Serie Taylor

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aproximación matemática de una función

A medida que aumenta el grado de la polinomia Taylor, se acerca a la función correcta. Esta imagen muestra

pecado x

y sus aproximaciones de Taylor por polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11, y 13 a

x = 0

En matemáticas, la serie de Taylor o expansión de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un punto único. Para las funciones más comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor llevan el nombre de Brook Taylor, quien las introdujo en 1715. Una serie de Taylor también se denomina serie de Maclaurin, cuando 0 es el punto donde se consideran las derivadas, en honor a Colin Maclaurin, quien hizo un uso extensivo de este caso especial de la serie de Taylor a mediados del siglo XVIII.

La suma parcial formada por los primeros $n + 1$ términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado $n$ que se denomina $n$ th polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que generalmente mejoran a medida que aumenta $n$ . El teorema de Taylor da estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente, su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto $x$ si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo) que contiene $x$ . Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Definición

La serie de Taylor de una función real o de valor complejo $f (x)$ que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo $a$ es la serie de potencias

{displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+cdots}

donde $n!$ denota el factorial de $n. En la notación sigma más compacta, esto se puede escribir como$

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}

donde $f (n) (a)$ denota la $n$ ésima derivada de $f$ evaluado en el punto $a$ . (La derivada de orden cero de $f$ se define como $f$ y $(x - a) 0$ y $0!$ están definidos como 1).

Cuando $a = 0$ , la serie también se denomina serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Taylor de cualquier polinomio es el polinomio mismo.

La serie Maclaurin de $1 / 1 - x$ es la serie geométrica

{displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+cdots.}

Entonces, sustituyendo $x$ por $1 - x$ , la serie de Taylor de $1 / x$ en $a = 1$ es

{displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+cdots.}

Al integrar la serie de Maclaurin anterior, encontramos la serie de Maclaurin de $ln(1 - x)$ , donde $ln$ denota el logaritmo natural:

{displaystyle -x-{tfrac {1}{2}}x^{2}-{tfrac {1}{3}}x^{3}-{tfrac {1}{4}}x^{4}-cdots.}

La serie de Taylor correspondiente de $ln x$ en $a = 1 es$

{displaystyle (x-1)-{tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+cdots}

y, de forma más general, la serie de Taylor correspondiente de $ln x$ en un punto arbitrario distinto de cero $a$ es:

{displaystyle ln a+{frac {1}{a}}(x-a)-{frac {1}{a^{2}}}{frac {left(x-aright)^{2}}{2}}+cdots.}

La serie de Maclaurin de la función exponencial $e x$ es

{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}&={frac {x^{0}}{0!}}+{frac {x^{1}}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots \&=1+x+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {x^{4}}{24}}+{frac {x^{5}}{120}}+cdots.end{aligned}}}

La expansión anterior se cumple porque la derivada de $e x$ con respecto a $x$ también es $e x$ , y $e 0$ es igual a 1. Esto deja los términos $(x - 0) n$ en el numerador y $n!$ en el denominador de cada término en la suma infinita.

Historia

El antiguo filósofo griego Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo rechazó como una imposibilidad; el resultado fue la paradoja de Zeno. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica de la paradoja, pero el contenido matemático aparentemente no se resolvió hasta que Arquímedes lo retomó, como lo había sido antes de Aristóteles por el atomista presocrático Demócrito. Fue a través del método de agotamiento de Arquímedes que se pudo realizar un número infinito de subdivisiones progresivas para lograr un resultado finito. Liu Hui empleó de forma independiente un método similar unos siglos más tarde.

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama dio los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos estrechamente relacionados. Aunque no sobrevive ningún registro de su trabajo, los escritos de matemáticos indios posteriores sugieren que encontró una serie de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos los de las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y arcotangente. Madhava fundó la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, y durante los siguientes dos siglos sus eruditos desarrollaron más expansiones de series y aproximaciones racionales.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Sin embargo, no fue hasta 1715 que Brook Taylor, por quien ahora se nombran las series, proporcionó finalmente un método general para construir estas series para todas las funciones para las que existen.

La serie Maclaurin lleva el nombre de Colin Maclaurin, profesor de Edimburgo, que publicó el caso especial del resultado de Taylor a mediados del siglo XVIII.

Funciones analíticas

La función

e (1 - 1 x 2)

no es analítico en

x = 0

: la serie Taylor es idéntica 0, aunque la función no es.

