Sistema de cristal

En cristalografía, un sistema cristalino es un conjunto de grupos de puntos (un grupo de simetrías geométricas con al menos un punto fijo). Un sistema reticular es un conjunto de reticulados de Bravais. Los grupos espaciales se clasifican en sistemas cristalinos según sus grupos de puntos y en sistemas reticulares según sus redes de Bravais. Los sistemas cristalinos que tienen grupos espaciales asignados a un sistema reticular común se combinan en una familia cristalina.

Los siete sistemas cristalinos son triclínico, monoclínico, ortorrómbico, tetragonal, trigonal, hexagonal y cúbico. Informalmente, dos cristales están en el mismo sistema cristalino si tienen simetrías similares (aunque hay muchas excepciones).

Clasificaciones

Los cristales se pueden clasificar de tres maneras: sistemas reticulares, sistemas cristalinos y familias de cristales. Las diversas clasificaciones a menudo se confunden: en particular, el sistema cristalino trigonal a menudo se confunde con el sistema reticular romboédrico, y el término "sistema cristalino" a veces se utiliza para referirse a "sistema de celosía" o "familia de cristal".

Sistema de celosía

Un sistema reticular es un grupo de retículos con el mismo conjunto de grupos de puntos de retículo. Las 14 redes de Bravais se agrupan en siete sistemas de redes: triclínico, monoclínico, ortorrómbico, tetragonal, romboédrico, hexagonal y cúbico.

Sistema de cristal

Un sistema cristalino es un conjunto de grupos de puntos en el que los propios grupos de puntos y sus correspondientes grupos espaciales están asignados a un sistema reticular. De los 32 grupos de puntos cristalográficos que existen en tres dimensiones, la mayoría están asignados a un solo sistema reticular, en cuyo caso tanto el sistema cristalino como el reticular tienen el mismo nombre. Sin embargo, se asignan cinco grupos de puntos a dos sistemas reticulares, romboédricos y hexagonales, porque ambos exhiben una triple simetría rotacional. Estos grupos de puntos están asignados al sistema cristalino trigonal.

Familia de cristal

Una familia de cristales está determinada por redes y grupos de puntos. Se forma combinando sistemas cristalinos que tienen grupos espaciales asignados a un sistema reticular común. En tres dimensiones, los sistemas cristalinos hexagonales y trigonales se combinan en una familia de cristales hexagonales.

Comparación

Cinco de los sistemas cristalinos son esencialmente iguales a cinco de los sistemas reticulares. Los sistemas cristalinos hexagonales y trigonales se diferencian de los sistemas reticulares hexagonales y romboédricos. Estos se combinan en la familia de cristales hexagonales.

La relación entre familias de cristales tridimensionales, sistemas cristalinos y sistemas reticulares se muestra en la siguiente tabla:

Nota: no hay un sistema de celosía "trigonal". Para evitar confusiones de terminología, no se utiliza el término "latidez trigonal".

Clases de cristal

Los 7 sistemas cristalinos constan de 32 clases de cristales (correspondientes a los 32 grupos de puntos cristalográficos) como se muestra en la siguiente tabla:

