Sistema local

En matemáticas, un sistema local (o un sistema de coeficientes locales) en un espacio topológico X es una herramienta de la topología algebraica que interpola entre cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y cohomología general de gavilla en la que los coeficientes varían de un punto a otro. Norman Steenrod introdujo los sistemas de coeficientes locales en 1943.

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las poleas construibles y perversas.

Definición

Vamos. X ser un espacio topológico. A sistema local (de grupos abelianos/módulos/...) X es una hoja localmente constante (de grupos/módulos abelianos...) en X. En otras palabras, un jersey ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es un sistema local si cada punto tiene un vecindario abierto ${\displaystyle U}$ tal que la hoja restringida ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh}$ es isomorfa a la sopa de una hoja constante.

Definiciones equitativas

Espacios conectados por caminos

Si X está conectado con el camino, un sistema local ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ de grupos abelianos tiene el mismo tallo ${\displaystyle L.$ en cada punto. Hay una correspondencia bijeactiva entre los sistemas locales en X y homomorfismos de grupo

${\displaystyle \rho:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}(L)}$

y similarmente para sistemas locales de módulos. El mapa ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{End}(L)}$ dar el sistema local ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se llama monodromía de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$.

Esto muestra que (para X un sistema local es precisamente una hoja cuyo retroceso a la cubierta universal X es una hoja constante.

Esta correspondencia se puede actualizar a una equivalencia de categorías entre la categoría de sistemas locales de grupos abelianos sobre X y la categoría de grupos abelianos dotados de una acción ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ (Equivalentemente, ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)}$-módulos).

Definición más fuerte en espacios no conectados

Una definición no equivalente más fuerte que funciona para X no conectado es: la siguiente: un sistema local es un functor covariante

${\displaystyle {\mathcal {L}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}(R)}$

del grupo fundamental de ${\displaystyle X}$ a la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo ${\displaystyle R.$, donde típicamente ${\displaystyle R=\mathbb {}\Mathbb {R} {C}$. Esto equivale a los datos de una asignación a cada punto ${\displaystyle x\in X}$ un módulo ${\displaystyle M}$ junto con una representación grupal ${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{ Aut}_{R}(M)}$ tales que los diversos ${\displaystyle \rho _{x}}$ son compatibles con el cambio de punto base ${\displaystyle x\to y}$ y el mapa inducido ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)}$ sobre grupos fundamentales.

Ejemplos

• Jaleas constantes como ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMin {Q} }_{X}$. Esta es una herramienta útil para computar la cohomología ya que en buenas situaciones hay un isomorfismo entre la cohomología de hoja y la cohomología singular:

$${\displaystyle (X,{\compline {\mathbb {Q} ¿Qué?$$

• Vamos. ${\displaystyle X=\Mathbb {R} ^{2}\setminus {0,0}}$. Desde ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z}$, hay un ${\displaystyle S^{1}$ familia de sistemas locales en X correspondiente a los mapas ${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }$:

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}_{\mathbb {C}(\mathbb {C}}} {\Mathbb {C}}}}}}$$

• Secciones horizontales de paquetes vectoriales con una conexión plana. Si ${\displaystyle E\to X}$ es un paquete vectorial con conexión plana ${\displaystyle \nabla }$, entonces hay un sistema local dado por
  $${\displaystyle ¿Qué? }=\left\{\text{sections }s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }\nabla s=0\right}}$$

  
  Por ejemplo, tome ${\displaystyle X=\Mathbb {C} \setminus 0}$ y ${\displaystyle E=X\times \mathbb {C}$El paquete trivial. Secciones de E son n-tuples of functions on X, entonces ${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dotsf_{n}=(df_{1},\dotsdf_{n})}$ define una conexión plana en E, como lo hace ${\displaystyle \nabla (f_{1},\dotsf_{n}=(df_{1},\dotsdf_{n})-\ Theta (x)(f_{1},\dotsf_{n} {t}}$ para cualquier matriz de una forma ${\displaystyle \Theta }$ on X. Las secciones horizontales son entonces
  $${\displaystyle ¿Qué? }=\left\ {\f_{1},\dotsf_{n}\in E_{U}:(df_{1},\dotsdf_{n}=\ Theta (f_{1},\dotsf_{n}$$

  
  es decir, las soluciones a la ecuación diferencial lineal ${\displaystyle DF_{i}=\sum \Theta ¿Qué?$.

  Si ${\displaystyle \Theta }$ se extiende a una forma única ${\displaystyle \mathbb}$ lo anterior también definirá un sistema local ${\displaystyle \mathbb}$, así será trivial desde ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C}=0}$. Así que para dar un ejemplo interesante, elegir uno con un poste en 0:

  $${\displaystyle \Theta {\begin{pmatrix}0 dx/x\\\dx}dx\end{pmatrix}}$$

  
  en cuyo caso ${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$,
  $${\displaystyle ¿Qué? }=\left\{f_{1},f_{2}: U\to \mathbb {C} \ {\text{ with }f'_{1}=f_{2}/x\ {\f}\f}$$

  

• An n- plano de cobertura ${\displaystyle X\to Y}$ es un sistema local con fibras dadas por el conjunto ${\displaystyle \{1,\dotsn}$. Análogamente, un paquete de fibra con fibra discreta es un sistema local, ya que cada camino se eleva de forma única a una determinada elevación de su punto base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales valorados en conjunto de la manera obvia).

• Un sistema local k- espacios de vehículos en X equivale a un k- Representación lineal de ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$.

• Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los D-modules que son además coherentes O_X-módulos (ver módulos O).

• Si la conexión no es plana (es decir, su curvatura no es cero), entonces el transporte paralelo de una fibra F_x sobre x alrededor de un bucle contractual basado en x_0 puede dar un automorfismo no trivial F_x, por lo que las cuchillas localmente constantes no se pueden definir necesariamente para conexiones no planas.

