Sistema de referencia en rotación

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Un sistema de referencia rotatorio o giratorio es un caso especial de un marco de referencia no inercial que gira en relación con un marco de referencia inercial. Un ejemplo cotidiano de un marco de referencia giratorio es la superficie de la Tierra. (Este artículo considera solo marcos que giran alrededor de un eje fijo. Para rotaciones más generales, consulte los ángulos de Euler).

Fuerzas ficticias

Todos los marcos de referencia no inerciales exhiben fuerzas ficticias; Los marcos de referencia giratorios se caracterizan por tres:

la fuerza centrífuga,
la fuerza de Coriolis,

y, para marcos de referencia que no giran uniformemente,

la fuerza de Euler.

Los científicos en una caja giratoria pueden medir la velocidad y la dirección de su rotación midiendo estas fuerzas ficticias. Por ejemplo, Léon Foucault pudo mostrar la fuerza de Coriolis que resulta de la rotación de la Tierra usando el péndulo de Foucault. Si la Tierra girara muchas veces más rápido, los humanos podrían sentir estas fuerzas ficticias, como lo hacen cuando están en un carrusel giratorio.

Relacionar marcos giratorios con marcos estacionarios

La siguiente es una derivación de las fórmulas para aceleraciones y fuerzas ficticias en un marco giratorio. Comienza con la relación entre las coordenadas de una partícula en un marco giratorio y sus coordenadas en un marco inercial (estacionario). Luego, al tomar derivadas en el tiempo, se derivan fórmulas que relacionan la velocidad de la partícula como se ve en los dos marcos y la aceleración relativa a cada marco. Usando estas aceleraciones, las fuerzas ficticias se identifican comparando la segunda ley de Newton tal como se formula en los dos marcos diferentes.

Relación entre posiciones en los dos fotogramas

Para derivar estas fuerzas ficticias, es útil poder convertir entre las coordenadas ${ estilo de visualización izquierda (x', y', z' derecha)}$ del marco de referencia giratorio y las coordenadas $(x, y, z)$ de un marco de referencia inercial con el mismo origen. Si la rotación es sobre el $z$ eje con una velocidad angular constante $Omega$ (tal $z' = z$ y ${displaystyle {frac {operatorname {d} theta }{operatorname {d} t}}equiv Omega,}$ cual implica ${displaystyle theta (t)=Omega t+theta _{0}}$ alguna constante $theta _ {0}$ donde $theta (t)$ denota el ángulo en el $xy$ plano formado en el tiempo $t$ por ${ estilo de visualización izquierda (x', y' derecha)}$ y el $X$ eje), y si los dos marcos de referencia coinciden en el tiempo $t=0$ (es decir, ${ estilo de visualización izquierda (x', y', z' derecha) = (x, y, z)}$ cuando ${ estilo de visualización t = 0,}$ así que toma ${ estilo de visualización theta _ {0} = 0}$ o algún otro múltiplo entero de $2pi$ ), la transformación de coordenadas giratorias a coordenadas inerciales se puede escribir

{displaystyle x=x'cos(theta (t))-y'sin(theta (t))}

{displaystyle y=x'sin(theta (t))+y'cos(theta (t))}

mientras que la transformación inversa es

Este resultado se puede obtener a partir de una matriz de rotación.

Introduzca los vectores unitarios que ${sombrero {{boldsymbol {imath }}}}, {sombrero {{boldsymbol {jmath }}}}, {sombrero {{boldsymbol {k}}}}$ representan los vectores básicos unitarios estándar en el marco giratorio. Las derivadas temporales de estos vectores unitarios se encuentran a continuación. Suponga que los marcos están alineados $t=0$ y el $z$ eje es el eje de rotación. Luego, para una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj a través del ángulo ${displaystyle Omega t}$ :

{displaystyle {hat {boldsymbol {imath }}}(t)=(cos theta (t), sin theta (t))}

donde los $(x, y)$ componentes se expresan en el marco estacionario. Igualmente,

{displaystyle {hat {boldsymbol {jmath }}}(t)=(-sin theta (t), cos theta (t)).}

Por tanto, la derivada temporal de estos vectores, que giran sin cambiar de magnitud, es

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {imath }}}(t)=Omega (-sin theta (t), cos theta (t))=Omega {hat {boldsymbol {jmath }}};}

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {jmath }}}(t)=Omega (-cos theta (t), -sin theta (t))=-Omega {hat {boldsymbol {imath }}},}

donde ${displaystyle Omega equiv {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}theta (t).}$ Este resultado es el mismo que se encuentra usando un producto cruzado vectorial con el vector de rotación ${ símbolo de negrita { Omega }}$ apuntando a lo largo del eje z de rotación ${ estilo de visualización { símbolo de negrita { Omega}} = (0, 0, Omega),}$ , a saber,

