{displaystyle V=2piint _{a}^{b}x imperf(x)-g(x) Todd,dx,}

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and y-axis), this reduces to:

V=2π π ∫ ∫ abxSilenciof()x)Silenciodx.{displaystyle V=2piint _{a}^{b}x Toddf(x)

El método se puede visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura f(x) − g(x), y girando sobre la y-axis; forma una concha cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es 2πrh, donde r es el radio (en este caso x), y h es la altura (en este caso f(x) − g(x)). La suma de todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo da el volumen total.

Este método puede derivarse con la misma integral triple, esta vez con un orden diferente de integración:

V=∫ ∫ DdV=∫ ∫ ab∫ ∫ g()r)f()r)∫ ∫ 02π π rdSilencio Silencio dzdr=2π π ∫ ∫ ab∫ ∫ g()r)f()r)rdzdr=2π π ∫ ∫ abr()f()r)− − g()r))dr.{fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f}gnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}cH0}cH0}f}cH0}ccH0}ccH00cH0}cH00cH0}cH00cH00cH00cH00cH0}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH0}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}}cH00cH00cH00cH00cH00cH00}}cH00cH00cH00cH00cH00cH0}}cH00cH

Solid of revolution demonstration

Las formas de descanso

Las formas en movimiento, mostrando los sólidos de la revolución formados por cada uno

Forma paramétrica

Cuando una curva se define por su forma paramétrica (x(t),y(t)) en algún intervalo [a,b], los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o el y-eje están dados por

Vx=∫ ∫ abπ π Sí.2dxdtdt,{displaystyle V_{x}=int _{a}{b}pi} ¿Qué?

VSí.=∫ ∫ abπ π x2dSí.dtdt.{displaystyle V_{y}=int _{a}b}pi x^{2},{frac} {y} {dt},dt,}

Bajo las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o el El eje y viene dado por

Ax=∫ ∫ ab2π π Sí.()dxdt)2+()dSí.dt)2dt,{displaystyle A_{x}=int _{a}{b}2pi} Y ',{sqrt {left({frac {dx} {dt}right)^{2}+left({frac} Bueno...

ASí.=∫ ∫ ab2π π x()dxdt)2+()dSí.dt)2dt.{displaystyle A_{y}=int _{a}{b}2pi x,{sqrt {left({frac {dx}{dt}}right)}{2}+left({frac {frac}{dt}{b}}}{b}b}b}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00ccH00cccH00ccH00cccccccH00 Bueno...

Forma polar

Para una curva polar r=f()Silencio Silencio ){displaystyle r=f(theta)} Donde α α ≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ β β {displaystyle alpha leq theta leq beta }, los volúmenes de los sólidos generados girando la curva alrededor del eje x o eje y son

Vx=∫ ∫ α α β β ()π π r2pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio drdSilencio Silencio − − π π r3pecado3⁡ ⁡ Silencio Silencio )dSilencio Silencio ,{displaystyle V_{x}=int _{alpha } {beta }left(pi r^{2}sin ^{2}{theta }cos {thetat} },{frac {d} {dtheta - ¿Qué?

VSí.=∫ ∫ α α β β ()π π r2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #2⁡ ⁡ Silencio Silencio drdSilencio Silencio +π π r3#3⁡ ⁡ Silencio Silencio )dSilencio Silencio .{displaystyle V_{y}=int _{alpha }beta }left(pi r^{2}sin {theta ¿Qué? - ¿Qué?

Las áreas de las superficies de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o y

Ax=∫ ∫ α α β β 2π π rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio r2+()drdSilencio Silencio )2dSilencio Silencio ,{displaystyle A_{x}=int _{alpha }{beta }2pi rsin {theta ¿Por qué?

ASí.=∫ ∫ α α β β 2π π r#⁡ ⁡ Silencio Silencio r2+()drdSilencio Silencio )2dSilencio Silencio ,{displaystyle A_{y}=int _{alpha }{beta }2pi rcos {theta ¿Por qué?