Simetría de segundas derivadas.

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Teorema matemático

En matemáticas, la simetría de segundas derivadas (también llamada igualdad de parciales mixtos) se refiere a la posibilidad de intercambiar el orden de toma de derivadas parciales de una función.

{displaystyle fleft(x_{1},,x_{2},,ldots,x_{n}right)}

de n variables sin cambiar el resultado bajo ciertas condiciones (ver más abajo). La simetría es la afirmación de que las derivadas parciales de segundo orden satisfacen la identidad

{displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}left({frac {partial f}{partial x_{j}}}right) = {frac {partial }{partial x_{j}}}left({frac {partial f}{partial x_{i}}}right)}

para que formen una matriz simétrica n × n, conocida como matriz de Hesse de la función. Las condiciones suficientes para que se cumpla la simetría anterior se establecen mediante un resultado conocido como teorema de Schwarz, teorema de Clairaut o teorema de Young.;s teorema.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales, se denomina condición de integrabilidad de Schwarz.

Expresiones formales de simetría

En símbolos, la simetría se puede expresar como:

{displaystyle {frac {partial }{partial x}}left({frac {partial f}{partial y}}right) = {frac {partial }{partial y}}left({frac {partial f}{partial x}}right)qquad {text{or}}qquad {frac {partial ^{2}!f}{partial x,partial y}} = {frac {partial ^{2}!f}{partial y,partial x}}.}

Otra notación es:

{displaystyle partial _{x}partial _{y}f=partial _{y}partial _{x}fqquad {text{or}}qquad f_{yx}=f_{xy}.}

En términos de composición del operador diferencial $D i$ que toma el parcial derivada con respecto a $x i$ :

{displaystyle D_{i}circ D_{j}=D_{j}circ D_{i}}

De esta relación se deduce que el anillo de operadores diferenciales con coeficientes constantes, generado por el $D i$ , es conmutativo; pero esto sólo es cierto como operadores sobre un dominio de funciones suficientemente diferenciables. Es fácil comprobar la simetría aplicada a los monomios, de modo que se pueden tomar polinomios en el $x i$ como dominio. De hecho, las funciones fluidas son otro dominio válido.

Historia

El resultado de la igualdad de derivados parciales mixtos en determinadas condiciones tiene una larga historia. La lista de pruebas propuestas sin éxito comenzó con Euler, publicada en 1740, aunque ya en 1721 Bernoulli había asumido implícitamente el resultado sin justificación formal. Clairaut también publicó una prueba propuesta en 1740, sin otros intentos hasta finales del siglo XVIII. A partir de entonces, durante un período de 70 años, se propusieron varias pruebas incompletas. La prueba de Lagrange (1797) fue mejorada por Cauchy (1823), pero asumió la existencia y continuidad de los derivados parciales ${displaystyle {tfrac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}}$ y ${displaystyle {tfrac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}}$ . Otros intentos fueron realizados por P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862), y Bertrand (1864). Finalmente en 1867 Lindelöf analizó sistemáticamente todas las pruebas defectuosas anteriores y pudo exhibir un contraejemplo específico donde los derivados mixtos no eran iguales.

Seis años después, Schwarz logró dar la primera prueba rigurosa. Dini contribuyó posteriormente encontrando condiciones más generales que las de Schwarz. Finalmente, Jordan encontró una versión limpia y más general en 1883 que todavía es la prueba que se encuentra en la mayoría de los libros de texto. Laurent (1885), Peano (1889 y 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), J. K. Whittemore (1898), Vivanti (1899) y Pierpont (1905) publicaron variantes menores de pruebas anteriores. Se lograron mayores avances en 1907-1909 cuando E. W. Hobson y W. H. Young encontraron pruebas con condiciones más débiles que las de Schwarz y Dini. En 1918, Carathéodory dio una prueba diferente basada en la integral de Lebesgue.

Did you mean:

Schwarz 's theorem

En el análisis matemático, Teorema de Schwarz (o Teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos) nombrado por Alexis Clairaut y Hermann Schwarz, afirma que para una función ${displaystyle fcolon Omega to mathbb {R} }$ definido en un conjunto $Omega subset mathbb{R}^n$ , si ${displaystyle mathbf {p} in mathbb {R} ^{n}}$ es un punto tal que algún vecindario $mathbf {p}$ figura en $Omega$ y $f$ tiene segundos derivados parciales continuos en ese barrio $mathbf {p}$ , entonces para todos $i$ y $j$ dentro ${displaystyle {1,2ldots,n},}$

{displaystyle {frac {partial ^{2}}{partial x_{i},partial x_{j}}}f(mathbf {p})={frac {partial ^{2}}{partial x_{j},partial x_{i}}}f(mathbf {p}).}

Las derivadas parciales de esta función conmutan en ese punto.