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {u}}}={boldsymbol {Omega times}}{hat {boldsymbol {u}}},}

donde ${sombrero {{boldsymbol {u}}}}$ esta ${sombrero {{boldsymbol {imath}}}}$ o bien ${displaystyle {sombrero {boldsymbol {jmath}}}.}$

Derivadas temporales en los dos marcos

Introduzca los vectores unitarios que ${sombrero {{boldsymbol {imath }}}}, {sombrero {{boldsymbol {jmath }}}}, {sombrero {{boldsymbol {k}}}}$ representan los vectores básicos unitarios estándar en el marco giratorio. A medida que giran, permanecerán normalizados y perpendiculares entre sí. Si los dejamos rotar a la velocidad de $Omega(t)$ un eje ${displaystyle {boldsymbol {Omega}}(t)}$ entonces cada vector unitario ${sombrero {{boldsymbol {u}}}}$ del sistema de coordenadas rotatorio (como ${displaystyle {hat {boldsymbol {imath}}}, {hat {boldsymbol {jmath}}},}$ o ${displaystyle {sombrero {boldsymbol {k}}}}$ ) obedece a la siguiente ecuación:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {u}}}={boldsymbol {Omega }}times {boldsymbol {hat {u}}}.}

Si ${ símbolo de negrita {f}}$ es una función vectorial que se escribe como

{displaystyle {boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){hat {boldsymbol {imath }}}+f_{2}(t){hat {boldsymbol {jmath }}}+f_{3}(t){sombrero {símbolo en negrita {k}}},}

y queremos examinar su primera derivada entonces (usando la regla del producto de diferenciación):

{displaystyle {begin{alineado}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{boldsymbol {f}}&={frac {mathrm {d} f_{1} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {imath }}}+{frac {mathrm {d} {hat {boldsymbol {imath }}}}{mathrm {d } t}}f_{1}+{frac {mathrm {d} f_{2}}{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {jmath }}}+{frac { mathrm {d} {hat {boldsymbol {jmath }}}}{mathrm {d} t}}f_{2}+{frac {mathrm {d} f_{3}}{mathrm {d } } t}}{hat {boldsymbol {k}}}+{frac {mathrm {d} {hat {boldsymbol {k}}}}{mathrm {d} t}}f_{3 } \&={frac {mathrm {d} f_{1}}{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {imath }}}+{frac {mathrm {d} f_{2} }{mathrm {d} t}}{hat {boldsymbol {jmath }}}+{frac {mathrm {d} f_{3}}{mathrm {d} t}}{hat { boldsymbol {k}}}+left[{boldsymbol {Omega }}times left(f_{1}{hat {boldsymbol {imath }}}+f_{2}{hat { boldsymbol {jmath }}}+f_{3}{hat {boldsymbol {k}}}right)right]\&=left({frac {mathrm {d} {boldsymbol {f }}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {r} }+{boldsymbol {Omega }}times {boldsymbol {f}}end{alineado}}}

donde ${displaystyle left({frac {mathrm {d} {boldsymbol {f}}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {r} }}$ denota la tasa de cambio de ${ símbolo de negrita {f}}$ como se observa en el sistema de coordenadas giratorio. De manera abreviada, la diferenciación se expresa como:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{boldsymbol {f}}=left[left({frac {mathrm {d} }{mathrm { d} t}}right)_{mathrm {r} }+{boldsymbol {Omega }}times right]{boldsymbol {f}}.}

Este resultado también se conoce como el teorema de transporte en dinámica analítica y, a veces, también se lo denomina ecuación cinemática básica.

Relación entre velocidades en los dos marcos

La velocidad de un objeto es la derivada temporal de la posición del objeto, por lo que ${displaystylemathbf{v}{stackrel{mathrm{def}}{=}}{frac{mathrm{d}mathbf{r}}{mathrm{d}t}} } }$

