Significado aritmetico

En matemáticas y estadística, la media aritmética (air-ith-MET-ik) o promedio aritmético, o simplemente la media o el promedio (cuando el contexto es claro), es la suma de una colección de números dividida por el conteo de números en la colección. La colección suele ser un conjunto de resultados de un experimento o un estudio de observación, o con frecuencia un conjunto de resultados de una encuesta. El término "media aritmética" se prefiere en algunos contextos en matemáticas y estadística, porque ayuda a distinguirlo de otros medios, como la media geométrica y la media armónica.

Además de las matemáticas y las estadísticas, la media aritmética se usa con frecuencia en muchos campos diversos, como la economía, la antropología y la historia, y se usa en casi todos los campos académicos hasta cierto punto. Por ejemplo, el ingreso per cápita es el ingreso promedio aritmético de la población de una nación.

Si bien la media aritmética se usa a menudo para informar tendencias centrales, no es una estadística sólida, lo que significa que está muy influenciada por valores atípicos (valores que son mucho más grandes o más pequeños que la mayoría de los valores). Para distribuciones sesgadas, como la distribución de ingresos para la cual los ingresos de unas pocas personas son sustancialmente mayores que los de la mayoría de las personas, la media aritmética puede no coincidir con la noción de "medio". #34; y las estadísticas sólidas, como la mediana, pueden proporcionar una mejor descripción de la tendencia central.

Definición

Dado un conjunto de datos X={}x1,...... ,xn}{displaystyle X={x_{1},ldotsx_{n}}, el aritmética media (o # o promedio), denotado x̄ ̄ {displaystyle {bar {x}} (Leer x{displaystyle x} bar), es la media de la n{displaystyle n} valores x1,x2,...... ,xn{displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}.

La media aritmética es la medida más utilizada y fácilmente comprendida de la tendencia central en un conjunto de datos. En las estadísticas, el término promedio se refiere a cualquiera de las medidas de tendencia central. La media aritmética de un conjunto de datos observados se define como igual a la suma de los valores numéricos de cada observación, dividida por el número total de observaciones. Simbólicamente, si tenemos un conjunto de datos consistente en los valores a1,a2,...... ,an{displaystyle a_{1},a_{2},ldotsa_{n}, entonces la media aritmética A{displaystyle A} se define por la fórmula:

A=1n.. i=1nai=a1+a2+⋯ ⋯ +ann{displaystyle A={frac}{n}sum ¿Qué? {a_{1}+a_{2}+cdots - Sí.

(para obtener una explicación del operador de suma, consulte suma).

Por ejemplo, si los salarios mensuales de 10 empleados de una empresa son: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400, entonces la media aritmética es

2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+240010=2530.{displaystyle {frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}=2530.}

Si el conjunto de datos es una población estadística (es decir, consiste en toda observación posible y no sólo un subconjunto de ellos), entonces la media de esa población se llama el población media, y denotado por la letra griega μ μ {displaystyle mu }. Si el conjunto de datos es una muestra estadística (un subconjunto de la población), se llama el muestra media (que para un conjunto de datos X{displaystyle X} es denotado como X̄ ̄ {displaystyle {overline {X}}}).

La media aritmética se puede definir de manera similar para vectores en múltiples dimensiones, no solo para valores escalares; esto a menudo se denomina centroide. De manera más general, debido a que la media aritmética es una combinación convexa (los coeficientes suman 1), se puede definir en un espacio convexo, no solo en un espacio vectorial.

Propiedades motivadoras

La media aritmética tiene varias propiedades que la hacen útil, especialmente como medida de tendencia central. Éstas incluyen:

• Si números x1,...... ,xn{displaystyle x_{1},dotscx_{n} ♪ x̄ ̄ {displaystyle {bar {x}}, entonces ()x1− − x̄ ̄ )+⋯ ⋯ +()xn− − x̄ ̄ )=0{displaystyle (x_{1}-{bar {x})+dotsb +(x_{n}-{bar {x}}=0}. Desde xi− − x̄ ̄ {displaystyle x_{i}-{bar {x}} es la distancia de un número dado a la media, una manera de interpretar esta propiedad es como decir que los números a la izquierda de la media están equilibrados por los números a la derecha del medio. El promedio es el único número para el cual los residuos (desviaciones de la estimación) suma a cero.
• Si se requiere utilizar un solo número como un valor "típico" para un conjunto de números conocidos x1,...... ,xn{displaystyle x_{1},dotscx_{n}, entonces la media aritmética de los números hace esto mejor, en el sentido de minimizar la suma de las desviaciones cuadradas del valor típico: la suma de ()xi− − x̄ ̄ )2{displaystyle (x_{i}-{bar {x}}{2}}. (Se deduce que el medio de muestra es también el mejor predictor único en el sentido de tener el error más bajo de raíz media cuadrado). Si se desea la media aritmética de una población de números, entonces la estimación de ella que es imparcial es la media aritmética de una muestra extraída de la población.

Propiedades adicionales

• Avg()c⋅ ⋅ a1,c⋅ ⋅ a2...c⋅ ⋅ an){displaystyle {text{Avg}(ccdot a_{1},ccdot a_{2}...ccdot a_{n}} = c⋅ ⋅ Avg()a1,a2...an){displaystyle ccdot {text{Avg}(a_{1},a_{2}...a_{n}) }
• La media aritmética de cualquier cantidad de grupos de números iguales juntos es la media aritmética de los medios aritméticos de cada grupo.