Familia de cristal	Sistema de cristal	Grupo de puntos / Clase de cristal	Schönflies	Hermann-Mauguin	Orbifold	Coxeter	Simetría de puntos	Orden	Grupo abstracto
Triclinic		pedial	C1	1	11	[ ]+	polar enantiomorfo	1	trivial Z1{displaystyle mathbb {Z} _{1}
		pinacoidal	Ci (S2)	1	1x	[2,1]+]	centros simétricos	2	ciclismo Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}
monoclínico		sphenoidal	C2	2	22	[2,2]+	polar enantiomorfo	2	ciclismo Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}
		domatic	Cs (C)1h)	m	*11	[ ]	polar	2	ciclismo Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}
		prismática	C2h	2/m	2*	[2,2]+]	centros simétricos	4	Klein cuatro V=Z2× × Z2{displaystyle mathbb {V} = 'Mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}
orthorhombic		rhombic-disphenoidal	D2 (V)	222	222	[2,2]+	enantiomorfo	4	Klein cuatro V=Z2× × Z2{displaystyle mathbb {V} = 'Mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}
		rhombic-pyramidal	C2v	mm2	*22	[2]	polar	4	Klein cuatro V=Z2× × Z2{displaystyle mathbb {V} = 'Mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}
		rhombic-dipyramidal	D2h (V)h)	mmm	*222	[2,2]	centros simétricos	8	V× × Z2{displaystyle mathbb {V} times mathbb {Z} _{2}
tetragonal		tetragonal-pyramidal	C4	4	44	[4]+	polar enantiomorfo	4	ciclismo Z4{displaystyle mathbb {Z} _{4}
		tetragonal-disphenoidal	S4	4	2x	[2]+,2]	non-centrosymmetric	4	ciclismo Z4{displaystyle mathbb {Z} _{4}
		tetragonal-dipyramidal	C4h	4/m	4*	[2,4]+]	centros simétricos	8	Z4× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{4}times mathbb {Z} _{2}
		tetragonal-trapezohedral	D4	422	422	[2,4]+	enantiomorfo	8	dihedral D8=Z4⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{4}rtimes mathbb {Z} _{2}
		ditetragonal-pyramidal	C4v	4mm	*44	[4]	polar	8	dihedral D8=Z4⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{4}rtimes mathbb {Z} _{2}
		tetragonal-scalenohedral	D2d (V)d)	42m o 2m 4m2	2*2	[2]+,4]	non-centrosymmetric	8	dihedral D8=Z4⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{4}rtimes mathbb {Z} _{2}
		ditetragonal-dipyramidal	D4h	4/mmm	*422	[2,4]	centros simétricos	16	D8× × Z2{displaystyle mathbb {D} _{8}times mathbb {Z} _{2}
hexagonal	trigonal	trigonal-piramidal	C3	3	33	[3]+	polar enantiomorfo	3	ciclismo Z3{displaystyle mathbb {Z} _{3}
		rhombohedral	C3i (S6)	3	3x	[2]+,3+]	centros simétricos	6	ciclismo Z6=Z3× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{6}=mathbb {Z} _{3}times mathbb {Z} _{2}
		trigonal-trapezohedral	D3	32 o 321 o 312	322	[3,2]+	enantiomorfo	6	dihedral D6=Z3⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnh}=mh} {Z} _{3}rtimes mathbb {Z} _{2}
		ditrigonal-pyramidal	C3v	3m o 3m1 o 31m	*33	[3]	polar	6	dihedral D6=Z3⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnh}=mh} {Z} _{3}rtimes mathbb {Z} _{2}
		ditrigonal-scalenohedral	D3d	3m o 3m1 o 31m	2*3	[2]+,6]	centros simétricos	12	dihedral D12=Z6⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{6}rtimes mathbb {Z} _{2}
	hexagonal	hexagonal-pyramidal	C6	6	66	[6]+	polar enantiomorfo	6	ciclismo Z6=Z3× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{6}=mathbb {Z} _{3}times mathbb {Z} _{2}
		trigonal-dipyramidal	C3h	6	3*	[2,3]+]	non-centrosymmetric	6	ciclismo Z6=Z3× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{6}=mathbb {Z} _{3}times mathbb {Z} _{2}
		hexagonal-dipyramidal	C6h	6/m	6*	[2,6]+]	centros simétricos	12	Z6× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{6}times mathbb {Z} _{2}
		hexagonal-trapezohedral	D6	622	622	[2,6]+	enantiomorfo	12	dihedral D12=Z6⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{6}rtimes mathbb {Z} _{2}
		dihexagonal-pyramidal	C6v	6mm	*66	[6]	polar	12	dihedral D12=Z6⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{6}rtimes mathbb {Z} _{2}
		ditrigonal-dipyramidal	D3h	6m2 o 62m	*322	[2,3]	non-centrosymmetric	12	dihedral D12=Z6⋊ ⋊ Z2{displaystyle mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {Z} _{6}rtimes mathbb {Z} _{2}
		dihexagonal-dipyramidal	D6h	6/mmm	*622	[2,6]	centros simétricos	24	D12× × Z2{displaystyle mathbb {D} _{12}times mathbb {Z} _{2}
cúbico		tetartoidal	T	23	332	[3,3]+	enantiomorfo	12	alternando A4{displaystyle mathbb {A} {4}}
		diploidal	Th	m3	3*2	[3]+,4]	centros simétricos	24	A4× × Z2{displaystyle mathbb {A} _{4}times mathbb {Z} _{2}
		gyroidal	O	432	432	[4,3]+	enantiomorfo	24	simétrica S4{displaystyle mathbb {fnK}
		hextetrahedral	Td	43m	*332	[3,3]	non-centrosymmetric	24	simétrica S4{displaystyle mathbb {fnK}
		hexoctadral	Oh	m3m	*432	[4,3]	centros simétricos	48	S4× × Z2{displaystyle mathbb {S} _{4}times mathbb {Z} _{2}

La simetría puntual de una estructura se puede describir con más detalle de la siguiente manera. Considere los puntos que componen la estructura y refleje todos ellos a través de un solo punto, de modo que (x,y,z) se convierta en (−x,−y,−z). Esta es la 'estructura invertida'. Si la estructura original y la estructura invertida son idénticas, entonces la estructura es centrosimétrica. De lo contrario es no centrosimétrico. Aún así, incluso en el caso no centrosimétrico, la estructura invertida en algunos casos puede girarse para alinearse con la estructura original. Esta es una estructura achiral no centrosimétrica. Si la estructura invertida no se puede girar para alinearla con la estructura original, entonces la estructura es quiral o enantiomorfa y su grupo de simetría es enantiomorfa.