Una manera fácil de establecer este teorema (en el caso donde $n=2$ , $i=1$ , y $j=2$ , que implica fácilmente el resultado en general) es aplicando el teorema de Green al gradiente de $f.$

Una prueba elemental de funciones en subconjuntos abiertos del plano es la siguiente (por una simple reducción, el caso general para el teorema de Schwarz se reduce fácilmente al caso planar). Vamos $f(x,y)$ ser una función diferenciable en un rectángulo abierto $Omega$ conteniendo un punto $(a,b)$ y suponer que $df$ es continuo con continuo ${displaystyle partial _{x}partial _{y}f}$ y ${displaystyle partial _{y}partial _{x}f}$ sobre $Omega.$ Define

{displaystyle {begin{aligned}uleft(h,,kright)&=fleft(a+h,,b+kright)-fleft(a+h,,bright),\vleft(h,,kright)&=fleft(a+h,,b+kright)-fleft(a,,b+kright),\wleft(h,,kright)&=fleft(a+h,,b+kright)-fleft(a+h,,bright)-fleft(a,,b+kright)+fleft(a,,bright).end{aligned}}}

Estas funciones se definen para $<math alttext="{displaystyle left|hright|,,left|kright|SilenciohSilencio,SilenciokSilencio.ε ε {fnMicrosoft Sans Serif} <img alt="{displaystyle left|hright|,,left|kright|$ , donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ y ${displaystyle left[a-varepsilon,a+varepsilon right]times left[b-varepsilon,b+varepsilon right]}$ figura en $Omega.$

Por el valor medio teorema, para fijo $h$ y $k$ no cero, ${displaystyle thetatheta ',phiphi '}$ se puede encontrar en el intervalo abierto $(0,1)$ con

{displaystyle {begin{aligned}wleft(h,,kright)&=uleft(h,,kright)-uleft(0,,kright)=h,partial _{x}uleft(theta h,,kright)\&=h,left[partial _{x}fleft(a+theta h,,b+kright)-partial _{x}fleft(a+theta h,,bright)right]\&=hk,partial _{y}partial _{x}fleft(a+theta h,,b+theta ^{prime }kright)\wleft(h,,kright)&=vleft(h,,kright)-vleft(h,,0right)=k,partial _{y}vleft(h,,phi kright)\&=kleft[partial _{y}fleft(a+h,,b+phi kright)-partial _{y}fleft(a,,b+phi kright)right]\&=hk,partial _{x}partial _{y}fleft(a+phi ^{prime }h,,b+phi kright).end{aligned}}}

Desde ${displaystyle h,,kneq 0}$ , la primera igualdad a continuación se puede dividir por $hk$ :

{displaystyle {begin{aligned}hk,partial _{y}partial _{x}fleft(a+theta h,,b+theta ^{prime }kright)&=hk,partial _{x}partial _{y}fleft(a+phi ^{prime }h,,b+phi kright),\partial _{y}partial _{x}fleft(a+theta h,,b+theta ^{prime }kright)&=partial _{x}partial _{y}fleft(a+phi ^{prime }h,,b+phi kright).end{aligned}}}

Letting ${displaystyle h,,k}$ tienden a cero en la última igualdad, las suposiciones de continuidad en ${displaystyle partial _{y}partial _{x}f}$ y ${displaystyle partial _{x}partial _{y}f}$ ahora implica que

{displaystyle {frac {partial ^{2}}{partial xpartial y}}fleft(a,,bright)={frac {partial ^{2}}{partial ypartial x}}fleft(a,,bright).}

Esta explicación es un método clásico sencillo que se encuentra en muchos libros de texto, por ejemplo en Burkill, Apostol y Rudin.

