Sistema ortocéntrico

Sistema ortocéntrico. Cualquier punto es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres.

En geometría, un sistema ortocéntrico es un conjunto de cuatro puntos en un plano, uno de los cuales es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres. De manera equivalente, las líneas que pasan por pares disjuntos entre los puntos son perpendiculares, y los cuatro círculos que pasan por cualquiera de los tres de los cuatro puntos tienen el mismo radio.

Si cuatro puntos forman un sistema ortocéntrico, entonces cada de los cuatro puntos es el ortocentro de los otros tres. Estos cuatro triángulos posibles tendrán todos el mismo círculo de nueve puntos. En consecuencia, estos cuatro posibles triángulos deben tener circuncírculos con el mismo circunradio.

El círculo común de nueve puntos

Círculo común de nueve puntos, donde O, O₄, A₄ son el centro de nueve puntos, circuncentro y ortocentro respectivamente del triángulo formado de los otros tres puntos ortocéntricos A₁, A₂, A₃.

El centro de este círculo común de nueve puntos se encuentra en el centroide de los cuatro puntos ortocéntricos. El radio del círculo común de nueve puntos es la distancia desde el centro de nueve puntos hasta el punto medio de cualquiera de los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos a través de los cuales pasa el círculo común de nueve puntos. El círculo de nueve puntos también pasa por las tres intersecciones ortogonales a los pies de las alturas de los cuatro triángulos posibles.

Este centro común de nueve puntos se encuentra en el punto medio del conector que une cualquier punto ortocéntrico con el circuncentro del triángulo formado por los otros tres puntos ortocéntricos.

El círculo común de nueve puntos es tangente a los 16 círculos internos y externos de los cuatro triángulos cuyos vértices forman el sistema ortocéntrico.

El triángulo órtico común, su incentro y sus excentros

Si los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos se extienden a seis líneas que se intersecan entre sí, generan siete puntos de intersección. Cuatro de estos puntos son los puntos ortocéntricos originales y los tres puntos adicionales son las intersecciones ortogonales al pie de las alturas. La unión de estos tres puntos ortogonales en un triángulo genera un triángulo órtico que es común a los cuatro triángulos posibles formados a partir de los cuatro puntos ortocéntricos tomados de tres en tres.

El incentro de este triángulo órtico común debe ser uno de los cuatro puntos ortocéntricos originales. Además, los tres puntos restantes se convierten en los excentros de este triángulo órtico común. El punto ortocéntrico que se convierte en el incentro del triángulo órtico es el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Esta relación entre el triángulo órtico y los cuatro puntos ortocéntricos originales conduce directamente al hecho de que el incentro y los excentros de un triángulo de referencia forman un sistema ortocéntrico.

Es normal distinguir uno de los puntos ortocéntricos de los demás, específicamente el que es el incentro del triángulo órtico; este se denota H como el ortocentro de los tres puntos ortocéntricos exteriores que se eligen como un triángulo de referencia △ABC. En esta configuración normalizada, el punto H siempre estará dentro del triángulo △ABC , y todos los ángulos del triángulo △ABC serán agudos. Los cuatro triángulos posibles mencionados anteriormente son entonces triángulos △ABC, △ABH, △ACH, △BCH. Los seis conectores mencionados anteriormente son AB, AC, BC, AH, BH, CH. Las siete intersecciones mencionadas anteriormente son A, B, C, H (los puntos ortocéntricos originales) y H_A, H_B, H_C (los pies de las alturas del triángulo △ABC y los vértices del triángulo órtico).

El sistema ortocéntrico y sus ejes órticos

El eje órtico asociado con un sistema ortocéntrico normalizado A, B, C, H, donde △ABC es el triángulo de referencia, es una línea que pasa por tres puntos de intersección formados cuando cada lado del triángulo órtico se encuentra con cada lado del triángulo de referencia. Ahora considere los otros tres triángulos posibles, △ABH, △ACH, △BCH. Cada uno tiene su propio eje órtico.

Líneas de Euler y sistemas homotéticos ortocéntricos

Sistema ortocéntrico. Donde O₁, O₂, O₃, O₄ son los circuncentros de los cuatro posibles triángulos formados de los puntos ortocéntricos A₁, A₂, A₃, A₄.

Sean vectores a, b, c, h determine la posición de cada uno de los cuatro puntos ortocéntricos y sea n = (a + b + c + h) / 4 sea el vector de posición de N, el centro común de nueve puntos. Une cada uno de los cuatro puntos ortocéntricos a su centro común de nueve puntos y extiéndelos en cuatro líneas. Estas cuatro líneas ahora representan las líneas de Euler de los cuatro triángulos posibles donde la línea extendida HN es la línea de Euler del triángulo △ABC y la línea extendida AN es la línea de Euler del triángulo △BCH etc. Si un punto P se elige en la línea de Euler HN del triángulo de referencia △ABC con un vector de posición p tal que p = n + α(h – n) donde α es un puro constante independiente del posicionamiento de los cuatro puntos ortocéntricos y tres puntos más P_A, P_B, P_C tal que p_a = n + α(a – n) etc., luego P, P_A, P_B, P_C forman un sistema ortocéntrico. Este sistema ortocéntrico generado es siempre homotético al sistema original de cuatro puntos con el centro común de nueve puntos como centro homotético y α la razón de similitud.