Si $f (x)$ está dada por una serie de potencias convergentes en un disco abierto centrado en $b$ en el plano complejo (o un intervalo en la línea real), se dice que es analítico en esta región. Por lo tanto, para $x$ en esta región, $f$ está dada por una serie de potencias convergentes

f(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-b)^{n}.

Diferenciando por $x$ la fórmula anterior $n$ veces, luego establecer $x = b$ da:

{frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}

y entonces la expansión de la serie de potencias concuerda con la serie de Taylor. Por lo tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en $b$ si y solo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto del disco.

Si $f (x)$ es igual a la suma de su serie de Taylor para todos los $x$ en el plano complejo, se llama entero. Los polinomios, la función exponencial $e x$ , y las funciones trigonométricas seno y coseno, son Ejemplos de funciones completas. Ejemplos de funciones que no son enteras incluyen la raíz cuadrada, el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arctan. Para estas funciones, las series de Taylor no convergen si $x$ está lejos de $b$ . Es decir, la serie de Taylor diverge en $x$ si la distancia entre $x$ y $b$ es mayor que el radio de convergencia. La serie de Taylor se puede usar para calcular el valor de una función completa en cada punto, si el valor de la función y de todas sus derivadas se conocen en un solo punto.

Los usos de la serie de Taylor para funciones analíticas incluyen:

Las sumas parciales (los polinomios Taylor) de la serie se pueden utilizar como aproximaciones de la función. Estas aproximaciones son buenas si se incluyen suficientemente muchos términos.
La diferenciación y la integración de la serie de energía pueden realizarse a plazo y, por lo tanto, es particularmente fácil.
Una función analítica se extiende únicamente a una función holomorfa en un disco abierto en el plano complejo. Esto hace disponible la maquinaria de análisis complejo.
La serie (truncada) se puede utilizar para calcular los valores de función numéricamente, (a menudo retransmitiendo el polinomio en la forma Chebyshev y evaluando con el algoritmo Clenshaw).
Las operaciones algebraicas se pueden hacer fácilmente en la representación de la serie de potencia; por ejemplo, la fórmula de Euler sigue de las expansiones de la serie Taylor para funciones trigonométricas y exponenciales. Este resultado es de importancia fundamental en ámbitos como el análisis armónico.
Las aproximaciones utilizando los primeros pocos términos de una serie Taylor pueden hacer posibles problemas insolvables de otro modo para un dominio restringido; este enfoque se utiliza a menudo en la física.

Error de aproximación y convergencia

La función sine (azul) está muy aproximada por su polinomio Taylor del grado 7 (pink) por un período completo centrado en el origen.

Los polinomios de Taylor

ln(1 + x)

sólo proporcionan aproximaciones precisas en el rango

-1 - x \leq 1

. Para

x ■ 1

, Taylor polinomios de mayor grado proporcionan peores aproximaciones.

Las aproximaciones de Taylor

ln(1 + x)

(negro). Para

x ■ 1

, las aproximaciones divergen.

La imagen es una aproximación precisa de $sin x$ alrededor del punto $x = 0$ . La curva rosa es un polinomio de grado siete:

sin left(xright)approx x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}.!

El error en esta aproximación no es más que $| x | 9 / 9!$ . Para un ciclo completo centrado en el origen ( $-π < x < π$ ) el error es inferior a 0,08215. En particular, para $-1 < x < 1$ , el error es inferior a 0,000003.

En contraste, también se muestra una imagen de la función de logaritmo natural $ln(1 + x)$ y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de $a = 0$ . Estas aproximaciones convergen a la función solo en la región $-1 < x \leq 1$ ; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado son aproximaciones peores para la función.

El error en el que se incurre al aproximar una función por su $n$ polinomio de Taylor de grado n se llama el resto o residual y se denota mediante la función $R n (x)$ . El teorema de Taylor se puede usar para obtener un límite en el tamaño del resto.

En general, las series de Taylor no tienen por qué ser convergentes. Y de hecho el conjunto de funciones con una serie de Taylor convergente es un conjunto exiguo en el espacio de Fréchet de funciones suaves. E incluso si la serie de Taylor de una función $f$ converge, su límite en general no necesita ser igual al valor de la función $f (x)$ . Por ejemplo, la función

{displaystyle f(x)={begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{text{if }}xneq 0\[3mu]0&{text{if }}x=0end{cases}}}

es infinitamente diferenciable en $x = 0$ , y tiene todas las derivadas cero allí. En consecuencia, la serie de Taylor de $f (x)$ sobre $x = 0$ es idénticamente cero. Sin embargo, $f (x)$ no es la función cero, por lo que no es igual a su serie de Taylor alrededor del origen. Por lo tanto, $f (x)$ es un ejemplo de una función suave no analítica.