Aunque la derivación anterior es elemental, el enfoque también se puede ver desde una perspectiva más conceptual para que el resultado se haga más evidente. De hecho, los operadores de la diferencia ${displaystyle Delta _{x}^{t},,,Delta _{y}^{t}}$ Comute and ${displaystyle Delta _{x}^{t}f,,,Delta _{y}^{t}f}$ tiende a ${displaystyle partial _{x}f,,,partial _{y}f}$ como $t$ tiende a 0, con una declaración similar para los operadores de segunda orden. Aquí, para $z$ un vector en el plano y $u$ un vector direccional ${displaystyle {tbinom {1}{0}}}$ o ${displaystyle {tbinom {0}{1}}}$ , el operador de la diferencia se define por

{displaystyle Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) over t}.}

Por el teorema fundamental del cálculo $C^{1}$ funciones $f$ en un intervalo abierto $I$ con ${displaystyle (a,b)subset I}$

{displaystyle int _{a}^{b}f^{prime }(x),dx=f(b)-f(a).}

Por lo tanto

{displaystyle |f(b)-f(a)|leq (b-a),sup _{cin (a,b)}|f^{prime }(c)|}

Esta es una versión generalizada del teorema de valor medio. Recordar que la discusión elemental sobre maxima o minima para funciones reales implica que si $f$ continuo $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , entonces hay un punto $c$ dentro $(a,b)$ tales que

{displaystyle {f(b)-f(a) over b-a}=f^{prime }(c).}

Para funciones de valor vectorial con $V$ un espacio eminentemente dimensional, no hay análogo de la igualdad anterior, de hecho falla. Pero... ${displaystyle inf f^{prime }leq f^{prime }(c)leq sup f^{prime }}$ , la desigualdad arriba es un sustituto útil. Además, utilizando el emparejamiento del doble de $V$ con su doble norma, produce la siguiente desigualdad:

{displaystyle |f(b)-f(a)|leq (b-a),sup _{cin (a,b)}|f^{prime }(c)|}

Did you mean:

These versions of the mean value theorem are discussed in Rudin, Hörmander and elsewhere.

Para $f$ a $C^{2}$ función en un conjunto abierto en el plano, definir ${displaystyle D_{1}=partial _{x}}$ y ${displaystyle D_{2}=partial _{y}}$ . Además, ${displaystyle tneq 0}$ set

{displaystyle Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,,,,,,,Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}

Entonces... $(x_{0},y_{0})$ en el conjunto abierto, el valor medio generalizado teorema se puede aplicar dos veces:

{displaystyle left|Delta _{1}^{t}Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})right|leq sup _{0leq sleq 1}left|Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})right|leq sup _{0leq r,sleq 1}left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})right|.}

Así ${displaystyle Delta _{1}^{t}Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tiende a ${displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ como $t$ tiende a 0. El mismo argumento muestra que ${displaystyle Delta _{2}^{t}Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ tiende a ${displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$ . Por lo tanto, desde que los operadores de diferencia se comunican, también los operadores diferenciales parciales $D_{1}$ y $D_{2}$ Como se dice.

Observación. Mediante dos aplicaciones del teorema clásico del valor medio,

{displaystyle Delta _{1}^{t}Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+tthetay_{0}+ttheta ^{prime })}

para algunos $theta$ y $theta^prime$ dentro $(0,1)$ . Así, la primera prueba elemental puede ser reinterpretada usando operadores de diferencia. Por el contrario, en lugar de utilizar el teorema de valor medio generalizado en la segunda prueba, el teorema de valor clásico podría ser utilizado.

Did you mean:

Proof of Clairaut's 's theorem using iterated integrals

Las propiedades de Riemann repetidas integrales de una función continua $F$ en un rectángulo compacto $[a, b [ ] c, d]$ se establecen fácilmente. La continuidad uniforme $F$ implica inmediatamente que las funciones ${displaystyle g(x)=int _{c}^{d}F(x,y),dy}$ y ${displaystyle h(y)=int _{a}^{b}F(x,y),dx}$ son continuos. De ello se desprende que

{displaystyle int _{a}^{b}int _{c}^{d}F(x,y),dy,dx=int _{c}^{d}int _{a}^{b}F(x,y),dx,dy}

;

además, es inmediato que la integral iterada es positiva si $F$ es positiva. La igualdad anterior es un caso simple del teorema de Fubini, que no involucra la teoría de la medida. Titchmarsh (1939) lo demuestra de forma sencilla utilizando la aproximación de Riemann de sumas correspondientes a subdivisiones de un rectángulo en rectángulos más pequeños.