La derivada temporal de una posición ${ símbolo de negrita {r}} (t)$ en un marco de referencia rotatorio tiene dos componentes, uno de la dependencia explícita del tiempo debida al movimiento de la propia partícula y otro de la propia rotación del marco. Aplicando el resultado del apartado anterior al desplazamiento ${ estilo de visualización { símbolo de negrita {r}} (t),}$ las velocidades en los dos marcos de referencia están relacionadas por la ecuación ${displaystylemathbf{v_{i}}{stackrel{mathrm{def}}{=}}\left({frac {mathrm{d}mathbf{r}}{mathrm{d } t}}right)_{mathrm{i}}{stackrel{mathrm{def}}{=}}{frac{mathrm{d}mathbf{r}}{mathrm{ d}t}}=left[left({frac {mathrm{d}}{mathrm{d}t}}right)_{mathrm{r}}+{símbolo de bola {omega } }times right]{símbolo de bola {r}}=left({frac {mathrm{d}mathbf {r}}{mathrm{d}t}}right)_{mathrm {r } }+{ballsymbol {Omega}}timesmathbf{r} =mathbf{v}_{mathrm{r}}+{ballsymbol{Omega}}timesmathbf{r} , } }$

donde el subíndice ${displaystyle mathrm {i} }$ significa el marco de referencia inercial y ${ estilo de visualización mathrm {r}}$ significa el marco de referencia giratorio.

Relación entre aceleraciones en los dos marcos

La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, o la primera derivada temporal de la velocidad. ${displaystylemathbf{a}_{mathrm{i}}{stackrel{mathrm{def}}{=}}\left({frac {mathrm{d}^{2}mathbf {r}}{mathrm{d}t^{2}}}right)_{mathrm{i}}=left({frac{mathrm{d}mathbf{v}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {i}}=left[left({frac {mathrm {d}}{mathrm {d}t}}right)_{mathrm {r}}+{símbolo de bola {Omega}}times right]left[left({frac {mathrm{d}mathbf {r}}{mathrm{d}t}} derecho)_{mathrm{r}}+{ballsymbol{omega}}timesmathbf{r}derecho],}$

donde subíndice ${displaystyle mathrm {i} }$ significa el marco de referencia inercial, ${ estilo de visualización mathrm {r}}$ el marco de referencia giratorio, y donde la expresión ${displaystyle {boldsymbol {Omega}}times}$ entre paréntesis de la izquierda debe interpretarse como un operador que trabaja en la expresión entre paréntesis de la derecha.

Realizando las diferenciaciones y reordenando algunos términos se obtiene la aceleración relativa al marco de referencia giratorio, ${ estilo de visualización mathbf {a} _ { mathrm {r}}}$ ${displaystylemathbf{a}_{mathrm{r}}=mathbf{a}_{mathrm{i}}-2{símbolo de bola {omega}}timesmathbf{v}_{ mathrm {r} }-{símbolo de bola {Omega}}times ({símbolo de bola {Omega}}times mathbf {r})-{frac {mathrm {d} {símbolo de bola {Omega} }}{mathrm{d}t}}vecesmathbf{r}}$

donde ${displaystylemathbf{a}_{mathrm{r}}{stackrel{mathrm{def}}{=}}\left({frac {mathrm{d}^{2}mathbf {r}}{mathrm{d}t^{2}}}right)_{mathrm{r}}}$ es la aceleración aparente en el marco de referencia giratorio, el término $-{boldsymbol Omega }times ({boldsymbol Omega }times {mathbf {r}})$ representa la aceleración centrífuga y el término $-2{símbolo de bola Omega}times {mathbf{v}}_{{{mathrm{r}}}}$ es la aceleración de Coriolis. El último término ( ${displaystyle -{frac {mathrm {d} {boldsymbol {Omega }}}{mathrm {d} t}}times mathbf {r} }$ ) es la aceleración de Euler y es cero en marcos de rotación uniforme.

La segunda ley de Newton en los dos marcos.

Cuando la expresión de la aceleración se multiplica por la masa de la partícula, los tres términos adicionales del lado derecho dan como resultado fuerzas ficticias en el marco de referencia giratorio, es decir, fuerzas aparentes que resultan de estar en un marco de referencia no inercial., en lugar de cualquier interacción física entre los cuerpos.

Usando la segunda ley del movimiento de Newton ${displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a},}$ obtenemos:

la fuerza de Coriolis

${mathbf{F}}_{{{mathrm{Coriolis}}}}=-2m{símbolo de bola Omega}times {mathbf{v}}_{{{mathrm{r}}}}$

la fuerza centrífuga

${mathbf {F}}_{{{mathrm {centrífuga}}}}=-m{boldsymbol Omega }times ({boldsymbol Omega }times {mathbf {r}})$

y la fuerza de Euler

${displaystylemathbf{F}_{mathrm{Euler}}=-m{frac {mathrm{d} {símbolo de bola {Omega}}}{mathrm{d}t}}times matemáticas {r}}$