• La conexión Gauss-Manin es un ejemplo prominente de una conexión cuyas secciones horizontales se estudian en relación con la variación de las estructuras Hodge.

Cohomología

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, denominada cohomología con coeficientes locales, que se vuelven equivalentes bajo supuestos suaves sobre X.

• Dada una hoja localmente constante ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ of abelian groups on X, tenemos los grupos de cohomología de hoja ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L})}$ con coeficientes en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$.

• Dada una hoja localmente constante ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ of abelian groups on X, vamos ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L})}$ ser el grupo de todas las funciones f que mapa cada singular n-simplex ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$ a una sección mundial ${\displaystyle f(\sigma)}$ de la hoja de imagen inversa ${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}$. Estos grupos se pueden convertir en un complejo de cocaína con diferenciales construidos como en cohomología singular habitual. Define ${\displaystyle ¿Qué?$ ser la cohomología de este complejo.

• El grupo ${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}}} {\fn}}$ de singular n- cadenas en la cubierta universal X tiene una acción ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ por transformaciones de cubierta. Explícitamente, una transformación de la cubierta ${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}\to {\widetilde {X}}$ toma un singular n-simplex ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}$ a ${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$. Entonces, dado un grupo abeliano L equipado con una acción de ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$, uno puede formar un complejo de cochaína de los grupos ${\displaystyle \operatorname [Hom] _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ de ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$- homomorfismos equivalentes como arriba. Define ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} {j}(X;L)}$ ser la cohomología de este complejo.

Si X es paracompacto y localmente contractible, entonces ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L})\cong H_{\mathrm {sing} {j}(X;{\mathcal {L})}}$. Si ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es el sistema local correspondiente a L, entonces hay una identificación ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L})\cong \operatorname [Hom] _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ compatible con las diferencias, por lo tanto ${\displaystyle ¿Qué?$.

Generalización

Los sistemas locales tienen una suave generalización de las cuñas edificables, una hoja edificable en un espacio topológico conectado localmente ${\displaystyle X}$ es un jersey ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ tal que exista una estratificación

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }$

Donde ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh}Sobrevivir_{X_{\fn\fnh} }$ es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del pushforward derivado para un mapa continuo ${\displaystyle f:X\to Sí.$. Por ejemplo, si miramos los puntos complejos del morfismo

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t]}$

luego las fibras terminan

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t} {2}-\mathbb {V} (st)}$

son la curva de plano suave dada por ${\displaystyle f}$, pero las fibras sobre ${\displaystyle \mathbb {V}$ son ${\displaystyle \mathbb {} {\2}}$. Si tomamos el empujón derivado ${\displaystyle \mathbf {R} f_{} {\compline {\fnMithbb {}}_{X}}}$ entonces tenemos una hoja constructible. Cambio ${\displaystyle \mathbb {V}$ tenemos los sistemas locales

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf [R] ^{0}f_{\compline {\mathbb {Q} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\\f}}\\\\\\cH00}\\\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}\f} {\f}\f} {\\f}\f}\\\\\cHFF}\\\\\\\cHFFFFFFFF}\cHFF}\cH00}\cH00}\cHFF}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\\\cH00}\\\cH00}\cHFF}\cHFF}\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cHFF}\cH00}\cH00}\\cHFF}\cH00\cH00}\cHFF} }_{X}) Anterior_{\mathbb {V} {\fnMitb} {\\fnMithbb {\cH}}_ {\\fnMithbb {\cHFF}\\\\fnMitbbbf}\\\\\\\\\fnMitbfnMitbhnK} [R] ^{4}f_{\compline {\mathbb {Q} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMithbb {\cH}\cHFF}\\\fnMithbb {\cHFF} {\cHFF} {\\cHFF} {\cHFF} {\cHFF}\cH00}\cHFF}\cHFF}\cHFF}\cHFF}\cHFF}\\cHFF}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00}}\cH00} - Hola. {0} {\fnK} {\fnMitbb {\fnK}} {\fnMitb}} {\f}} {\f}}\fnMitbb {\f}}} {\fnK}} {\fnK}}} {\f}}\f}\f}\fnMithbb {\fnMitbb {\f} {\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}\f} {\f} {\f}}\f}\f}\f}}\f}\f}\f} {\f}}\f}}\f}}}}}}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}\f}}\$

mientras ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t} {2}-\mathbb {V} (st)}$ tenemos los sistemas locales

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf [R] ^{0}f_{\compline {\mathbb {Q} - Hola. {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMithbb} {\fnMicrosoft Sans Serif} [R] ^{1}f_{\compline {\mathbb {Q} - Hola. {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMithbb} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}\\fnMitbf} [R] ^{2}f_{\compline {\mathbb {Q} - Hola. {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMithbb} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f} {\fnMicrosoft} {\f} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f}}\f}}\f} {\f}\f}}}}}}\f}}}}}\b}\b}\\\\b}\b}\cH0}\f} {\f}\cH00\cH9}\cH00\cH0\f}\f}\cH00\f}\cH00\cH00}\cH00}\cH0}\cH00}\cH00}\cH0}\cH00\cH00}\cH00}\cH0}\cH00}\cH0}\cH00}\cH00}}}\cH0} - Hola. {\fnMicrosoft Sans Serif} {0}_ {\fnMitbb {\fnMitbb} {\fnMitbb {V} {\f} {\f}}\end{aligned}}}$

Donde ${\displaystyle g}$ es el género de la curva del plano (que es ${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$).

Aplicaciones

La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente a la cobertura de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: consulte Dualidad torcida de Poincaré.