Una dirección (es decir, una línea sin flecha) se llama polar si sus sentidos bidireccionales son geométrica o físicamente diferentes. Una dirección de simetría de un cristal que es polar se llama eje polar. Los grupos que contienen un eje polar se denominan polares. Un cristal polar posee un eje polar único (más precisamente, todos los ejes polares son paralelos). Alguna propiedad geométrica o física es diferente en los dos extremos de este eje: por ejemplo, podría desarrollarse una polarización dieléctrica como en los cristales piroeléctricos. Un eje polar sólo puede ocurrir en estructuras no centrosimétricas. No puede haber un plano especular o un eje doble perpendicular al eje polar, porque harían equivalentes las dos direcciones del eje.

Las estructuras cristalinas de las moléculas biológicas quirales (como las estructuras de las proteínas) solo pueden ocurrir en los 65 grupos espaciales enantiomórficos (las moléculas biológicas suelen ser quirales).

Celosías de Bravais

Hay siete tipos diferentes de sistemas reticulares, y cada tipo de sistema reticular tiene cuatro tipos diferentes de centrajes (primitivo, centrado en la base, centrado en el cuerpo, centrado en las caras). Sin embargo, no todas las combinaciones son únicas; algunas de las combinaciones son equivalentes mientras que otras combinaciones no son posibles por razones de simetría. Esto reduce el número de celosías únicas a las 14 celosías de Bravais.

La distribución de las 14 redes Bravais en 7 sistemas de redes se da en la siguiente tabla.

Familia de cristal	Sistema de celos	Grupo de puntos (Notación de Schönflies)	14 Bravais lattices
			Primitivo (P)	Base centrada (S)	Centrado en el cuerpo (I)	Face-centered (F)
Triclinic (a)		Ci	aP
Monoclinica m)		C2h	mP	mS
Orthorhombic (o)		D2h	oP	OS	o I	oF
Tetragonal (t)		D4h	tP		tI
Hexagonal (h)	Rhombohedral	D3d	hR
	Hexagonal	D6h	hP
Cubic (c)		Oh	cP		CI	cF

En geometría y cristalografía, una red de Bravais es una categoría de grupos de simetría traslativa (también conocidos como redes) en tres direcciones.

Dichos grupos de simetría consisten en traslaciones por vectores de la forma

R = n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃,

donde n₁, n₂ y n ₃ son números enteros y a₁, a₂ y a₃ son tres vectores no coplanares, llamados vectores primitivos.

Estas redes se clasifican por el grupo espacial de la propia red, visto como una colección de puntos; hay 14 celosías de Bravais en tres dimensiones; cada uno pertenece a un solo sistema reticular. Representan la simetría máxima que puede tener una estructura con la simetría traslacional dada.

Todos los materiales cristalinos (sin incluir los cuasicristales) deben, por definición, encajar en una de estas disposiciones.

Por conveniencia, una red de Bravais se representa mediante una celda unitaria que es un factor 1, 2, 3 o 4 más grande que la celda primitiva. Dependiendo de la simetría de un cristal u otro patrón, el dominio fundamental vuelve a ser más pequeño, hasta un factor 48.

Las redes de Bravais fueron estudiadas por Moritz Ludwig Frankenheim en 1842, quien descubrió que había 15 redes de Bravais. Esto fue corregido a 14 por A. Bravais en 1848.

En otras dimensiones

Espacio bidimensional

El espacio bidimensional tiene el mismo número de sistemas cristalinos, familias de cristales y sistemas reticulares. En el espacio 2D, hay cuatro sistemas cristalinos: oblicuo, rectangular, cuadrado y hexagonal.

Espacio de cuatro dimensiones

La celda unitaria de cuatro dimensiones está definida por cuatro longitudes de borde (a, b, c, d) y seis ángulos interaxiales (α, β, γ, δ, ε, ζ). Las siguientes condiciones para los parámetros de la red definen 23 familias de cristales.

Los nombres aquí se dan según Whittaker. Son casi los mismos que en Brown et al., con excepción de los nombres de las familias de cristales 9, 13 y 22. Los nombres de estas tres familias según Brown et al. se dan entre paréntesis.

La relación entre familias de cristales de cuatro dimensiones, sistemas cristalinos y sistemas reticulares se muestra en la siguiente tabla. Los sistemas enantiomórficos están marcados con un asterisco. El número de pares enantiomórficos se da entre paréntesis. Aquí el término "enantiomorfo" tiene un significado diferente al de la tabla de clases de cristales tridimensionales. Esto último significa que los grupos de puntos enantiomórficos describen estructuras quirales (enantiomórficas). En la tabla actual, "enantiomorfo" significa que un grupo en sí mismo (considerado como un objeto geométrico) es enantiomorfo, como los pares enantiomorfos de grupos espaciales tridimensionales P3₁ y P3₂, P4₁22 y P4₃22. A partir del espacio de cuatro dimensiones, los grupos de puntos también pueden ser enantiomórficos en este sentido.

Obras citadas

• Hahn, Theo, ed. (2002). Tablas Internacionales para la Cristalografía, Volumen A: Simmetría del Grupo Espacial. Tablas Internacionales para la Cristalografía. Vol. A (5a edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. doi:10.1107/978095536060000100 ISBN 978-0-7923-6590-7.