Sistema numeral

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Nota para expresar números

Números escritos en diferentes sistemas numerales.

Un sistema numérico (o sistema de numeración) es un sistema de escritura para expresar números; es decir, una notación matemática para representar números de un conjunto dado, usando dígitos u otros símbolos de manera consistente.

La misma secuencia de símbolos puede representar diferentes números en diferentes sistemas numéricos. Por ejemplo, "11" representa el número once en el sistema numérico decimal (hoy en día, el sistema más común a nivel mundial), el número tres en el sistema numérico binario (utilizado en las computadoras modernas) y el número dos en el sistema numérico unario (usado en el conteo de puntajes).

El número que representa el numeral se llama su valor. No todos los sistemas numéricos pueden representar el mismo conjunto de números; por ejemplo, los números romanos no pueden representar el número representado por el número arábigo hindú 0.

Idealmente, un sistema numérico:

Representar un conjunto útil de números (por ejemplo, todos los números enteros, o números racionales)
Dar cada número representó una representación única (o al menos una representación estándar)
Refleja la estructura algebraica y aritmética de los números.

Por ejemplo, la representación decimal habitual le da a cada número natural distinto de cero una representación única como una secuencia finita de dígitos, comenzando con un dígito distinto de cero.

Los sistemas numéricos a veces se llaman sistemas numéricos, pero ese nombre es ambiguo, ya que podría referirse a diferentes sistemas de números, como el sistema de números reales, el sistema de números complejos, el sistema de números p-ádicos, etc. Tales sistemas, sin embargo, no son el tema de este artículo.

Principales sistemas numéricos

El sistema de numeración más utilizado es el decimal. A los matemáticos indios se les atribuye el desarrollo de la versión entera, el sistema numérico hindú-árabe. Aryabhata de Kusumapura desarrolló la notación de valor posicional en el siglo V y un siglo después, Brahmagupta introdujo el símbolo del cero. El sistema se extendió lentamente a otras regiones circundantes como Arabia debido a sus actividades comerciales y militares con la India. Los matemáticos de Oriente Medio ampliaron el sistema para incluir potencias negativas de 10 (fracciones), como se registra en un tratado del matemático sirio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en 952–953, y Sind ibn introdujo la notación del punto decimal. Ali, quien también escribió el primer tratado sobre números arábigos. El sistema numérico hindú-árabe luego se extendió a Europa debido al comercio de los comerciantes, y los dígitos utilizados en Europa se denominan números arábigos, ya que los aprendieron de los árabes.

El sistema numérico más simple es el sistema numérico unario, en el que cada número natural está representado por un número correspondiente de símbolos. Si se elige el símbolo /, por ejemplo, entonces el número siete estaría representado por ///////. Las marcas de conteo representan uno de esos sistemas que aún es de uso común. El sistema unario solo es útil para números pequeños, aunque juega un papel importante en la informática teórica. La codificación gamma de Elias, que se usa comúnmente en la compresión de datos, expresa números de tamaño arbitrario mediante el uso de unario para indicar la longitud de un número binario.

La notación unaria se puede abreviar introduciendo diferentes símbolos para ciertos valores nuevos. Muy comúnmente, estos valores son potencias de 10; por ejemplo, si / representa uno, − diez y + 100, entonces el número 304 se puede representar de forma compacta como +++ //// y el número 123 como + − − /// sin necesidad de cero. Esto se llama notación de valor de signo. El antiguo sistema de numeración egipcio era de este tipo, y el sistema de numeración romano era una modificación de esta idea.

Más útiles aún son los sistemas que emplean abreviaturas especiales para repeticiones de símbolos; por ejemplo, usando las primeras nueve letras del alfabeto para estas abreviaturas, con A representando "una ocurrencia", B "dos ocurrencias", y así sucesivamente, se podría escribir C+ D / para el número 304. Este sistema se usa para escribir números chinos y otros números de Asia oriental basados en el chino. El sistema numérico del idioma inglés es de este tipo ("trescientos [y] cuatro"), como lo son los de otros idiomas hablados, independientemente de los sistemas escritos que hayan adoptado. Sin embargo, muchos idiomas usan mezclas de bases y otras características, por ejemplo, 79 en francés es soixante dix-neuf (60 + 10 + 9) y en galés es pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) o (algo arcaico) pedwar ugain namyn un (4 × 20 − 1). En inglés, se podría decir "four score less one", como en el famoso Discurso de Gettysburg que representa "hace 87 años" como "hace cuatro veintenas y siete años".