En análisis real, este ejemplo muestra que hay funciones infinitamente diferenciables $f (x)$ cuyas series de Taylor son no igual a $f (x)$ incluso si convergen. Por el contrario, las funciones holomorfas estudiadas en análisis complejo siempre poseen una serie de Taylor convergente, e incluso las series de funciones meromórficas de Taylor, que pueden tener singularidades, nunca convergen a un valor diferente de la función misma. La función compleja $e -1/ z 2$ , sin embargo, no tiende a 0 cuando $z$ tiende a 0 a lo largo del eje imaginario, por lo que no es continua en el plano complejo y su Taylor la serie no está definida en 0.

Más generalmente, cada secuencia de números reales o complejos puede aparecer como coeficientes en la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable definida en la línea real, una consecuencia del lema de Borel. Como resultado, el radio de convergencia de una serie de Taylor puede ser cero. Incluso hay funciones infinitamente diferenciables definidas en la línea real cuyas series de Taylor tienen un radio de convergencia 0 en todas partes.

Una función no se puede escribir como una serie de Taylor centrada en una singularidad; en estos casos, a menudo aún se puede lograr una expansión en serie si también se permiten potencias negativas de la variable $x$ ; ver serie de Laurent. Por ejemplo, $f (x) = e -1/ x 2$ se puede escribir como una serie de Laurent.

Generalización

Existe, sin embargo, una generalización de la serie de Taylor que converge al valor de la función misma para cualquier función continua acotada en $(0,\infty)$ , usando el cálculo de diferencias finitas. Específicamente, se tiene el siguiente teorema, debido a Einar Hille, que para cualquier $t > 0$ ,

lim _{hto 0^{+}}sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}{frac {Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).

Aquí $Δ n h$ es la nésimo operador de diferencias finitas con tamaño de paso $h. La serie es precisamente la serie de Taylor, excepto que aparecen diferencias divididas en lugar de diferenciación: la serie es formalmente similar a la serie de Newton. Cuando la función f es analítica en a, los términos de la serie convergen a los términos de la serie de Taylor y, en este sentido, generaliza la serie de Taylor habitual.$

En general, para cualquier secuencia infinita $a i$ , la siguiente serie de potencias la identidad tiene:

sum _{n=0}^{infty }{frac {u^{n}}{n!}}Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}sum _{j=0}^{infty }{frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.

Entonces, en particular,

f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}e^{-t/h}sum _{j=0}^{infty }f(a+jh){frac {(t/h)^{j}}{j!}}.

La serie de la derecha es el valor esperado de $f (a + X)$ , donde $X$ es una variable aleatoria con distribución de Poisson que toma el valor $jh$ con probabilidad $e - t / h \cdot (t / h) j / j!$ . Por lo tanto,

{displaystyle f(a+t)=lim _{hto 0^{+}}int _{-infty }^{infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}

La ley de los grandes números implica que se cumple la identidad.

Lista de series de Maclaurin de algunas funciones comunes

Siguen varias expansiones importantes de la serie Maclaurin. Todas estas expansiones son válidas para argumentos complejos $x$ .

Función exponencial

La función exponencial

e x

(en azul), y la suma de la primera

n + 1

términos de su serie Taylor a 0 (en rojo).

La función exponencial $e^{x}$ (con base) $e$ ) tiene la serie Maclaurin

{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }

Converge para todas las $x$ .

La función generadora exponencial de los números de Bell es la función exponencial del predecesor de la función exponencial:

{displaystyle exp[exp(x)-1]=sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}

Logaritmo natural

El logaritmo natural (con base $e$ ) tiene serie de Maclaurin

{displaystyle {begin{aligned}ln(1-x)&=-sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n}}=-x-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{3}}{3}}-cdots\ln(1+x)&=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}{frac {x^{n}}{n}}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots.end{aligned}}}

Ellos convergen para $<math alttext="{displaystyle |x|SilencioxSilencio.1{displaystyle Silenciox habit1} <img alt="|x|$ . (Además, la serie para $In(1 - x)$ convergencias para $x = 1 -$ , y la serie para $ln(1 + x)$ convergencias para $x = 1$ .)

Serie geométrica

Las series geométricas y sus derivadas tienen series de Maclaurin

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{1-x}}&=sum _{n=0}^{infty }x^{n}\{frac {1}{(1-x)^{2}}}&=sum _{n=1}^{infty }nx^{n-1}\{frac {1}{(1-x)^{3}}}&=sum _{n=2}^{infty }{frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.end{aligned}}}

Todos son convergentes para $<math alttext="{displaystyle |x|SilencioxSilencio.1{displaystyle Silenciox habit1} <img alt="|x|$ . Estos son casos especiales de la serie binomial dada en la siguiente sección.

Serie binomial

La serie binomial es la serie de potencias

{displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{n=0}^{infty }{binom {alpha }{n}}x^{n}}

{displaystyle {binom {alpha }{n}}=prod _{k=1}^{n}{frac {alpha -k+1}{k}}={frac {alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}}.}

(Si) $n = 0$ , este producto es un producto vacío y tiene valor 1.) converge para $<math alttext="{displaystyle |x|SilencioxSilencio.1{displaystyle Silenciox habit1} <img alt="|x|$ para cualquier número real o complejo $α$ .

Cuando $α = -1$ , esta es esencialmente la serie geométrica infinita mencionada en la sección anterior. Los casos especiales $α = 1 / 2$ y $α = - 1 / 2$ da la función raíz cuadrada y su inversa:

{displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{frac {1}{2}}&=1+{tfrac {1}{2}}x-{tfrac {1}{8}}x^{2}+{tfrac {1}{16}}x^{3}-{tfrac {5}{128}}x^{4}+{tfrac {7}{256}}x^{5}-cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\(1+x)^{-{frac {1}{2}}}&=1-{tfrac {1}{2}}x+{tfrac {3}{8}}x^{2}-{tfrac {5}{16}}x^{3}+{tfrac {35}{128}}x^{4}-{tfrac {63}{256}}x^{5}+cdots &&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.end{aligned}}}

Cuando solo se retiene el término lineal, esto se simplifica a la aproximación binomial.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas habituales y sus inversas tienen la siguiente serie de Maclaurin:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cos x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots &&{text{for }}|x|pecado⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)n()2n+1)!x2n+1=x− − x33!+x55!− − ⋯ ⋯ para todosx#⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)n()2n)!x2n=1− − x22!+x44!− − ⋯ ⋯ para todosx#⁡ ⁡ x=.. n=1JUEGO JUEGO B2n()− − 4)n()1− − 4n)()2n)!x2n− − 1=x+x33+2x515+⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio.π π 2sec⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)nE2n()2n)!x2n=1+x22+5x424+⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio.π π 2arcsin⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()2n)!4n()n!)2()2n+1)x2n+1=x+x36+3x540+⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio≤ ≤ 1arccos⁡ ⁡ x=π π 2− − arcsin⁡ ⁡ x=π π 2− − .. n=0JUEGO JUEGO ()2n)!4n()n!)2()2n+1)x2n+1=π π 2− − x− − x36− − 3x540− − ⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio≤ ≤ 1arctan⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)n2n+1x2n+1=x− − x33+x55− − ⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio≤ ≤ 1,xل ل ± ± i{displaystyle {begin{aligned}sin xiéndose=sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}{(2n+1)}}x^{2n+1} {2n+1} {fn0} {fn0}}}fn2n+1}} {fn0}}} {fn0}}}} {fnfnfnfnfnfnfn0}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnnfnnncfnnncfnfnfnfnfnfnnnnnfnfnnncfnfnfnnnnncfnnn {x^{3}{3}}}+{frac {x^{5}{5}}}}-cdots ' limit {text{for all }x[6pt]cos x simultáneamente=sum _{n=0}{infty {frac {(-1)^{n}{n}{2n}}}}x^{2n} limit=1-{frac {x^{2}{2}}}+{frac {x^{4}{4}} {4}}}-cdots > {text{for all }x[6pt]tan x simultáneamente=sum _{n=1}{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}n}n}n}nnc} {n}c}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}c}n}c}c}n}c}n}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c {x^{3}{3}}+{frac {2x^{5}{15}+cdots "Continuando" # {2}[6pt]c]cH00sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}{(2n)}}}x^{2n} {2n} limit=1+{frac] {x^{2}{2}}+{frac {5x^{4}{24}+cdots "Continuando" {2}}[6pt]rcsin x sensible=sum _{n=0}{infty }{frac {(2n)}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}duc=x=x+{frac} {x^{3}{6}+{frac} {3x^{5}{40}}+cdots ' limit {text{for } sobre la vida eternaleq 1\[6pt]arccos x Pulse={frac {pi {fnK}-rcsin x\\\fnMic {fnMicroc} {2}}-sum _{n=0}{infty }{frac {(2n)}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1} limit={frac {pic {pic} }{2}-x-{frac {x^{3}{6}}-{frac} {3x^{5}{40}}}-cdots ' limit {text{for } sobre la vida eternaleq 1[6pt][6pt]arctan x caer=sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{2n+1}x^{2n+1} {c=0}{c=0}{c=0}{c}{c}{c=0}{c}{c}{c}{c}{c=0}{c}{c}{c}{c}{c}{5}{5}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}}}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}}}}}}}}} {x^{3}{3}}+{frac} {x^{5}{5} {5}cdots > {text{for }Principalmente, xneq pm iend{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sin x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cos x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tan x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots &&{text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}\[6pt]sec x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots &&{text{for }}|x|

Todos los ángulos se expresan en radianes. Los números $B k$ que aparecen en las expansiones de $tan x$ son los números de Bernoulli. El $E k$ en la expansión de $sec x$ son números de Euler.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen series de Maclaurin estrechamente relacionadas con las series de las funciones trigonométricas correspondientes:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sinh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cosh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots &&{text{for }}|x|pecado⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO x2n+1()2n+1)!=x+x33!+x55!+⋯ ⋯ para todosxcosh⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO x2n()2n)!=1+x22!+x44!+⋯ ⋯ para todosxTanh⁡ ⁡ x=.. n=1JUEGO JUEGO B2n4n()4n− − 1)()2n)!x2n− − 1=x− − x33+2x515− − 17x7315+⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio.π π 2arsinh⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)n()2n)!4n()n!)2()2n+1)x2n+1=x− − x36+3x540− − ⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio≤ ≤ 1Artanh⁡ ⁡ x=.. n=0JUEGO JUEGO x2n+12n+1=x+x33+x55+⋯ ⋯ paraSilencioxSilencio≤ ≤ 1,xل ل ± ± 1{displaystyle {begin{aligned}sinh x sensible=sum _{n=0}{infty }{frac {x^{2n+1}{(2n+1)!} {x^{3}{3}}}+{frac {x^{5}{5}}}+cdots ' aplique{text{for all }x[6pt]cosh x simultáneamente=sum _{n=0}{infty }{frac {x^{2n}{(2n)}}}}}}} {=0+{frac] {x^{2}{2}}}+{frac {x^{4}{4}}}+cdots ' limit {text{for all }x[6pt]tanh x limit=sum _{n=1}{infty }{frac {B_{2n}4^ {n}left(4^{n}-1derecha)}{2n} {2n} {2n}c} {c} {4}c} {c}c} {c}c} {4} {4}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}cc}ccc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c {x^{3}{3}+{2x^{5}{15}-{frac {17x^{7}{315}}+cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {pi}[6pt]operatorname {arsinh} x Due=sum _{n=0}{infty }frac {(-1)^n}(2n)}{4^n} {n}{n}{2}{2n+1)} {c} {c} {c}} {c}} {c}}}c}}}}}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c} {c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}cc}c}c}c}ccc}c}c}c}c}c}c}ccc}ccc}ccc}c}c} {x^{3}}{6}+{frac {3x^{5}{40}-cdots ' limit {text{for } {cdots {fnfn}cdots ' {fnfn}fnfn}fnfnh00} {fnMicroc}fn}fn}fn}fn}fn}fnfnfnfnfnfnfnfnKfnh}fnMinfnKfnnfnKfnKfn\fnhnMinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\fnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\\\\fnnnnnnnnMin {x^{2n+1}{2n+1} {x^{3}{3}}+{frac} {x^{5}{5}}+cdots > {text{for }Principio de la muerte para siempreleq 1, xneq pm 1end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sinh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]cosh x&=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots &&{text{for all }}x\[6pt]tanh x&=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots &&{text{for }}|x|

Los números $B k$ que aparecen en la serie para $tanh x$ son los números de Bernoulli.

