Singularidad esencial

Parcela de la función exp(1/z), centrado en la singularidad esencial en z = 0. El tono representa el argumento complejo, la luminancia representa el valor absoluto. Esta trama muestra cómo acercarse a la singularidad esencial de diferentes direcciones produce diferentes comportamientos (a diferencia de un polo, que, abordado desde cualquier dirección, sería uniformemente blanco).

Modelo que ilustra la singularidad esencial de una función compleja 6w = exp(1/(6)z)

En análisis complejo, una singularidad esencial de una función es una "severa" singularidad cerca de la cual la función exhibe un comportamiento extraño.

La categoría singularidad esencial es un "sobrante" o grupo predeterminado de singularidades aisladas que son especialmente inmanejables: por definición, no encajan en ninguna de las otras dos categorías de singularidad que pueden tratarse de alguna manera: singularidades y polos removibles. En la práctica, algunos incluyen también singularidades no aisladas; esos no tienen residuo.

Descripción formal

Considere un subconjunto abierto ${displaystyle U}$ del plano complejo ${displaystyle mathbb {C}$. Vamos ${displaystyle a}$ ser un elemento de ${displaystyle U}$, y ${displaystyle fcolon Usetminus{a}to mathbb {C}$ una función holomorfa. El punto ${displaystyle a}$ se llama singularidad esencial de la función ${displaystyle f}$ si la singularidad no es ni un polo ni una singularidad extraíble.

Por ejemplo, la función ${displaystyle f(z)=e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial ${displaystyle z=0}$.

Descripciones alternativas

Vamos ${displaystyle ;a;a}$ ser un número complejo, asumir que ${displaystyle f(z)}$ no se define en ${displaystyle ;a;a}$ pero es analítico en alguna región ${displaystyle U}$ del plano complejo, y que cada barrio abierto ${displaystyle a}$ tiene intersección no vacía con ${displaystyle U}$.

Si ambos ${displaystyle lim _{zto a}f(z)}$ y ${displaystyle lim _{zto a}{frac {1}{f(z)}}$ existen, entonces ${displaystyle a}$ es un singularidad extraíble de ambos ${displaystyle f}$ y ${fnMicroc} {1}{f}}$.

Si ${displaystyle lim _{zto a}f(z)}$ existe pero ${displaystyle lim _{zto a}{frac {1}{f(z)}}$ no existe (de hecho ${displaystyle lim _{zto a}Sobrevivir1/f(z)$), entonces ${displaystyle a}$ es un cero de ${displaystyle f}$ y un poste de ${fnMicroc} {1}{f}}$.

Del mismo modo, si ${displaystyle lim _{zto a}f(z)}$ no existe (de hecho ${displaystyle lim _{zto a}$Pero... ${displaystyle lim _{zto a}{frac {1}{f(z)}}$ existe, entonces ${displaystyle a}$ es un polo de ${displaystyle f}$ y a cero de ${fnMicroc} {1}{f}}$.

Si no ${displaystyle lim _{zto a}f(z)}$ ni ${displaystyle lim _{zto a}{frac {1}{f(z)}}$ existe, entonces ${displaystyle a}$ es un singularidad esencial de ambos ${displaystyle f}$ y ${fnMicroc} {1}{f}}$.

Otra manera de caracterizar una singularidad esencial es que la serie Laurent ${displaystyle f}$ en el punto ${displaystyle a}$ tiene infinitamente muchos términos negativos (es decir, la parte principal de la serie Laurent es una suma infinita). Una definición relacionada es que si hay un punto ${displaystyle a}$ para el cual no se deriva ${displaystyle f(z)$ converge a un límite como ${displaystyle z}$ tiende a ${displaystyle a}$, entonces ${displaystyle a}$ es una singularidad esencial ${displaystyle f}$.

En una esfera Riemann con un punto de infinito, ${displaystyle infty _{mathbb {C}$, la función ${displaystyle {f(z)}}$ tiene una singularidad esencial en ese punto si y sólo si ${displaystyle {f(1/z)}}$ tiene una singularidad esencial en 0: es decir, ninguno ${displaystyle lim _{zto 0}{f(1/z)}$ ni ${displaystyle lim _{zto 0}{frac {1}{f(1/z)}}$ existe. La función Riemann zeta en la esfera Riemann sólo tiene una singularidad esencial, ${displaystyle infty _{mathbb {C}$.

El comportamiento de las funciones holomorfas cerca de sus singularidades esenciales es descrito por el teorema Casorati-Weierstrass y por el teorema grande de Picard considerablemente más fuerte. Este último dice que en cada barrio de una singularidad esencial ${displaystyle a}$, la función ${displaystyle f}$ toma cada uno valor complejo, excepto posiblemente uno, infinitamente muchas veces. (La excepción es necesaria; por ejemplo, la función ${displaystyle exp(1/z)}$ nunca toma el valor 0.)