Contraste con la mediana

La media aritmética puede ser contrastada con la mediana. La mediana se define tal que no más de la mitad de los valores son más grandes que, y no más de la mitad son más pequeños que, la mediana. Si los elementos de los datos aumentan aritméticamente, cuando se colocan en algún orden, entonces el promedio medio y aritmético son iguales. Por ejemplo, considere la muestra de datos 1,2,3,4{displaystyle {1,2,3,4}}. El promedio es 2.5{displaystyle 2.5}, al igual que la mediana. Sin embargo, cuando consideramos una muestra que no puede ser arreglada para aumentar aritméticamente, como 1,2,4,8,16{displaystyle {1,2,4,8,16}}, la mediana y el promedio aritmético puede diferir significativamente. En este caso, la media aritmética es 6.2, mientras que la mediana es 4. En general, el valor promedio puede variar significativamente de la mayoría de los valores de la muestra, y puede ser mayor o menor que la mayoría de ellos.

Hay aplicaciones de este fenómeno en muchos campos. Por ejemplo, desde la década de 1980, el ingreso medio en los Estados Unidos ha aumentado más lentamente que el promedio aritmético de ingresos.

Generalizaciones

Promedio ponderado

Un promedio ponderado, o medio ponderado, es un promedio en el que algunos puntos de datos cuentan más pesadamente que otros, en que se les da más peso en el cálculo. Por ejemplo, la media aritmética de 3{displaystyle 3} y 5{displaystyle 5} es ()3+5)2=4{displaystyle {frac {}{2}=4}, o equivalente ()12⋅ ⋅ 3)+()12⋅ ⋅ 5)=4{displaystyle left({frac {1}{2}cdot 3right)+left({frac {1}{2}cdot 5right)=4}. En contraste, a ponderado significa en el que el primer número recibe, por ejemplo, el doble de peso que el segundo (tal vez porque se supone que aparece dos veces más a menudo en la población general de la que se muestren estos números) se calcularía como ()23⋅ ⋅ 3)+()13⋅ ⋅ 5)=113{displaystyle left({frac {2}{3}}cdot 3right)+left({frac {1}{3}}cdot 5right)={frac {11}{3}}}}}}. Aquí los pesos, que necesariamente suman al valor uno, son ()2/3){displaystyle (2/3)} y ()1/3){displaystyle (1/3)}El primero es el doble de éste. La media aritmética (a veces llamada "promedio no ponderado" o "promedio igual de ponderado") puede ser interpretada como un caso especial de un promedio ponderado en el que todos los pesos son iguales entre sí (igual a 12{fnMicroc} {1}{2}}} en el ejemplo anterior, e igual a 1n{fnMicroc} {1}{n}} en una situación n{displaystyle n} promedio de números).

Distribuciones de probabilidad continua

Comparación de dos distribuciones log-normales con igual mediana, pero diferente asiduidad, dando lugar a diferentes medios y modos

Si una propiedad numérica, y cualquier muestra de datos de ella, pudiera tomar cualquier valor de un rango continuo, en lugar de, por ejemplo, solo números enteros, entonces la probabilidad de que un número caiga en algún rango de valores posibles puede ser se describe mediante la integración de una distribución de probabilidad continua a lo largo de este rango, incluso cuando la probabilidad ingenua de un número de muestra que toma un cierto valor de infinitos valores es cero. El análogo de un promedio ponderado en este contexto, en el que hay un número infinito de posibilidades para el valor preciso de la variable en cada rango, se denomina media de la distribución de probabilidad. Una distribución de probabilidad más común se llama distribución normal; tiene la propiedad de que todas las medidas de su tendencia central, incluyendo no solo la media sino también la mencionada mediana y la moda (las tres M), son iguales entre sí. Esta igualdad no se cumple para otras distribuciones de probabilidad, como se ilustra aquí para la distribución logarítmica normal.

Ángulos

Se necesita especial cuidado al usar datos cíclicos, como fases o ángulos. Tomando ingenuamente la media aritmética de 1° y 359° se obtiene un resultado de 180°. Esto es incorrecto por dos razones:

• En primer lugar, las mediciones de ángulo sólo se definen hasta una constante aditiva de 360° (o 2π, si se mide en radians). Por lo tanto, se pueden llamar fácilmente 1° y −1°, o 361° y 719°, ya que cada uno de ellos da un promedio diferente.
• En segundo lugar, en esta situación, 0° (equivalentemente, 360°) es geométricamente mejor promedio valor: hay menor dispersión sobre ella (los puntos son ambos 1° de ella, y 179° de 180°, el promedio putante).

En la aplicación general, tal descuido conducirá a que el valor promedio se desplace artificialmente hacia la mitad del rango numérico. Una solución a este problema es utilizar la formulación de optimización (es decir, definir la media como el punto central: el punto alrededor del cual se tiene la dispersión más baja) y redefinir la diferencia como una distancia modular (es decir, la distancia en el círculo: entonces la distancia modular entre 1° y 359° es 2°, no 358°).

Prueba sin palabras de la desigualdad de medios aritméticos y geométricos:
PR es un diámetro de un círculo centrado en O; su radio AO es la media aritmética de a y b. Usando el teorema geométrico medio, triángulo PGR altura GQ es la media geométrica. Para cualquier relación a:b, AO ≥ GQ.

Símbolos y codificación

La media aritmética es a menudo denotada por un bar, (a.k.a. vinculum o macron), por ejemplo como en x̄ ̄ {displaystyle {bar {x}} (Leer x{displaystyle x} bar).

Es posible que algunos programas (procesadores de texto, navegadores web) no muestren el símbolo x̄ correctamente. Por ejemplo, el símbolo x̄ en HTML es en realidad una combinación de dos códigos: la letra base x más un código para la línea anterior (̄ o ¯).

En algunos textos, como los pdf, el símbolo x̄ se puede reemplazar por un símbolo de centavo (¢) (Unicode &#162), cuando se copia a un procesador de texto como Microsoft Word.