Singleton (matemáticas)

En matemáticas, a singleton, también conocido como conjunto o un punto, es un conjunto con exactamente un elemento. Por ejemplo, el conjunto {}0}{displaystyle {0}} es un singleton cuyo único elemento es 0{displaystyle 0}.

Propiedades

En el marco de la teoría del conjunto Zermelo-Fraenkel, el axioma de la regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento de sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, por lo tanto 1 y {1} no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene sólo el conjunto vacío. Un conjunto como {}{}1,2,3}}{displaystyle {fn1,2,3}}} es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí es un conjunto, sin embargo, no un singleton).

Un conjunto es un singleton si y sólo si su cardinalidad es 1. En la construcción teórica de von Neumann de los números naturales, el número 1 es definida como el singleton {}0}.{displaystyle.

En la teoría de conjuntos axiomáticos, la existencia de singletons es una consecuencia del axioma del emparejamiento: para cualquier conjunto A, el axioma aplicado a A y A afirma la existencia de {}A,A},{displaystyle {A,A},} que es el mismo que el singleton {}A}{displaystyle {fn} (ya que contiene) A, y ningún otro conjunto, como elemento).

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces existe precisamente una función de A a S, la función envía cada elemento de A al único elemento de S. Por tanto, cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos.

Un singleton tiene la propiedad de que cada función desde él hasta cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío.

Cada set de singleton es un prefiltro ultra. Si X{displaystyle X} es un conjunto y x▪ ▪ X{displaystyle xin X} entonces la subida {}x}{displaystyle {x}} dentro X,{displaystyle X. que es el conjunto {}S⊆ ⊆ X:x▪ ▪ S},{displaystyle {Ssubseteq X:xin S},} es un ultrafiltro principal en X.{displaystyle X.} Además, cada ultrafiltro principal en X{displaystyle X} es necesariamente de esta forma. El ultrafiltro lemma implica que los ultrafiltros no principales existen en cada conjunto infinito (estos se llaman ultrafiltros libres). Cada neto valorado en un subconjunto de un soloton X{displaystyle X} de es un ultranet en X.{displaystyle X.}

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto (OEIS: A000110), si se excluyen los singleton, los números son más pequeños (OEIS: A000296).

En teoría de categorías

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de varias categorías:

• La declaración anterior muestra que los conjuntos de singleton son precisamente los objetos terminales de la categoría Set de conjuntos. Ningún otro equipo es terminal.
• Cualquier singleton admite una estructura espacial topológica única (ambos subconjuntos están abiertos). Estos espacios topológicos singleton son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas. No hay otros espacios terminales en esa categoría.
• Cualquier singleton admite una estructura de grupo única (el elemento único que sirve como elemento de identidad). Estos grupos de singleton son cero objetos en la categoría de grupos y homomorfismos de grupo. Ningún otro grupo es terminal en esa categoría.

Definición por funciones indicadoras

Sea S una clase definida por una función indicadora

b:X→ → {}0,1}.{displaystyle b:Xto {0,1}.}

Sí.▪ ▪ X{displaystyle yin X}

x▪ ▪ X,{displaystyle xin X,}

b()x)=()x=Sí.).{displaystyle b(x)=(x=y).}

Definición en Principia Mathematica

La siguiente definición fue introducida por Whitehead y Russell

.. {displaystyle iota }'x=Sí.^ ^ ()Sí.=x){displaystyle x={hat {y}(y=x)} Df.

El símbolo .. {displaystyle iota }'x{displaystyle x} denota el singleton {}x}{displaystyle {x}} y Sí.^ ^ ()Sí.=x){displaystyle {hat {y}(y=x)} denota la clase de objetos idénticos con x{displaystyle x} aka {}Sí.:Sí.=x}{displaystyle {y:y=x}. Esto ocurre como una definición en la introducción, que, en lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde se produce como propuesta 51.01 (p.357 ibíd.). La propuesta se utiliza posteriormente para definir el cardenal número 1 como

1=α α ^ ^ ()()∃ ∃ x)α α =.. {displaystyle 1={hat {alpha}(exists x)alpha =iota }'x){displaystyle x)} Df.

Es decir, 1 es la clase de singletons. Esta es la definición 52.01 (p.363 ibid.)