Sistema biortogonal

En matemáticas, un sistema biortogonal es un par de familias indexadas de vectores

$${displaystyle {tilde {f} {fnh} {fnh00} {fnh} {fnh}} {fnh}} {f}}} {fnfn}}} {fn}}}}} {f}f}}} {f}}}}}\f}f}f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}\\f}}}}}}}\\f}f}\\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\f}}}}}\\\\\f}\f}f}}}\\\\f}f}}}}}\\\\f}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle leftlangle {tilde {fnMicrosoft Sans Serif} =delta - ¿Qué?$$

${displaystyle E}$

${displaystyle F}$

${displaystyle langle ,cdotcdot ,rangle }$

${displaystyle delta _{i,j}$

Un ejemplo es el par de conjuntos de vectores propios izquierdo y derecho respectivamente de una matriz, indexados por valor propio, si los valores propios son distintos.

Sistema biorthogonal en el que ${displaystyle E=F!$ y ${displaystyle {tilde {cH00} {cH00}= {cH00} {cHFF}= {cHFF}= {cHFF}}\cHFF} {cHFF} {fn} {fn}}$ es un sistema ortonormal.

Proyección

Relacionada con un sistema biortogonal está la proyección

$${displaystyle P:=sum _{iin I}{i}otimes {fnMicrosoft Sans Serif}$$

${displaystyle (uotimes v)(x):=ulangle v,xrangle;}$

${displaystyle left{tilde {u}_{i}:iin Estoy bien,$

${displaystyle leftleftlangle {tilde {v}_{i},cdot rightrangle =0:iin Iright}.}$

Construcción

Dado un posiblemente no ortogonal conjunto de vectores ${displaystyle mathbf {u} =left(u_{i}right)}$ y ${displaystyle mathbf {v} =left(v_{i}right)}$ la proyección relacionada

$${displaystyle P=sum _{i,j}u_{i}left(langle mathbf {v}mathbf {u}rangle ^{-1}right)_{j,i}otimes v_{j}}$$

${displaystyle langle mathbf {v}mathbf {u} rangle }$

${displaystyle left(langle mathbf {v}mathbf {u} rangle right)_{i,j}=leftlangle Bien.$

• ${displaystyle {tilde {u}_{i}:=(I-P)u_{i}$ y ${fnMicrosoft Sans Serif}$ entonces es un sistema biorthogonal.