Más elegante es un sistema posicional, también conocido como notación de valor posicional. Nuevamente, trabajando en base 10, se usan diez dígitos diferentes 0,..., 9 y la posición de un dígito se usa para indicar la potencia de diez con la que se multiplicará el dígito, como en 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 o más precisamente 3×10² + 0×10¹ + 4×10⁰. El cero, que no se necesita en los otros sistemas, es de crucial importancia aquí, para poder "saltar" un poder. El sistema de numeración hindú-árabe, que se originó en la India y ahora se usa en todo el mundo, es un sistema posicional de base 10.

La aritmética es mucho más fácil en los sistemas posicionales que en los sistemas aditivos anteriores; además, los sistemas aditivos necesitan una gran cantidad de símbolos diferentes para las diferentes potencias de 10; un sistema posicional necesita solo diez símbolos diferentes (asumiendo que usa base 10).

El sistema decimal posicional actualmente se usa universalmente en la escritura humana. La base 1000 también se usa (aunque no universalmente), agrupando los dígitos y considerando una secuencia de tres dígitos decimales como un solo dígito. Este es el significado de la notación común 1.000.234.567 utilizada para números muy grandes.

En los ordenadores, los principales sistemas de numeración se basan en el sistema posicional en base 2 (sistema de numeración binario), con dos dígitos binarios, el 0 y el 1. Los sistemas posicionales se obtienen agrupando los dígitos binarios por tres (sistema de numeración octal) o por cuatro (sistema numérico hexadecimal) se utilizan comúnmente. Para números enteros muy grandes, se utilizan bases 2³² o 2⁶⁴ (agrupando dígitos binarios por 32 o 64, la longitud de la palabra de máquina), como, por ejemplo, en GMP.

En ciertos sistemas biológicos, se emplea el sistema de codificación unario. Números unarios utilizados en los circuitos neuronales responsables de la producción del canto de los pájaros. El núcleo en el cerebro de los pájaros cantores que juega un papel tanto en el aprendizaje como en la producción del canto de los pájaros es el HVC (centro vocal alto). Las señales de comando para diferentes notas en el canto de los pájaros emanan de diferentes puntos en el HVC. Esta codificación funciona como codificación espacial, que es una estrategia eficiente para los circuitos biológicos debido a su simplicidad y robustez inherentes.

Los numerales que se usan al escribir números con dígitos o símbolos se pueden dividir en dos tipos que podrían llamarse numerales aritméticos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y geométricos numerales (1, 10, 100, 1000, 10000...), respectivamente. Los sistemas de signo-valor usan solo los números geométricos y los sistemas posicionales usan solo los números aritméticos. Un sistema de signo-valor no necesita números aritméticos porque están hechos por repetición (excepto el sistema iónico), y un sistema posicional no necesita números geométricos porque están hechos por posición. Sin embargo, el idioma hablado utiliza tanto números aritméticos como geométricos.

En algunas áreas de la informática, se utiliza un sistema posicional de base k modificado, llamado numeración biyectiva, con dígitos 1, 2,..., k (k ≥ 1), y el cero está representado por una cadena vacía. Esto establece una biyección entre el conjunto de todas esas cadenas de dígitos y el conjunto de enteros no negativos, evitando la falta de unicidad causada por los ceros iniciales. La numeración biyectiva en base k también se denomina notación k-ádica, y no debe confundirse con los números p-ádicos. La base 1 biyectiva es lo mismo que unario.

Sistemas posicionales en detalle

En un sistema numérico de base posicional b (con b un número natural mayor que 1 conocido como raíz), b símbolos básicos (o dígitos) correspondientes a la primera b se utilizan números naturales incluido el cero. Para generar el resto de los numerales se utiliza la posición del símbolo en la figura. El símbolo en la última posición tiene su propio valor y, a medida que se mueve hacia la izquierda, su valor se multiplica por b.

Por ejemplo, en el sistema decimal (base 10), el número 4327 significa $(4 \times10 3) + (3 \times10 2) + (2 \times10 1) + (7 \times 10 0)$ , teniendo en cuenta que $100 = 1$ .

En general, si b es la base, uno escribe un número en el sistema numérico de base b expresándolo en la forma <span class="texhtml" a_nbⁿ + a_{n − 1}b^{n − 1} + a_{n − 2}b^{n − 2} +... + a₀b⁰ y escribiendo los dígitos enumerados $a n a n - 1</sub a n - 2 ... a 0$ en orden descendiente. Los dígitos son números naturales entre 0 y $b - 1$ , inclusive.

Si un texto (como este) habla de múltiples bases, y si existe ambigüedad, la base (representada en base 10) se agrega en subíndice a la derecha del número, así: número_base. A menos que el contexto lo especifique, los números sin subíndice se consideran decimales.

Usando un punto para dividir los dígitos en dos grupos, también se pueden escribir fracciones en el sistema posicional. Por ejemplo, el número de base 2 10.11 denota $1\times2 1 + 0\times2 0 + 1\times2 -1 + 1\times2 -2 = 2,75$ .

