Sobre números y juegos

Sobre números y juegos es un libro de matemáticas de John Horton Conway publicado por primera vez en 1976. El libro está escrito por un destacado matemático y está dirigido a otros matemáticos Sin embargo, el material está desarrollado de una manera lúdica y sin pretensiones y muchos capítulos son accesibles para los no matemáticos. Martin Gardner discutió el libro extensamente, particularmente la construcción de números surrealistas de Conway, en su columna Juegos Matemáticos en Scientific American en septiembre de 1976.

El libro se divide aproximadamente en dos secciones: la primera mitad (o Zeroth Part), sobre números, la segunda mitad (o First Part), sobre juegos. En la Parte Cero, Conway proporciona axiomas para la aritmética: suma, resta, multiplicación, división y desigualdad. Esto permite una construcción axiomática de números y aritmética ordinal, a saber, los números enteros, los reales, el infinito contable y torres enteras de infinitos ordinales. El objeto al que se aplican estos axiomas toma la forma {L|R}, que puede interpretarse como un tipo especializado de conjunto; una especie de conjunto de dos caras. Al insistir en que L<R, este conjunto de dos caras se parece al corte de Dedekind. La construcción resultante produce un campo, ahora llamado números surrealistas. Los ordinales están incrustados en este campo. La construcción tiene sus raíces en la teoría axiomática de conjuntos y está estrechamente relacionada con los axiomas de Zermelo-Fraenkel. En el libro original, Conway simplemente se refiere a este campo como 'los números'. El término "números surrealistas" se adopta más tarde, por sugerencia de Donald Knuth.

En la primera parte, Conway señala que, al eliminar la restricción L<R, los axiomas aún se aplican y la construcción continúa, pero los objetos resultantes ya no pueden interpretarse como números. Se pueden interpretar como la clase de todos los juegos de dos jugadores. Los axiomas para mayor que y menor que se ven como una ordenación natural en los juegos, correspondiente a cuál de los dos jugadores puede ganar. El resto del libro está dedicado a explorar una serie de juegos diferentes (no tradicionales, inspirados matemáticamente) para dos jugadores, como nim, hackenbush y los juegos de colorear mapas col y snort. El desarrollo incluye su puntuación, una revisión del teorema de Sprague-Grundy y las interrelaciones con los números, incluida su relación con los infinitesimales.

El libro fue publicado por primera vez por Academic Press Inc en 1976, ISBN 0-12-186350-6, y AK Peters lo volvió a publicar en 2000 (ISBN 1-56881-127-6).

Parte cero... en números

En la Parte Cero, Capítulo 0, Conway introduce una forma especializada de notación de conjuntos, que tiene la forma {L|R}, donde L y R son nuevamente de esta forma, construidos recursivamente, terminando en {|}, que es debe leerse como un análogo del conjunto vacío. Dado este objeto, se pueden dar definiciones axiomáticas de suma, resta, multiplicación, división y desigualdad. Siempre que se insista en que L<R (con esta afirmación vagamente cierta cuando L o R son el conjunto vacío), la clase resultante de objetos puede interpretarse como números, los números surrealistas. La notación {L|R} entonces se parece al corte de Dedekind.

El ordinal ⋅ ⋅ {displaystyle omega } está construido por inducción transfinita. Como con ordinal convencional, ⋅ ⋅ +1{displaystyle omega +1} se puede definir. Gracias a la definición axiomática de la resta, ⋅ ⋅ − − 1{displaystyle omega -1} también se puede definir de manera coherente: es estrictamente menos que ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, y obedece la igualdad "obvio" ()⋅ ⋅ − − 1)+1=⋅ ⋅ .{displaystyle (omega -1)+1=omega.} Sin embargo, sigue siendo más grande que cualquier número natural.

La construcción permite un zoológico entero de números peculiares, los surrealistas, que forman un campo. Ejemplos incluyen ⋅ ⋅ /2{displaystyle omega /2}, 1/⋅ ⋅ {displaystyle 1/omega }, ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ 1/2{displaystyle {sqrt {omega }=omega ^{1/2}, ⋅ ⋅ 1/⋅ ⋅ {displaystyle omega ^{1/omega } y similar.

Primera Parte... y Juegos

En la Primera Parte, Conway abandona la restricción L<R y luego interpreta la forma {L|R} como un juego de dos jugadores: una posición en una competencia entre dos jugadores, Izquierda y Derecha. Cada jugador tiene un conjunto de juegos llamados opciones para elegir a su vez. Los juegos se escriben {L|R} donde L es el conjunto de opciones Left's y R es el conjunto de opciones Right's. Al principio no hay juegos en absoluto, por lo que el conjunto vacío (es decir, el conjunto sin miembros) es el único conjunto de opciones que podemos proporcionar a los jugadores. Esto define el juego {|}, que se llama 0. Consideramos que un jugador que debe jugar un turno pero no tiene opciones ha perdido el juego. Dado este juego 0 ahora hay dos posibles conjuntos de opciones, el conjunto vacío y el conjunto cuyo único elemento es cero. El juego {0|} se llama 1 y el juego {|0} se llama -1. El juego {0|0} se llama * (estrella), y es el primer juego que encontramos que no es un número.

Todos los números son positivos, negativos o cero, y decimos que un juego es positivo si Izquierda tiene una estrategia ganadora, negativo si Derecha tiene una estrategia ganadora, o cero si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. Los juegos que no son números tienen una cuarta posibilidad: pueden ser confusos, lo que significa que el primer jugador tiene una estrategia ganadora. * es un juego difuso.