Funciones polilogarítmicas

Los polilogaritmos tienen estas identidades definitorias:

{displaystyle {text{Li}}_{2}(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}x^{n}}

{displaystyle {text{Li}}_{3}(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{3}}}x^{n}}

Las funciones chi de Legendre se definen de la siguiente manera:

{displaystyle chi _{2}(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}}

{displaystyle chi _{3}(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}}

Y las fórmulas que se presentan a continuación se denominan integrales de tangente inversa:

{displaystyle {text{Ti}}_{2}(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}}

{displaystyle {text{Ti}}_{3}(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}}

En termodinámica estadística estas fórmulas son de gran importancia.

Funciones elípticas

Las integrales elípticas completas de primer tipo K y de segundo tipo E se pueden definir de la siguiente manera:

{displaystyle {frac {2}{pi }}K(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}}

{displaystyle {frac {2}{pi }}E(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}}

Las funciones theta de Jacobi describen el mundo de las funciones modulares elípticas y tienen estas series de Taylor:

{displaystyle vartheta _{00}(x)=1+2sum _{n=1}^{infty }x^{n^{2}}}

{displaystyle vartheta _{01}(x)=1+2sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}}

La secuencia de números de partición regular P(n) tiene esta función generadora:

{displaystyle vartheta _{00}(x)^{-1/6}vartheta _{01}(x)^{-2/3}{biggl [}{frac {vartheta _{00}(x)^{4}-vartheta _{01}(x)^{4}}{16,x}}{biggr ]}^{-1/24}=sum _{n=0}^{infty }P(n)x^{n}=prod _{k=1}^{infty }{frac {1}{1-x^{k}}}}

La secuencia numérica de partición estricta Q(n) tiene esa función generadora:

{displaystyle vartheta _{00}(x)^{1/6}vartheta _{01}(x)^{-1/3}{biggl [}{frac {vartheta _{00}(x)^{4}-vartheta _{01}(x)^{4}}{16,x}}{biggr ]}^{1/24}=sum _{n=0}^{infty }Q(n)x^{n}=prod _{k=1}^{infty }{frac {1}{1-x^{2k-1}}}}

Cálculo de la serie de Taylor

Existen varios métodos para el cálculo de series de Taylor de un gran número de funciones. Se puede intentar usar la definición de la serie de Taylor, aunque esto a menudo requiere generalizar la forma de los coeficientes de acuerdo con un patrón fácilmente aparente. Alternativamente, se pueden usar manipulaciones como sustitución, multiplicación o división, suma o resta de series de Taylor estándar para construir la serie de Taylor de una función, en virtud de que las series de Taylor son series de potencias. En algunos casos, también se puede derivar la serie de Taylor aplicando repetidamente la integración por partes. Particularmente conveniente es el uso de sistemas de álgebra computacional para calcular series de Taylor.

Primer ejemplo

Para calcular el polinomio de Maclaurin de séptimo grado para la función

{displaystyle f(x)=ln(cos x),quad xin left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right)}

uno puede primero reescribir la función como

{displaystyle f(x)=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr)}!}

La serie de Taylor para el logaritmo natural es (usando la notación O grande)

{displaystyle ln(1+x)=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}+{O}left(x^{4}right)!}

y para la función coseno

{displaystyle cos x-1=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)!}

La expansión de la última serie tiene un término constante cero, lo que nos permite sustituir la segunda serie en la primera y omitir fácilmente términos de orden superior al séptimo grado usando el estilo grande $O$ notación:

{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ln {bigl (}1+(cos x-1){bigr)}\&=(cos x-1)-{tfrac {1}{2}}(cos x-1)^{2}+{tfrac {1}{3}}(cos x-1)^{3}+{O}left((cos x-1)^{4}right)\&=left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}+{O}left(x^{8}right)right)-{frac {1}{2}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}+{O}left(x^{6}right)right)^{2}+{frac {1}{3}}left(-{frac {x^{2}}{2}}+Oleft(x^{4}right)right)^{3}+{O}left(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{24}}-{frac {x^{6}}{720}}-{frac {x^{4}}{8}}+{frac {x^{6}}{48}}-{frac {x^{6}}{24}}+Oleft(x^{8}right)\&=-{frac {x^{2}}{2}}-{frac {x^{4}}{12}}-{frac {x^{6}}{45}}+Oleft(x^{8}right).end{aligned}}!}

Dado que el coseno es una función par, los coeficientes para todas las potencias impares $x, x 3, x 5, x 7,...$ tienen que ser cero.

