Sin pérdida de generalidad

Sin pérdida de generalidad (a menudo abreviado como WOLOG, WLOG o w.l.o.g.; menos comúnmente indicado como sin pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad) es un expresión en matemáticas. El término se usa para indicar que la suposición que sigue se elige arbitrariamente, restringiendo la premisa a un caso particular, pero no afecta la validez de la prueba en general. Los otros casos son lo suficientemente similares al presentado como para probarlos siguiendo esencialmente la misma lógica. Como resultado, una vez que se da una prueba para el caso particular, es trivial adaptarla para probar la conclusión en todos los demás casos.

En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría. Por ejemplo, si se sabe que alguna propiedad P(x,y) de los números reales es simétrica en x y y, es decir, que P(x,y) es equivalente a P (y,x), luego al probar que P(x,y) se cumple para cada x e y, se puede suponer "sin pérdida de generalidad" que x ≤ y. No hay pérdida de generalidad en esta suposición, ya que una vez que el caso x ≤ y ⇒ P(x, y), el otro caso sigue intercambiando x y y : y ≤ x ⇒ P(y,x), y por simetría de P, esto implica P(x,y), mostrando así que P(x, y) se cumple para todos los casos.

Por otro lado, si no se puede establecer tal simetría ni otra forma de equivalencia, entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecta y puede equivaler a una instancia de prueba por ejemplo: una falacia lógica de probar una afirmación probando un ejemplo no representativo.

Ejemplo

Considere el siguiente teorema (que es un caso del principio del casillero):

Si tres objetos están pintados de rojo o azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.

Una prueba:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si alguno de los otros dos objetos es rojo, entonces estamos acabados; si no, entonces los otros dos objetos deben ser azules y todavía estamos acabados.

El argumento anterior funciona porque se podría aplicar exactamente el mismo razonamiento si se hiciera la suposición alternativa, es decir, que el primer objeto es azul, o, de manera similar, que las palabras 'rojo' y 'azul' pueden intercambiarse libremente en la redacción de la prueba. Como resultado, el uso de "sin pérdida de generalidad" es válido en este caso.