Sistema axiomático

En matemáticas y lógica, un sistema axiomático es cualquier conjunto de axiomas a partir de los cuales algunos o todos los axiomas se pueden usar en conjunto para derivar lógicamente teoremas. Una teoría es un cuerpo de conocimiento consistente y relativamente autónomo que generalmente contiene un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que está completamente descrito es un tipo especial de sistema formal. Una teoría formal es un sistema axiomático (generalmente formulado dentro de la teoría de modelos) que describe un conjunto de oraciones que se cierra bajo implicación lógica. Una prueba formal es una interpretación completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.

Propiedades

Se dice que un sistema axiomático es consistente si carece de contradicción. Es decir, es imposible derivar tanto un enunciado como su negación a partir de los axiomas del sistema. La consistencia es un requisito clave para la mayoría de los sistemas axiomáticos, ya que la presencia de contradicción permitiría probar cualquier afirmación (principio de explosión).

En un sistema axiomático, un axioma se llama independiente si no se puede probar o refutar de otros axiomas en el sistema. Un sistema se llama independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. A diferencia de la consistencia, la independencia no es un requisito necesario para que un sistema axiomático funcione, aunque generalmente se busca para minimizar la cantidad de axiomas en el sistema.

Un sistema axiomático se llama completo si para cada enunciado, ya sea él mismo o su negación, es derivable de los axiomas del sistema (equivalentemente, cada enunciado puede demostrarse como verdadero o falso).

Coherencia relativa

Más allá de la consistencia, la consistencia relativa también es la marca de un sistema de axiomas que vale la pena. Esto describe el escenario en el que los términos indefinidos de un primer sistema de axiomas reciben definiciones de un segundo, de modo que los axiomas del primero son teoremas del segundo.

Un buen ejemplo es la relativa consistencia de la geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema de números reales. Las líneas y los puntos son términos indefinidos (también llamados nociones primitivas) en geometría absoluta, pero significados asignados en la teoría de los números reales de una manera que es consistente con ambos sistemas de axiomas.

Modelos

Un modelo para un sistema axiomático es un conjunto bien definido, que asigna significado a los términos indefinidos presentados en el sistema, de una manera que es correcta con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto demuestra la consistencia de un sistema. Un modelo se llama concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real, a diferencia de un modelo abstracto que se basa en otros sistemas axiomáticos.

Los modelos también se pueden usar para mostrar la independencia de un axioma en el sistema. Al construir un modelo válido para un subsistema sin un axioma específico, mostramos que el axioma omitido es independiente si su corrección no se deriva necesariamente del subsistema.

Se dice que dos modelos son isomorfos si se puede encontrar una correspondencia biunívoca entre sus elementos, de manera que se conserve su relación. Un sistema axiomático para el cual cada modelo es isomorfo a otro se llama categorial (a veces categorial). La propiedad de categorialidad (categoricidad) asegura la completitud de un sistema, sin embargo, lo contrario no es cierto: la completitud no asegura la categorialidad (categoricidad) de un sistema, ya que dos modelos pueden diferir en propiedades que no pueden ser expresadas por la semántica de la sistema.

Ejemplo

Como ejemplo, observe el siguiente sistema axiomático, basado en lógica de primer orden con semántica adicional de los siguientes axiomas numerables infinitamente agregados (estos se pueden formalizar fácilmente como un esquema de axioma):

∃ ∃ x1:∃ ∃ x2:¬ ¬ ()x1=x2){displaystyle exists x_{1}:exists x_{2}:lnot (x_{1}=x_{2}} (informally, there exist two different items).

∃ ∃ x1:∃ ∃ x2:∃ ∃ x3:¬ ¬ ()x1=x2)∧ ∧ ¬ ¬ ()x1=x3)∧ ∧ ¬ ¬ ()x2=x3){displaystyle exists x_{1}:exists x_{2}:exists x_{3}:lnot (x_{1}=x_{2})land lnot (x_{1}=x_{3})land lnot (x_{2}=x_{3}}}} (informally, there exist three different items).

...{displaystyle...}

De manera informal, este conjunto infinito de axiomas establece que hay una cantidad infinita de elementos diferentes. Sin embargo, el concepto de un conjunto infinito no puede definirse dentro del sistema, y mucho menos la cardinalidad de dicho conjunto.

El sistema tiene al menos dos modelos diferentes: uno son los números naturales (isomorfos a cualquier otro conjunto numerable infinito) y otro son los números reales (isomorfos a cualquier otro conjunto con la cardinalidad del continuo). De hecho, tiene un número infinito de modelos, uno para cada cardinalidad de un conjunto infinito. Sin embargo, la propiedad que distingue a estos modelos es su cardinalidad, una propiedad que no se puede definir dentro del sistema. Así, el sistema no es categorial. Sin embargo, se puede demostrar que está completo.

Método axiomático

Enunciar definiciones y proposiciones de tal manera que cada término nuevo pueda ser eliminado formalmente por los términos previamente introducidos requiere nociones primitivas (axiomas) para evitar la regresión infinita. Esta forma de hacer matemáticas se llama método axiomático.

Una actitud común hacia el método axiomático es el logicismo. En su libro Principia Mathematica, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell intentaron demostrar que toda teoría matemática podía reducirse a una colección de axiomas. Más generalmente, la reducción de un cuerpo de proposiciones a una colección particular de axiomas subyace al programa de investigación del matemático. Esto fue muy prominente en las matemáticas del siglo XX, en particular en materias basadas en álgebra homológica.

La explicación de los axiomas particulares utilizados en una teoría puede ayudar a clarificar un nivel adecuado de abstracción con el que al matemático le gustaría trabajar. Por ejemplo, los matemáticos optaron por que los anillos no tenían por qué ser conmutativos, lo que difería de la formulación original de Emmy Noether. Los matemáticos decidieron considerar los espacios topológicos de manera más general sin el axioma de separación que formuló originalmente Felix Hausdorff.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, resultado del método axiomático aplicado a la teoría de conjuntos, permitió que el "adecuado" formulación de problemas de teoría de conjuntos y ayudó a evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua. Uno de esos problemas era la hipótesis del continuo. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el históricamente controvertido axioma de elección incluido, se abrevia comúnmente como ZFC, donde "C" significa "elección". Muchos autores usan ZF para referirse a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido. Hoy, ZFC es la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos y, como tal, es la base más común de las matemáticas.

Historia

Los métodos matemáticos se desarrollaron hasta cierto grado de sofisticación en el antiguo Egipto, Babilonia, India y China, aparentemente sin emplear el método axiomático.

Euclides de Alejandría fue el autor de la presentación axiomática más antigua que existe de la geometría euclidiana y la teoría de números. Su idea comienza con cinco supuestos geométricos innegables llamados axiomas. Luego, usando estos axiomas, estableció la verdad de otras proposiciones mediante pruebas, de ahí el método axiomático.

Muchos sistemas axiomáticos se desarrollaron en el siglo XIX, incluida la geometría no euclidiana, los fundamentos del análisis real, la teoría de conjuntos de Cantor, el trabajo de Frege sobre los fundamentos y el 's de Hilbert. 39;nuevo' uso del método axiomático como herramienta de investigación. Por ejemplo, la teoría de grupos se puso por primera vez sobre una base axiomática hacia fines de ese siglo. Una vez aclarados los axiomas (que se deben exigir elementos inversos, por ejemplo), el sujeto podía proceder de forma autónoma, sin referencia al origen del grupo de transformación de esos estudios.

Problemas

No todos los cuerpos consistentes de proposiciones pueden ser capturados por una colección descriptible de axiomas. En la teoría de la recursión, una colección de axiomas se llama recursiva si un programa de computadora puede reconocer si una proposición dada en el lenguaje es un teorema. El primer teorema de incompletitud de Gödel nos dice que hay ciertos cuerpos consistentes de proposiciones sin axiomatización recursiva. Por lo general, la computadora puede reconocer los axiomas y las reglas lógicas para derivar teoremas, y la computadora puede reconocer si una prueba es válida, pero para determinar si existe una prueba para una declaración solo se puede resolver "esperando" para que se genere la prueba o refutación. El resultado es que uno no sabrá qué proposiciones son teoremas y el método axiomático falla. Un ejemplo de tal cuerpo de proposiciones es la teoría de los números naturales, que está axiomatizada solo parcialmente por los axiomas de Peano (descritos a continuación).

En la práctica, no todas las pruebas se remontan a los axiomas. A veces, ni siquiera está claro a qué colección de axiomas apela una prueba. Por ejemplo, un enunciado teórico de números podría expresarse en el lenguaje de la aritmética (es decir, el lenguaje de los axiomas de Peano) y podría darse una prueba que apele a la topología o al análisis complejo. Puede que no quede claro de inmediato si se puede encontrar otra prueba que se derive únicamente de los axiomas de Peano.

Cualquier sistema de axiomas elegido más o menos arbitrariamente es la base de alguna teoría matemática, pero tal sistema axiomático arbitrario no estará necesariamente libre de contradicciones, y aunque lo esté, no es probable que arroje luz sobre cualquier cosa. Los filósofos de las matemáticas a veces afirman que los matemáticos eligen los axiomas 'arbitrariamente', pero es posible que aunque puedan parecer arbitrarios cuando se ven solo desde el punto de vista de los cánones de la lógica deductiva, esa apariencia se debe a una limitación. sobre los propósitos a los que sirve la lógica deductiva.

Ejemplo: La axiomatización de Peano de los números naturales

El sistema matemático de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4,... se basa en un sistema axiomático ideado por primera vez por el matemático Giuseppe Peano en 1889. Él eligió los axiomas, en el lenguaje de una sola unaria símbolo de función S (abreviatura de "sucesor"), para que el conjunto de números naturales sea:

• Hay un número natural 0.
• Cada número natural a tiene un sucesor, denotado por Sa.
• No hay número natural cuyo sucesor es 0.
• Los números naturales distintos tienen sucesores distintos: si a ل b, entonces Sa ل Sb.
• Si una propiedad es poseída por 0 y también por el sucesor de cada número natural que es poseído por, entonces es poseída por todos los números naturales ("Axioma de inducción").

Axiomatización

En matemáticas, la axiomatización es el proceso de tomar un conjunto de conocimientos y trabajar hacia atrás hasta sus axiomas. Es la formulación de un sistema de declaraciones (es decir, axiomas) que relacionan una serie de términos primitivos, para que un cuerpo consistente de proposiciones pueda derivarse deductivamente de estas declaraciones. A partir de entonces, la prueba de cualquier proposición debería ser, en principio, rastreable hasta estos axiomas.