En general, los números en el sistema base b son de la forma:

(a_{n}a_{n-1}cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}cdots)_{b}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+sum _{k=1}^{infty }c_{k}b^{-k}.

Los números b^k y b^−k son los pesos de los dígitos correspondientes. La posición k es el logaritmo del peso correspondiente w, eso es $k=log _{b}w=log _{b}b^{k}$ . La posición más alta utilizada está cerca del orden de magnitud del número.

El número de marcas de cuenta requeridas en el sistema de numeral no deseado para describiendo el peso habría sido w. En el sistema posicional, el número de dígitos requeridos para describirlo es sólo ${displaystyle k+1=log _{b}w+1}$ , para k ≥ 0. Por ejemplo, para describir el peso 1000 entonces se necesitan cuatro dígitos porque $log _{10}1000+1=3+1$ . El número de dígitos requeridos para describir la posición es $log _{b}k+1=log _{b}log _{b}w+1$ (en posiciones 1, 10, 100,... sólo por simplicidad en el ejemplo decimal).

{displaystyle {begin{array}{l|rrrrrrr}{text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&cdots \hline {text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&cdots \{text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&cdots \hline {text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&cdots \{text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&cdots end{array}}}

Un número tiene una expansión terminal o repetitiva si y solo si es racional; esto no depende de la base. Un número que termina en una base puede repetirse en otra (así $0.3 10 = 0.0100110011001... 2$ ). Un número irracional permanece aperiódico (con un número infinito de dígitos que no se repiten) en todas las bases integrales. Así, por ejemplo en base 2, $π = 3,1415926... 10$ se puede escribir como el aperiódico 11,001001000011111...₂.

Poner sobrescores, n, o puntos, ṅ, encima de los dígitos comunes es una convención utilizada para representar expansiones racionales repetidas. Por lo tanto:

14/11 = 1.272727272727... = 1.27 o 321.3217878787878... = 321.32178.

Si b = p es un número primo, se pueden definir números de base p cuya expansión hacia la izquierda nunca se detiene; estos se llaman números p-ádicos.

Enteros generalizados de longitud variable

Más general está usando una notación de ráxico mixto (aquí escrito pequeño-endian) como $a_{0}a_{1}a_{2}$ para $a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}$ , etc.

Esto se utiliza en Punycode, uno de los cuales es la representación de una secuencia de enteros no negativos de tamaño arbitrario en forma de una secuencia sin delimitadores, de "digits" de una colección de 36: a–z y 0–9, representando 0–25 y 26–35 respectivamente. También hay los denominados valores umbrales ( ${displaystyle t_{0},t_{1},...}$ ) que se fijan para cada posición en el número. Un dígito $a_{i}$ (en una posición determinada en el número) que es inferior a su valor umbral correspondiente $t_{i}$ significa que es el dígito más significativo, por lo tanto en la cadena este es el final del número, y el próximo símbolo (si está presente) es el dígito menos significativo del próximo número.

Por ejemplo, si el valor umbral del primer dígito es b (es decir, 1) entonces a (es decir, 0) marca el final del número (tiene sólo un dígito), por lo que en número de más de un dígito, rango de primer dígito es sólo b–9 (es decir, 1–35), por lo tanto el peso b₁ 35 en lugar de 36. Más generalmente, si t_n es el umbral para el n- es fácil mostrar que ${displaystyle b_{n+1}=36-t_{n}}$ . Supongamos que los valores del umbral para el segundo y tercer dígitos son c (es decir, 2), entonces el rango de segundo dígitos es a–b (es decir, 0–1) con el segundo dígito es más significativo, mientras que el rango es c–9 (es decir, 2–35) en presencia de un tercer dígito. Generalmente, para cualquier n, el peso de la (n+1)-th digit is the weight of the previous one times (36 − threshold of the n-th digit). Así que el peso del segundo símbolo es ${displaystyle 36-t_{0}=35}$ . Y el peso del tercer símbolo es ${displaystyle 35*(36-t_{1})=35*34=1190}$ .

Así que tenemos la siguiente secuencia de números con un máximo de 3 dígitos:

a (0), ba (1), ca (2),..., 9a (35), bb (36), cb (37),..., 9b (70), bca (71),..., 99a (1260), bcb (1261),..., 99b (2450).

A diferencia de un sistema numérico regular basado en n, hay números como 9b donde 9 y b representan cada uno 35; sin embargo, la representación es única porque ac y aca no están permitidos: el primer a terminaría cada uno de estos números.

La flexibilidad en la elección de valores de umbral permite la optimización del número de dígitos según la frecuencia de aparición de números de varios tamaños.

El caso con todos los valores de umbral iguales a 1 corresponde a la numeración biyectiva, donde los ceros corresponden a separadores de números con dígitos distintos de cero.

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