Cuando se elige P como el centroide G, luego α = –⅓. Cuando P se elige como el circuncentro O , entonces α = –1 y el sistema ortocéntrico generado es congruente con el sistema original además de ser un reflejo de este sobre el centro de nueve puntos. En esta configuración P_A, P_B, P_C forman un triángulo de Johnson del triángulo de referencia original △ABC. En consecuencia, las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos △ABC, △ABH, △ACH, △BCH son todos iguales y forman un conjunto de círculos de Johnson como se muestra en el diagrama adyacente.

Otras propiedades

Las cuatro líneas de Euler de un sistema ortocéntrico son ortogonales a los cuatro ejes órticos de un sistema ortocéntrico.

Los seis conectores que unen cualquier par de los cuatro puntos ortocéntricos originales producirán pares de conectores que son ortogonales entre sí de modo que satisfagan las ecuaciones de distancia

AB̄ ̄ 2+CH̄ ̄ 2=AC̄ ̄ 2+BH̄ ̄ 2=BC̄ ̄ 2+AH̄ ̄ 2=4R2{displaystyle {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}}}}\\\\\fnMicronoline {\\\\\fnMicronoline {fnMicrosoft}}}}\\\\\\\fnMicronoline {fnMicrosoft}}}}}}}}}\\\\\\\\fnMicronoline {\\\fnMicrosoft}\\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\fnMicrosoft}}}}}}} {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}} {fnK}}}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\ {BH}} {2}={overline {B}} {2}+{fn}} {2}=4R^{2}}} {cH}} {cH}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}} {}}}}} {cH}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

donde R es el circunradio común de los cuatro triángulos posibles. Estas ecuaciones junto con la ley de los senos dan como resultado la identidad

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El teorema de Feuerbach establece que la circunferencia de nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y las tres circunferencias excéntricas de un triángulo de referencia. Debido a que el círculo de nueve puntos es común a los cuatro triángulos posibles en un sistema ortocéntrico, es tangente a 16 círculos que comprenden los círculos internos y externos de los cuatro triángulos posibles.

Cualquier cónica que pase por los cuatro puntos ortocéntricos solo puede ser una hipérbola rectangular. Esto es resultado del teorema de la cónica de Feuerbach que establece que para todas las circuncónicas de un triángulo de referencia que también pasa por su ortocentro, el lugar geométrico del centro de tales circuncónicas forma el círculo de nueve puntos y que las circuncónicas solo pueden ser hipérbolas rectangulares. El lugar geométrico de los perspectores de esta familia de hipérbolas rectangulares estará siempre sobre los cuatro ejes órticos. Entonces, si se dibuja una hipérbola rectangular a través de cuatro puntos ortocéntricos, tendrá un centro fijo en el círculo común de nueve puntos, pero tendrá cuatro perspectivas, una en cada uno de los ejes órticos de los cuatro triángulos posibles. El único punto del círculo de nueve puntos que es el centro de esta hipérbola rectangular tendrá cuatro definiciones diferentes dependiendo de cuál de los cuatro triángulos posibles se utilice como triángulo de referencia.

Las hipérbolas rectangulares bien documentadas que pasan por cuatro puntos ortocéntricos son las circunhipérbolas de Feuerbach, Jeřábek y Kiepert del triángulo de referencia △ABC en una forma normalizada system con H como el ortocentro.

Los cuatro triángulos posibles tienen un conjunto de cuatro incónicas conocidas como incónicas órticas que comparten ciertas propiedades. Los contactos de estas incónicas con los cuatro triángulos posibles ocurren en los vértices de su triángulo órtico común. En un sistema ortocéntrico normalizado, la incónica órtica que es tangente a los lados del triángulo △ABC es una inelipse y las incónicas órticas de las otras tres posibles los triángulos son hipérbolas. Estas cuatro incónicas órticas también comparten el mismo punto de Brianchon H, el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Los centros de estas incónicas órticas son los puntos simedianos K de los cuatro triángulos posibles.

Hay muchas cúbicas documentadas que pasan por un triángulo de referencia y su ortocentro. El circuncúbico conocido como ortocúbico - K006 es interesante porque pasa a través de tres sistemas ortocéntricos, así como los tres vértices del triángulo órtico (pero no el ortocentro del triángulo órtico). Los tres sistemas ortocéntricos son el incentro y los excentros, el triángulo de referencia y su ortocentro y finalmente el ortocentro del triángulo de referencia junto con los otros tres puntos de intersección que tiene esta cúbica con el circuncírculo del triángulo de referencia.

Dos círculos polares cualesquiera de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales.