Sistema de numeración ternario

Un sistema numérico ternario (también llamado base 3 o trinario) tiene tres como base. Análogamente a un bit, un dígito ternario es un trit (trinary digit). Un trit equivale a log2 3 (alrededor de 1,58496) bits de información.

Aunque ternario generalmente se refiere a un sistema en el que los tres dígitos son todos números no negativos; concretamente 0, 1 y 2, el adjetivo también da nombre al sistema ternario equilibrado; que comprende los dígitos −1, 0 y +1, utilizados en lógica de comparación y computadoras ternarias.

Comparación con otras bases

Las representaciones de números enteros en ternario no se vuelven incómodamente largas tan rápido como en binario. Por ejemplo, el decimal 365 o senario 1405 corresponde al binario 101101101 (nueve dígitos) y al ternario 111112 (seis dígitos). Sin embargo, siguen siendo mucho menos compactas que las representaciones correspondientes en bases como decimal. Consulte a continuación una forma compacta de codificar ternario usando nonario (base 9) y septemvigesimal (base 27).

En cuanto a los números racionales, el ternario ofrece una manera conveniente de representar 1/3 igual que senario (a diferencia de su engorrosa representación como una cadena infinita de dígitos recurrentes en decimal); pero un gran inconveniente es que, a su vez, el ternario no ofrece una representación finita para 1/2 (ni para 1/4, 1/8, etc.), porque 2 no es un factor primo de la base; como en base dos, un décimo (decimal1/10, senario 1/14) no se puede representar exactamente (eso necesitaría, por ejemplo, decimal); ni es un sexto (senario 1/10, decimal 1/6).

Suma de los dígitos en ternario en lugar de binario

El valor de un número binario con n bits que son todos 1 es 2ⁿ − 1 .

Del mismo modo, para un número N(b, d) con base b y d dígitos, todos los cuales son el valor de dígito máximo b − 1, podemos escribir:

N()b, d) =b−1)b^d−1 +b−1)b^d−2 +... +b−1)b¹ +b−1)b⁰,

N()b, d) =b− 1)b^d−1 + b^d−2 +... + b¹ + 1),

N()b, d) =b−1)M.

bM = b^d + b^d−1 +... + b² + b¹ y

−M =b^d−1−b^d−2− b¹− 1Así que

bM−M = b^d− 1, o

M = b^d− 1/b− 1.

Entonces

N()b, d) =b−1)M,

N()b, d) = ()b− 1)b^d−1)/b− 1,

N()b, d) = b^d− 1.

Para un número ternario de tres dígitos, N(3, 3) = 3³ − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 18 + 6 + 2.

Representación ternaria compacta: base 9 y 27

Nonary (base 9, cada dígito tiene dos dígitos ternarios) o septemvigesimal (base 27, cada dígito tiene tres dígitos ternarios) se puede usar para una representación compacta del ternario, similar a cómo se usan los sistemas octal y hexadecimal en lugar del binario.

Uso práctico

Uso de números ternarios para equilibrar un peso entero desconocido de 1 a 40 kg con pesos de 1, 3, 9 y 27 kg (4 dígitos ternarios realmente da 3⁴ = 81 posibles combinaciones: −40 a +40, pero sólo los valores positivos son útiles)

En cierta lógica analógica, el estado del circuito a menudo se expresa de forma ternaria. Esto se ve más comúnmente en los circuitos CMOS y también en la lógica transistor-transistor con salida de tótem. Se dice que la salida es baja (con conexión a tierra), alta o abierta (alta Z). En esta configuración, la salida del circuito en realidad no está conectada a ninguna referencia de voltaje. Cuando la señal suele estar conectada a tierra a una determinada referencia, oa un determinado nivel de voltaje, se dice que el estado es de alta impedancia porque está abierto y sirve a su propia referencia. Por lo tanto, el nivel de voltaje real a veces es impredecible.

Un raro "punto ternario" de uso común es para estadísticas defensivas en el béisbol estadounidense (generalmente solo para lanzadores), para indicar partes fraccionarias de una entrada. Dado que al equipo en ataque se le permiten tres outs, cada out se considera un tercio de una entrada defensiva y se denota como .1. Por ejemplo, si un jugador lanzó todas las entradas 4, 5 y 6, además de lograr 2 outs en la entrada 7, su columna de entradas lanzadas para ese juego se enumeraría como 3.2, el equivalente a 3+2⁄ 3 (que a veces se usa como una alternativa por parte de algunos encargados de registros). En este uso, solo la parte fraccionaria del número se escribe en forma ternaria.

Los números ternarios se pueden usar para transmitir estructuras autosimilares como el triángulo de Sierpinski o el conjunto de Cantor de manera conveniente. Además, resulta que la representación ternaria es útil para definir el conjunto de Cantor y los conjuntos de puntos relacionados, debido a la forma en que se construye el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor consta de los puntos del 0 al 1 que tienen una expresión ternaria que no contiene ninguna instancia del dígito 1. Cualquier expansión final en el sistema ternario es equivalente a la expresión que es idéntica hasta el término que precede a la última no -término cero seguido del término uno menos que el último término distinto de cero de la primera expresión, seguido de una cola infinita de dos. Por ejemplo: 0.1020 es equivalente a 0.1012222... porque las expansiones son las mismas hasta que el "dos" de la primera expresión, el dos se redujo en la segunda expansión y los ceros finales se reemplazaron por dos finales en la segunda expresión.

Ternario es la base entera con la economía de base más baja, seguido de cerca por el binario y el cuaternario. Esto se debe a su proximidad a la constante matemática e. Se ha utilizado para algunos sistemas informáticos debido a esta eficiencia. También se utiliza para representar árboles de tres opciones, como los sistemas de menús telefónicos, que permiten una ruta sencilla a cualquier sucursal.

Una forma de representación binaria redundante denominada sistema binario de dígitos con signo, una forma de representación de dígitos con signo, se usa a veces en software y hardware de bajo nivel para lograr sumas rápidas de enteros porque puede eliminar acarreos.

Ternario codificado en binario

La simulación de computadoras ternarias usando computadoras binarias, o la interfaz entre computadoras ternarias y binarias, puede implicar el uso de números ternarios codificados en binario (BCT), con dos bits usados para codificar cada trit. La codificación BCT es análoga a la codificación decimal codificada en binario (BCD). Si los valores trit 0, 1 y 2 se codifican como 00, 01 y 10, la conversión en cualquier dirección entre ternario codificado en binario y binario se puede realizar en tiempo logarítmico. Está disponible una biblioteca de código C compatible con la aritmética BCT.

Prueba

Algunas computadoras ternarias como Setun definieron un tryte como seis trits o aproximadamente 9,5 bits (que contienen más información que el byte binario de facto).