Sistema dinámico lineal

Los sistemas dinámicos lineales son sistemas dinámicos cuyas funciones de evolución son lineales. Si bien los sistemas dinámicos, en general, no tienen soluciones de forma cerrada, los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver con exactitud y tienen un amplio conjunto de propiedades matemáticas. Los sistemas lineales también se pueden utilizar para comprender el comportamiento cualitativo de los sistemas dinámicos generales, calculando los puntos de equilibrio del sistema y aproximándolo como un sistema lineal alrededor de cada uno de esos puntos.

En un sistema dinámico lineal, la variación de un vector estatal (an ${\displaystyle N}$-dimensional vector denotado ${\displaystyle \mathbf {x}$) equivale a una matriz constante (denominado ${\displaystyle \mathbf {A}$) multiplicado por ${\displaystyle \mathbf {x}$. Esta variación puede tomar dos formas: como flujo, en el cual ${\displaystyle \mathbf {x}$ varias continuamente con el tiempo

${\displaystyle {\frac {d}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)}$

o como una cartografía, en la que ${\displaystyle \mathbf {x}$ varias en pasos discretos

${\displaystyle \mathbf {x} ¿Por qué?$

Estas ecuaciones son lineales en el siguiente sentido: ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ son dos soluciones válidas, entonces es cualquier combinación lineal de las dos soluciones, por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=} \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ Donde ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$son dos escalares. La matriz ${\displaystyle \mathbf {A}$ no necesita ser simétrico.

Los sistemas dinámicos lineales pueden resolverse con exactitud, a diferencia de la mayoría de los sistemas no lineales. En ocasiones, un sistema no lineal puede resolverse con exactitud mediante un cambio de variables a un sistema lineal. Además, las soluciones de (casi) cualquier sistema no lineal pueden aproximarse bien mediante un sistema lineal equivalente cerca de sus puntos fijos. Por lo tanto, comprender los sistemas lineales y sus soluciones es un primer paso crucial para comprender los sistemas no lineales más complejos.

Si el vector inicial ${\displaystyle \mathbf {x} {\fnMicrosoft} {\fnMitbf} {x} {\fnMitbf}$está alineado con un eigenvector adecuado ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}$ de la matriz ${\displaystyle \mathbf {A}$, la dinámica es simple

${\displaystyle {\frac {d}\mathbf {x}(t)=\mathbf {A}\mathbf {r} _{k}=\lambda ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle \lambda _{k}$ es el eigenvalue correspondiente; la solución de esta ecuación es

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda ¿Qué?$

como puede confirmarse por sustitución.

Si ${\displaystyle \mathbf {A}$ es diagonalizable, entonces cualquier vector en un ${\displaystyle N}$- el espacio dimensional puede ser representado por una combinación lineal de los eigenvectores derecho e izquierdo (denotado) ${\displaystyle \mathbf {l} _{k}$) de la matriz ${\displaystyle \mathbf {A}$.

${\displaystyle \mathbf {x} ¿Por qué? ¿Qué?$

Por lo tanto, la solución general ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ es una combinación lineal de las soluciones individuales para la derecha eigenvectores

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} ¿Qué? ¿Qué?$

Consideraciones similares se aplican a las asignaciones discretas.

Las raíces de la característica det polinomial(A - λI) son los eigenvalues de A. El signo y la relación de estas raíces, ${\displaystyle \lambda ¿Qué?$, entre sí se puede utilizar para determinar la estabilidad del sistema dinámico

${\displaystyle {\frac {d}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

Para un sistema 2-dimensional, el polinomio característico es de la forma ${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$ Donde ${\displaystyle \tau }$ es el rastro y ${\displaystyle \Delta }$ es el determinante A. Así las dos raíces están en la forma:

${\displaystyle \lambda {\fnK}={\fnMicroc {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta } {2}}}$

${\displaystyle \lambda ¿Qué? - {\sqrt {\tau }-4\Delta } {2}}}$,

y ${\displaystyle \Delta =\lambda "Lambda" ¿Qué?$ y ${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda ¿Qué?$. Así si ${\displaystyle \Delta = 0}$ entonces los eigenvalues son de signo opuesto, y el punto fijo es una silla. Si ${\displaystyle \Delta œ0}$ entonces los eigenvalues son del mismo signo. Por lo tanto, si ${\displaystyle \tau >0}$ ambos son positivos y el punto es inestable, y si ${\displaystyle \tau$ entonces ambos son negativos y el punto es estable. El discriminador le dirá si el punto es nodal o espiral (es decir, si los eigenvalues son reales o complejos).

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