Segundo ejemplo

Supongamos que queremos la serie de Taylor en el 0 de la función

g(x)={frac {e^{x}}{cos x}}.!

Tenemos para la función exponencial

{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots !}

y, como en el primer ejemplo,

{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots !}

Suponga que la serie de potencias es

{displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots !}

Entonces la multiplicación con el denominador y la sustitución de la serie del coseno da como resultado

{displaystyle {begin{aligned}e^{x}&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+cdots right)cos x\&=left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+cdots right)left(1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots right)\&=c_{0}-{frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+cdots end{aligned}}!}

Recolectando los términos hasta rendimientos de cuarto orden

{displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+left(c_{2}-{frac {c_{0}}{2}}right)x^{2}+left(c_{3}-{frac {c_{1}}{2}}right)x^{3}+left(c_{4}-{frac {c_{2}}{2}}+{frac {c_{0}}{4!}}right)x^{4}+cdots !}

Los valores de $c_{i}$ se puede encontrar por comparación de coeficientes con la máxima expresión para $e^{x}$ , cediendo:

{displaystyle {frac {e^{x}}{cos x}}=1+x+x^{2}+{frac {2x^{3}}{3}}+{frac {x^{4}}{2}}+cdots.!}

Tercer ejemplo

Aquí empleamos un método llamado "expansión indirecta" para expandir la función dada. Este método utiliza la conocida expansión de Taylor de la función exponencial. Para expandir $(1 + x) e x$ como una serie de Taylor en $x$ , usamos la conocida serie de funciones de Taylor $e x$ :

{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots.}

Por lo tanto,

{displaystyle {begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n+1}}{n!}}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n!}}+{frac {1}{(n-1)!}}right)x^{n}\&=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}\&=sum _{n=0}^{infty }{frac {n+1}{n!}}x^{n}.end{aligned}}}

Series de Taylor como definiciones

Clásicamente, las funciones algebraicas se definen mediante una ecuación algebraica, y las funciones trascendentales (incluidas las analizadas anteriormente) se definen mediante alguna propiedad que se cumple para ellas, como una ecuación diferencial. Por ejemplo, la función exponencial es la función que es igual a su propia derivada en todas partes y asume el valor 1 en el origen. Sin embargo, también se puede definir una función analítica por su serie de Taylor.

Las series de Taylor se utilizan para definir funciones y "operadores" en diversas áreas de las matemáticas. En particular, esto es cierto en áreas donde las definiciones clásicas de funciones fallan. Por ejemplo, al usar la serie de Taylor, se pueden extender las funciones analíticas a conjuntos de matrices y operadores, como la matriz exponencial o la matriz logaritmo.

En otras áreas, como el análisis formal, es más conveniente trabajar directamente con las propias series de potencias. Así, uno puede definir una solución de una ecuación diferencial como una serie de potencias que, uno espera probar, es la serie de Taylor de la solución deseada.

Series de Taylor en varias variables

La serie de Taylor también se puede generalizar a funciones de más de una variable con

{displaystyle {begin{aligned}T(x_{1},ldotsx_{d})&=sum _{n_{1}=0}^{infty }cdots sum _{n_{d}=0}^{infty }{frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!cdots n_{d}!}},left({frac {partial ^{n_{1}+cdots +n_{d}}f}{partial x_{1}^{n_{1}}cdots partial x_{d}^{n_{d}}}}right)(a_{1},ldotsa_{d})\&=f(a_{1},ldotsa_{d})+sum _{j=1}^{d}{frac {partial f(a_{1},ldotsa_{d})}{partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{frac {1}{2!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}{frac {partial ^{2}f(a_{1},ldotsa_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\&qquad qquad +{frac {1}{3!}}sum _{j=1}^{d}sum _{k=1}^{d}sum _{l=1}^{d}{frac {partial ^{3}f(a_{1},ldotsa_{d})}{partial x_{j}partial x_{k}partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+cdots end{aligned}}}

Por ejemplo, para una función $f(x,y)$ que depende de dos variables, $x$ y $Sí.$ , la serie Taylor a segunda orden sobre el punto $() a, b)$ es

{displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){Big)}}

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales.