Para demostrar el teorema de Clairaut, supongamos que $f$ es una función diferenciable en un conjunto abierto $U$ , para el cual las segundas derivadas parciales mixtas $f yx$ y $f xy$ existen y son continuos. Usando el teorema fundamental del cálculo dos veces,

{displaystyle int _{c}^{d}int _{a}^{b}f_{yx}(x,y),dx,dy=int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y),dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}

Del mismo modo

{displaystyle int _{a}^{b}int _{c}^{d}f_{xy}(x,y),dy,dx=int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c),dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}

Por lo tanto, las dos integrales iteradas son iguales. Por otro lado, dado que $f xy (x, y)$ es continua, la segunda integral iterada se puede realizar integrando primero sobre $x$ y luego luego sobre $y$ . Pero luego la integral iterada de $f yx - f xy$ en $[a, b] \times [c, d]$ debe desaparecer. Sin embargo, si la integral iterada de una función continua $F$ desaparece para todos los rectángulos, entonces $F$ debe ser idénticamente cero; de lo contrario, $F$ o $- F$ sería estrictamente positivo en algún punto y por tanto por continuidad sobre un rectángulo, lo cual no es posible. Por lo tanto $f yx - f xy$ debe desaparecer de forma idéntica, de modo que $f yx = f xy$ en todas partes.

Suficiencia de doble diferenciabilidad

Una condición más débil que la continuidad de las segundas derivadas parciales (que está implícita en esta última) y que es suficiente para garantizar la simetría es que todas las derivadas parciales sean diferenciables. Peano proporcionó otro fortalecimiento del teorema, en el que se afirma la existencia del parcial mixto permutado, en una breve nota de 1890 sobre Mathesis:

Si ${displaystyle f:Eto mathbb {R} }$ se define en un conjunto abierto ${displaystyle Esubset mathbb {R} ^{2}}$ ; ${displaystyle partial _{1}f(x,,y)}$ y ${displaystyle partial _{2,1}f(x,,y)}$ existen en todas partes $E$ ; ${displaystyle partial _{2,1}f}$ es continuo ${displaystyle left(x_{0},,y_{0}right)in E}$ , y si ${displaystyle partial _{2}f(x,,y_{0})}$ existe en un barrio $x=x_{0}$ , entonces ${displaystyle partial _{1,2}f}$ existe ${displaystyle left(x_{0},,y_{0}right)}$ y ${displaystyle partial _{1,2}fleft(x_{0},,y_{0}right)=partial _{2,1}fleft(x_{0},,y_{0}right)}$ .

Formulación de la teoría de la distribución

La teoría de distribuciones (funciones generalizadas) elimina problemas analíticos con la simetría. La derivada de una función integrable siempre se puede definir como una distribución, y la simetría de las derivadas parciales mixtas siempre se cumple como una igualdad de distribuciones. El uso de la integración formal por partes para definir la diferenciación de distribuciones devuelve la cuestión de la simetría a las funciones de prueba, que son suaves y ciertamente satisfacen esta simetría. Con más detalle (donde f es una distribución, escrita como un operador en funciones de prueba, y φ es una función de prueba),

{displaystyle left(D_{1}D_{2}fright)[phi ]=-left(D_{2}fright)left[D_{1}phi right]=fleft[D_{2}D_{1}phi right]=fleft[D_{1}D_{2}phi right]=-left(D_{1}fright)left[D_{2}phi right]=left(D_{2}D_{1}fright)[phi ].}

Otro enfoque, que define la transformada de Fourier de una función, es observar que en tales transformadas las derivadas parciales se convierten en operadores de multiplicación que conmutan de manera mucho más obvia.

Requisito de continuidad

La simetría puede romperse si la función no tiene derivadas parciales diferenciables, lo cual es posible si no se cumple el teorema de Clairaut (las segundas derivadas parciales no son continuas).

La función f()x,*Sí.*), como se muestra en la ecuación (1), no tiene segundas derivaciones simétricas en su origen.

Un ejemplo de no simetría es la función (debido a Peano)

{displaystyle f(x,,y)={begin{cases}{frac {xyleft(x^{2}-y^{2}right)}{x^{2}+y^{2}}}&{mbox{ for }}(x,,y)neq (0,,0),\0&{mbox{ for }}(x,,y)=(0,,0).end{cases}}}

()1)

Esto puede ser visualizado por la forma polar ${displaystyle f(rcos(theta),rsin(theta))={frac {r^{2}sin(4theta)}{4}}}$ ; es en todas partes continuo, pero sus derivados en (0, 0) no puede ser calculado algebraicamente. Más bien, el límite de los coeficientes de diferencia muestra que ${displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$ Así que el gráfico ${displaystyle z=f(x,y)}$ tiene un plano tangente horizontal en (0, 0), y los derivados parciales ${displaystyle f_{x},f_{y}}$ existen y están en todas partes continuas. Sin embargo, los segundos derivados parciales no son continuos en (0, 0)Y la simetría falla. De hecho, a lo largo de la x- el eje Sí.-...derivativo es ${displaystyle f_{y}(x,0)=x}$ , y así:

{displaystyle f_{yx}(0,0)=lim _{varepsilon to 0}{frac {f_{y}(varepsilon0)-f_{y}(0,0)}{varepsilon }}=1.}

En contraste, a lo largo del Sí.- el eje x-derivativo ${displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$ , y así ${displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$ . Eso es, ${displaystyle f_{yx}neq f_{xy}}$ a (0, 0), aunque los derivados parciales mixtos existen, y en cada otro punto la simetría sostiene.

La función anterior, escrita en un sistema de coordenadas cilíndrico, se puede expresar como

{displaystyle f(r,,theta)={frac {r^{2}sin {4theta }}{4}},}

mostrando que la función oscila cuatro veces cuando viaja una vez alrededor de un bucle arbitrariamente pequeño que contiene el origen. Por lo tanto, intuitivamente el comportamiento local de la función en (0, 0) no puede describirse como una forma cuadrática y, por lo tanto, la matriz de Hesse no es simétrica.

Did you mean:

In general, the interchange of limiting operations need not commute. Given two variables in (0, 0) and two limiting processes on

{displaystyle f(h,,k)-f(h,,0)-f(0,,k)+f(0,,0)}

correspondiente a hacer h → 0 primero, y a hacer k → 0 primero. Puede importar, observando los términos de primer orden, cuál se aplica primero. Esto lleva a la construcción de ejemplos patológicos en los que las segundas derivadas no son simétricas. Este tipo de ejemplo pertenece a la teoría del análisis real donde importa el valor puntual de las funciones. Cuando se ve como una distribución, los valores de la segunda derivada parcial se pueden cambiar en un conjunto arbitrario de puntos siempre que tenga una medida de Lebesgue 0. Dado que en el ejemplo, el hessiano es simétrico en todas partes excepto en (0, 0), no hay contradicción con el hecho de que la distribución de Hesse, vista como una distribución de Schwartz, sea simétrica.

En la teoría de la mentira

Considere que los operadores diferenciales de primer orden D_i son operadores infinitesimales en el espacio euclidiano. Es decir, D_i en cierto sentido genera el grupo de traslaciones de un parámetro paralelo a x_>i-eje. Estos grupos conmutan entre sí y, por tanto, los generadores infinitesimales también lo hacen; el soporte de mentira

[D_i, D_j= 0

Did you mean:

is this property 's reflection. In other words, the Lie derivative of one coordinate with respect to another is zero.

Aplicación a formas diferenciales

El teorema de Clairaut-Schwarz es el hecho clave necesario para probar que por cada $C^{infty }$ (o al menos dos veces diferente) forma diferencial ${displaystyle omega in Omega ^{k}(M)}$ , el segundo derivado exterior desaparece: ${displaystyle d^{2}omega:=d(domega)=0}$ . Esto implica que cada forma exacta diferenciable (es decir, una forma $alpha$ tales que ${displaystyle alpha =domega }$ para alguna forma $omega$ ) está cerrado (es decir, $dalpha = 0$ ), desde ${displaystyle dalpha =d(domega)=0}$ .

A mediados del siglo XVIII, la teoría de las formas diferenciales fue estudiada por primera vez en el caso más simple de 1-formas en el plano, es decir. ${displaystyle A,dx+B,dy}$ , donde $A$ y $B$ son funciones en el avión. El estudio de 1-formas y las diferencias de funciones comenzó con los papeles de Clairaut en 1739 y 1740. En esa etapa sus investigaciones se interpretaron como formas de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Clairaut formalmente mostró que 1-forma ${displaystyle omega =A,dx+B,dy}$ en un rectángulo abierto está cerrado, es decir. $domega =0$ , si y sólo $omega$ tiene la forma $df$ para alguna función $f$ en el disco. La solución para $f$ puede ser escrito por la fórmula integral de Cauchy

{displaystyle f(x,y)=int _{x_{0}}^{x}A(x,y),dx+int _{y_{0}}^{y}B(x,y),dy;}

mientras ${displaystyle omega =df}$ , la propiedad cerrada ${displaystyle domega =0}$ es la identidad ${displaystyle partial _{x}partial _{y}f=partial _{y}partial _{x}f}$ . (En lenguaje moderno esta es una versión del Poincaré lemma.)

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