¿ Dónde $metro$ está la masa del objeto sobre el que actúan estas fuerzas ficticias? Observe que las tres fuerzas se desvanecen cuando el marco no gira, es decir, cuando ${boldsymbol {Omega}}=0.$

Para completar, la aceleración de inercia ${mathbf {a}}_{{{mathrm {i}}}}$ debida a las fuerzas externas impresas ${mathbf{F}}_{{{mathrm{imp}}}}$ se puede determinar a partir de la fuerza física total en el marco de inercia (no giratorio) (por ejemplo, la fuerza de las interacciones físicas como las fuerzas electromagnéticas) utilizando la segunda ley de Newton en el marco de inercia: ${mathbf{F}}_{{{mathrm{imp}}}}=m{mathbf{a}}_{{{mathrm{i}}}}$

La ley de Newton en el marco giratorio se convierte entonces en ${displaystyle mathbf {F_{mathrm {r} }} =mathbf {F}_{mathrm {imp} }+mathbf {F}_{mathrm {centrífuga} }+mathbf {F} _ {mathrm {Coriolis} }+mathbf {F}_{mathrm {Euler} }=mmathbf {a_{mathrm {r} }} .}$

En otras palabras, para manejar las leyes del movimiento en un marco de referencia giratorio:

Trata las fuerzas ficticias como fuerzas reales y finge que estás en un marco inercial.— Louis N. Hand, Janet D. Finch Mecánica analítica, p. 267

Obviamente, un marco de referencia giratorio es un caso de marco no inercial. Por lo tanto, la partícula, además de la fuerza real, recibe la acción de una fuerza ficticia... La partícula se moverá de acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton si la fuerza total que actúa sobre ella se toma como la suma de las fuerzas real y ficticia.— HS Hans & SP Pui: Mecánica; pags. 341

Esta ecuación tiene exactamente la forma de la segunda ley de Newton, excepto que además de F, la suma de todas las fuerzas identificadas en el marco de inercia, hay un término adicional a la derecha... Esto significa que podemos seguir usando la segunda ley de Newton en el marco no inercial siempre que estemos de acuerdo en que en el marco no inercial debemos agregar un término similar a una fuerza adicional, a menudo llamado fuerza de inercia.— John R. Taylor: Mecánica clásica; pags. 328

Fuerza centrífuga

En la mecánica clásica, la fuerza centrífuga es una fuerza hacia afuera asociada con la rotación. La fuerza centrífuga es una de varias denominadas pseudofuerzas (también conocidas como fuerzas de inercia), llamadas así porque, a diferencia de las fuerzas reales, no se originan en interacciones con otros cuerpos situados en el entorno de la partícula sobre la que actúan. En cambio, la fuerza centrífuga se origina en la rotación del marco de referencia dentro del cual se realizan las observaciones.

Efecto Coriolis

La expresión matemática de la fuerza de Coriolis apareció en un artículo de 1835 del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis en relación con la hidrodinámica, y también en las ecuaciones de marea de Pierre-Simon Laplace en 1778. A principios del siglo XX, comenzó el término fuerza de Coriolis. para ser utilizado en conexión con la meteorología.

Quizás el marco de referencia giratorio que se encuentra con más frecuencia es la Tierra. Los objetos en movimiento sobre la superficie de la Tierra experimentan una fuerza de Coriolis y parecen virar hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur. Los movimientos del aire en la atmósfera y el agua en el océano son ejemplos notables de este comportamiento: en lugar de fluir directamente de las áreas de alta presión a las de baja presión, como lo harían en un planeta que no gira, los vientos y las corrientes tienden a fluir hacia la derecha. de esta dirección al norte del ecuador, y a la izquierda de esta dirección al sur del ecuador. Este efecto es responsable de la rotación de grandes ciclones (ver efectos de Coriolis en meteorología).

Fuerza de Euler

En mecánica clásica, la aceleración de Euler (llamada así por Leonhard Euler), también conocida como aceleración azimutal o aceleración transversal, es una aceleración que aparece cuando se usa un marco de referencia que gira de manera no uniforme para el análisis del movimiento y hay una variación en la velocidad angular de el eje del marco de referencia. Este artículo está restringido a un marco de referencia que gira alrededor de un eje fijo.

La fuerza de Euler es una fuerza ficticia sobre un cuerpo que está relacionada con la aceleración de Euler por F = m a, donde a es la aceleración de Euler y m es la masa del cuerpo.

Uso en resonancia magnética

Es conveniente considerar la resonancia magnética en un marco que gira a la frecuencia de Larmor de los espines. Esto se ilustra en la animación a continuación. También se puede utilizar la aproximación de onda giratoria.

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