Una expansión en serie de Taylor de segundo orden de una función con valores escalares de más de una variable se puede escribir de manera compacta como

{displaystyle T(mathbf {x})=f(mathbf {a})+(mathbf {x} -mathbf {a})^{mathsf {T}}Df(mathbf {a})+{frac {1}{2!}}(mathbf {x} -mathbf {a})^{mathsf {T}}left{D^{2}f(mathbf {a})right}(mathbf {x} -mathbf {a})+cdots}

donde $D f (a)$ es el gradiente de $f$ evaluado en $x = a$ y $D 2 f (a)$ es el Matriz Hessiana. Aplicando la notación de índices múltiples, la serie de Taylor para varias variables se convierte en

{displaystyle T(mathbf {x})=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a})^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a}),}

que debe entenderse como una versión aún más abreviada de índices múltiples de la primera ecuación de este párrafo, con una analogía completa con el caso de una sola variable.

Ejemplo

aproximación de la serie Taylor de segundo orden (en naranja) de una función

f () x, Sí.) e x ln(1 + Sí.)

alrededor del origen.

Para calcular una expansión de la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto $(a, b) = (0, 0)$ de la función

{displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),}

uno primero calcula todas las derivadas parciales necesarias:

{displaystyle {begin{aligned}f_{x}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{y}&={frac {e^{x}}{1+y}}\[6pt]f_{xx}&=e^{x}ln(1+y)\[6pt]f_{yy}&=-{frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}}}

Al evaluar estas derivadas en el origen se obtienen los coeficientes de Taylor

{displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\f_{y}(0,0)&=1\f_{xx}(0,0)&=0\f_{yy}(0,0)&=-1\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.end{aligned}}}

Sustituyendo estos valores en la fórmula general

{displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\&{}+{frac {1}{2!}}left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)right)+cdots end{aligned}}}

produce

{displaystyle {begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big)}+cdots \&=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligned}}}

Dado que $ln(1 + y)$ es analítico en $| y | < 1$ , tenemos

<math alttext="{displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdotsqquad |y|exIn⁡ ⁡ ()1+Sí.)=Sí.+xSí.− − Sí.22+⋯ ⋯ ,SilencioSí.Silencio.1.{displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}{2}}+cdotsqquad TENIDO ANTERITORIO<img alt="{displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdotsqquad |y|

Comparación con la serie de Fourier

La serie trigonométrica de Fourier permite expresar una función periódica (o una función definida en un intervalo cerrado $[a, b]$ ) como una suma infinita de funciones trigonométricas (seno y coseno). En este sentido, la serie de Fourier es análoga a la serie de Taylor, ya que esta última permite expresar una función como una suma infinita de potencias. Sin embargo, las dos series difieren entre sí en varias cuestiones relevantes:

Las truncaciones finitas de la serie Taylor de $f () x)$ sobre el punto $x = a$ son todos exactamente iguales $f$ a $a$ . En cambio, la serie Fourier se computa mediante la integración a lo largo de todo un intervalo, por lo que generalmente no hay tal punto donde todas las truncaciones finitas de la serie son exactas.
La computación de la serie Taylor requiere el conocimiento de la función en un pequeño barrio arbitrario de un punto, mientras que la computación de la serie Fourier requiere conocer la función en todo su intervalo de dominio. En cierto sentido se podría decir que la serie Taylor es "local" y la serie Fourier es "global".
La serie Taylor se define para una función que tiene infinitamente muchos derivados en un solo punto, mientras que la serie Fourier se define para cualquier función integradora. En particular, la función podría ser en ninguna parte diferente. (Por ejemplo, $f () x)$ podría ser una función Weierstrass.)
La convergencia de ambas series tiene propiedades muy diferentes. Incluso si la serie Taylor tiene un radio de convergencia positivo, la serie resultante puede no coincidir con la función; pero si la función es analítica entonces la serie converge de forma puntual a la función, y uniformemente en cada subconjunto compacto del intervalo de convergencia. En cuanto a la serie Fourier, si la función es cuadrada-integrable entonces la serie converge en forma cuadrática, pero se necesitan requisitos adicionales para asegurar la convergencia puntual o uniforme (por ejemplo, si la función es periódica y de clase C¹ entonces la convergencia es uniforme).
Finalmente, en la práctica uno quiere aproximar la función con un número finito de términos, digamos con un polinomio Taylor o una suma parcial de la serie trigonométrica, respectivamente. En el caso de la serie Taylor el error es muy pequeño en un barrio del punto donde se computa, mientras que puede ser muy grande en un punto distante. En el caso de la serie Fourier el error se distribuye a lo largo del dominio de la función.

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